1、2014届四川成都石室中学高三模拟考试一理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ， 则使 MN N 成立的 的值是（ ） A 1 B 0 C -1 D 1或 -1 答案： C 试题分析：由于集合中的元素互不相同，所以 .又因为 MN N，所以 . 考点：集合的特征及集合的基本运算 . 定义在 上的函数 ，且 在上恒成立，则关于 的方程 的根的个数叙述正确的是 ( ). A有两个 B有一个 C没有 D上述情况都有可能 答案： A 试题分析：显然 是偶函数，且在 递增 .在 上恒成立，所以 的图象至少向左平移 2个单位，即 ，所以 ，方程的根有 2个 . 考点：函数与方程 . 设三位数 ,若
2、以 为三条边的长可以构成一个等腰 (含等边 )三角形 ,则这样的三位数 有（ ） A 12种 B 24种 C 28种 D 36种 答案： C 试题分析：若为等边三角形，则有 4种；若为等腰非等边三角形，以底边为准分类，若底边为 1，则有 3个等腰三角形；若底边为 2，则有 2个等腰三角形；若底边为 3，则有 2个等腰三角形；若底边为 4，则有 1个等腰三角形 .一个等腰三角形，对应有 3个三位数，所以共有 种 . 考点：计数原理 . 设函数 的图像关于直线 对称 ,它的周期是 ,则（ ） A 的图象过点 B 的一个对称中心是 C 在 上是减函数 D将 的图象向右平移 个单位得到函数 的图象 答
3、案： B 试题分析：函数 的周期是 ,所以 ；图像关于直线 对称 ,所以 .因为 ，所以 .由此可知 是 的一个对称中心 . 考点：三角函数的图象及性质 . 阅读程序框图，若输入 ， ，则输出 分别是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：这是一个循环结构，每次循环的结果为：，这时 能被 整除 .最后输出. 考点：程序框图 . 下列说法中正确的是（ ） A “ ”是 “ ”必要条件 B命题 “ ， ”的否定是 “ ， ” C ，使函数 是奇函数 D设 ， 是简单命题，若 是真命题，则 也是真命题 答案： B 试题分析： A “ ”应该是 “ ”充分条件 .故 A错 . B全称命题： “
4、”的否定为 “ ”.所以，命题 “ ，”的否定是 “ ， ”，正确 . C不论 为何值，函数 都不可能是奇函数 .故 C错 . D若 是真命题，那么 中有可能一真一假，这样 是假命题 .所以D错 . 考点：逻辑与命题 . 实数 满足条件 ,则 的最小值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：作出不等式组 表示的区域如图所示，由图可知，时， 取最大值 4； 时， 取最小值 -1.所以，即最小值为 . 考点：线性规划 . 函数 的图像可能是（ ） 答案： B 试题分析：显然这是一个奇函数，图象关于原点对称 .当 时， .所以选 D. 考点： 1、函数的奇偶性； 2、对数函数的图象 . 已知
5、函数 则 （ ） A BC D 答案： C 试题分析： . 考点：函数与指数运算 . 复数 为虚数单位）的共轭复数在复平面上对应的点的坐标是 ( ） A B C D 答案： A 试题分析： ，其共轭复数为 ，所以对应点为 . 考点：复数的基本概念及运算 . 填空题 已知 是函数 图象上的任意一点， 是该图象的两个端点， 点 满足 ，（其中 是 轴上的单位向量），若 ( 为常数 )在区间 上恒成立，则称 在区间上具有 “ 性质 ”.现有函数： ; ； ； . 则在区间 上具有 “ 性质 ”的函数为 . 答案： 已知二次函数 的值域为 ，则 的最小值为 . 答案： 试题分析：由题意得： . 考点：
6、二次函数及重要不等式 . 在数列 中， ，则 . 答案： -1 试题分析： 由此可知 ，所以 . 考点：递推数列 的系数是 （用数字作答） . 答案： -5 试题分析：由二项式定理得： ，所以的系数为 -5. 考点：二项式定理 . 已知向量 、 满足 ，则 . 答案： 试题分析： 考点：向量的模与数量积 . 解答题 设 是公差大于零的等差数列，已知 ， . （ ）求 的通项公式； （ ）设 是以函数 的最小正周期为首项，以 为公比的等比数列，求数列 的前 项和 . 答案：（ ） ；（ ） 试题分析：（ ）由题设可得一方程组： ，解这个方程组即得首项和公差，从而得通项公式；（ ），则此知最小正周
7、期为 ，故首项为 1；因为公比为 3，从而 .所以 ，这是一个由等差数列与等比数列的差得到的数列，故采用分组求和的方法求和 . 试题：（ ）设 的公差为 ，则 解得 或（舍） 5 分 所以 6分 （ ） 其最小正周期为 ，故首项为 1； 7分 因为公比为 3，从而 8分 所以 ，故 12分 考点： 1、等差数列与等比数列； 2、分组求和； 3、三角函数的周期 . 已知 的内角 A、 B、 C所对的边为 ， , ，且 与 所成角为 . （ ）求角 B的大小 （ ）求 的取值范围 . 答案：（ ） ；（ ） 的范围为 . 试题分析：（ ）由两向量的夹角公式得 ，将此式变形可得：.这是一个特殊角的三
8、角函数值，再根据角 B的范围便可得角 B的值 . （ ）由（ 1）知， ， A+C= 这样换掉一个角，可将 用一个只含一个角的式子表示出来，从而根据该角的范围便可得这个式子的范围 . 试题：（ ） 与向量 所成角为 ， ， 又 ， 6分 （ ）由（ 1）知， ， A+C= = = = ， 所以 的范围为 . 12分 考点： 1、三角恒等变换； 2、向量的运算 . 某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任
9、何一门科目的辅导讲座。（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数据表明，各学科讲座各天的满座的概率如下表： 根据上表： （ ）求数学辅导 讲座在周一、周三、周五都不满座的概率； （ ）设周三各辅导讲座满座的科目数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望 . 答案：（ I） ； （ II）随机变量 的分布列如下： 0 1 2 3 4 5 . 试题分析：（ I）数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座即为这三个事件同时发生，独立事件同时发生的概率等于这三个事件的概率之积，由此即得公式得数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座这个事件的概率 .（ II）首先弄清楚 可以取哪此值 .因为
10、总共有 5科，所以可能取的值最多为 5，即可取 0、 1、 2、3、 4、 5.然后由独立事件同时发生的概率公式一一求出各随机变量的概率，便可得其分布列，进而得其期望 . 试题：（ I）设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A， 则 4分 （ II） 的可能值得为 0， 1， 2， 3， 4， 5 10分 所以随机变量 的分布列如下： 0 1 2 3 4 5 故 12分 考点： 1、独立事件同时发生的概率； 2、随机变量的分布列及其期望 . 已知直三棱柱 的三视图如图所示，且 是 的中点 （ ）求证： 平面 ； （ ）求二面角 的余弦值； （ ）试问线段 上是否存在点 ，使 与 成
11、角？若存在，确定点位置，若不存在，说明理由 答案：（ ）详见；（ ）二面角 的余弦值为 ；（ ）当点为线段 中点时， 与 成 角 . 试题分析：（ ）为了证明 平面 ,需要在平面 内找一条与平行的直线，而要找这条直线一般通过作过 且与平面 相交的平面来找 .在本题中联系到 为 中点，故连结 ，这样便得一平面 ，接下来只需证 与交线平行即可 .对（ ）（ ）两个小题，由于 是直三棱柱，且 ，故 两两垂直，所以可以以 为坐标轴建立空间直角坐标系来解决 . 试题：（ ）证明：根据三视图知：三棱柱 是直三棱柱， 连结 ，交 于点 ，连结 .由 是直三棱柱，得 四边形 为矩形， 为 的中点 .又 为中点
12、，所以 为 中位线，所以 ， 因为 平面 ，平面 ， 所以 平面 . 4分 （ ）解：由 是直三棱柱，且 ，故 两两垂直 . 如图建立空间直角坐标系 . ，则 . 所以 ， 设平面 的法向量为 ，则有 所以 取 ，得 . 6分 易知平面 的法向量为 . 7分 由二面角 是锐角，得 . 8分 所以二面角 的余弦值为 . （ ）解：假设存在满足条件的点 . 因为 在线段 上， ， ，故可设 ，其中 . 所以 ， . 9分 因为 与 成 相关试题 2014届四川成都石室中学高三模拟考试一理科数学试卷（带） 已知 . （ ）当 时 ,判断 的奇偶性 ,并说明理由； （ ）当 时 ,若 ,求 的值； （
13、 ）若 ,且对任何 不等式 恒成立 ,求实数 的取值范围 . 答案：（ ） 既不是奇函数 ,也不是偶函数；（ ）或 ； （ ）当 时 , 的取值范围是 ；当 时 , 的取值范围是 ；当 时 , 的取值范围是 . 试题分析：（ ）对函数奇偶性的判断，一定要结合函数特征先作大致判断，然后再根据奇函数偶函数的定义作严格的证明 .当 时 , ，从式可以看出它既不是奇函数 ,也不是偶函数 .对既不是奇函数 ,也不是偶函数的函数，一般取两个特殊值说明 . （ ）当 时 , , 由 得 ，这是一个含有绝对值符号的不等式，对这种不等式，一般先分情况去绝对值符号 .这又是一个含有指数式 的不等式，对这种不等式，
14、一般将指数式看作一个整体，先求出指数式的值，然后再利用指数式求出 的值 . （ ）不等式恒成立的问题，一般有以下两种考虑，一是分离参数，二是直接求最值 .在本题中，分离参数比较容易 .分离参数时需要除以 ，故首先考虑的情况 . 易得 时 , 取任意实数 ,不等式 恒成立 . ,此时原不等式变为 ；即 ，这时应满足：，所以接下来就求 的最大值和的最小值 .在求这个最大值和最小值时，因数还有一个参数，所以又需要对 进行讨论 . 试题：（ ）当 时 , 既不是奇函数也不是偶函数 , 所以 既不是奇函数 ,也不是偶函数 3分 （ ）当 时 , , 由 得 即 或 解得 所以 或 8分 （ ）当 时 ,
15、 取任意实数 ,不等式 恒成立 , 故只需考虑 ,此时原不等式变为 ；即 故 又函数 在 上单调递增 ,所以 ; 对于函数 当 时 ,在 上 单调递减 , ,又 , 所以 ,此时 的取值范围是 当 ,在 上 , , 当 时 , ,此时要使 存在 , 必须有 即 ,此时 的取值范围是 综上 ,当 时 , 的取值范围是 ; 当 时 , 相关试题 2014届四川成都石室中学高三模拟考试一理科数学试卷（带） 已知函数 （ ） 时，求 在 处的切线方程； （ ）若 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围； （ ）当 时，设函数 ，若 ，求证：. 答案：（ ） ；（ ） ；（ ）详见 . 试题分析：（ ）将
16、 代入，求导即得；（ ） ，即在 上恒成立 . 不等式恒成立的问题，一般有以下两种考虑，一是分离参数，二是直接求最值 .在本题中，设 ，则，这里面不含参数 了，求 的最大值比较容易了，所可直接求最大值 .（ ）本题首先要考虑的是，所要证的不等式与函数 有什么关系？待证不等式可作如下变形： ，最后这个不等式与 有联系吗？我们再往下看 . ,所以在 上 是增函数 . 因为 ，所以 即 从这儿可以看出，有点联系了 . 同理 ， 所以 ， 与待证不等式比较，只要 问题就解决了，而这由重要不等式可证，从而问题得证 . 试题：（ ） ，所以切线为： 即 . 3分 （ ） , ，即 在 上恒成立 设 ， ， 时，单调减， 单调增， 所以 时， 有最大值 . ， 所以 . 8分 法二、 可化为 . 令 ，则 ，所以所以 . （ ）当 时， , ,所以在 上是增函数， 上是减函数 . 因为 ，所以 即 ，同理 . 所以 又因为 当且仅当 “ ”时，取等号 . 又 ， , 所以 ，所以 ， 所以： . 14分 考点： 1、导数的应用； 2、不等式的证明 .
