1、2014届四川泸州高中高三上学期教学质量摸底考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 函数 的定义域为（ ） A B C 或D 答案： A 试题分析：由 得： 故选 A. 考点： 1、函数的定义域； 2、解不等式 . 已知函数 在 上的最大值为 ，则 的最小值为（ ） A B 1 C D 2 答案： C 试题分析：显然当 时， . 当 时， ，由 得：.所以， 时 ，此时，时， . 综上得： ，当 时， ，当 时， 所以 . 考点：函数的最值 . 设定义在 上的函数 是最小正周期为 的偶函数 , 是 的导函数 ,当 时 , ;当 且 时 , ,则函数在 上的零点个数为（ ） A 2 B 4 C
2、 5 D 8 答案： B 试题分析：函数 在 上的零点的个数就是曲线 与的交点的个数。当 且 时 , ,所以时， 单调递减； 时， 单调递增。根据题设作出这两个函数的图象如下图所示： 由图可知，它们的交点有 4 个故选 . 考点： 1、函数的周期性奇偶性； 2、函数的导数； 3、函数的零点 . 已知函数 ，下列结论正确的是（ ） A函数 为奇函数 B C函数 的图象关于直线 y=x对称 D函数 在 R上是增函数 答案： B 试题分析：对 A、 C、 D，作出函数 的图象，可知这三个选项均错 .对B ，正确 . 考点： 1、指数函数对娄函数； 2、函数的性持； 3、指对数基本运算 . 函数 是（
3、 ） A最小正周期为 的偶函数 B最小正周期为 2 的偶函数 C最小正周期为 2 的奇函数 D最小正周期为 的奇函数 答案： D 试题分析： ，选 . 考点：三角函数的变换及性质 . 向量 、 的夹角为 ，且 ， ，则 等于（ ） A 1 B C 2 D 4 答案： C 试题分析： ，选 . 考点：向量的夹角、模及数量积 . 已知命题 ，命题 ，则 是 的（ ） A充分必要条件 B必要而不充分条件 C充分而不必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：对 ， ； ， 。所以，由此得： ，所以选 . 考点： 1、指数对数函数的性质； 2、充要条件 . 若函数 的图象关于直线 对称，则
4、 的值为（ ） A 0 B 3 C D 2或 答案： D 试题分析：函数 的图象关于直线 对称，则的值是 的最大值或最小值，所以选 . 考点：三角函数的对称性和最值 . 设等差数列 的前 项和为 ，若 则 （ ） A 7 B 6 C 5 D 4 答案： B 试题分析： ，选 . 考点：等差数列 . 复数 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： ，故选 . 考点：复数的基本运算 . 填空题 已知函数 f(x)的定义域为 R，且 f(x)不为常值函数，有以下命题： 函数 g(x)=f(x) f(-x)一定是偶函数； 若对任意 都有 ，则 f(x)是以 2为周期的周期函数； 若 f(x)是奇
5、函数，且对任意 x R都有 f(x) f(2 x)=0，则 f(x)的图像的对称轴方程为 x=2n 1(n Z)； 对任意 x1,x2 R且 若 恒成立，则 f(x)为 上的增函数 . 其中所有正确命题的序号是 _. 答案： 试题分析： ，所以 一定是偶函数 . 由 得 。令 可得： ，所以f(x)不是以 2为周期的周期函数 . f(x)是奇函数，则 （ 1） 由 得 ，即(2) 由 (1)(2)可得： ，所以 是 f(x)的图像的一条对称轴方程 . 又由 得 所以 是 f(x)的图像的一条对称轴方程 . 又由 得 ，所以函数 是以 4为周期 的周期函数 . 所以 都是 的对称轴，即 x=2n
6、 1 (n Z)是 的对称轴 . 不妨设 ，则由 得 即，所以 f(x)是 上的增函数 . 考点：函数的奇偶性、对称性、周期性、单调性 . 设集合 且 ， ，对应关系 如下表（即 1到 26按由小到大顺序排列的自然数与按照字母表顺序排列的 26个英文小写字母之间的一一对应）： 1 2 3 4 5 25 26 又知函数 ，若 ， 所表示的字母依次排列恰好组成的英文单词为 “ ”，则_. 答案： 试题分析：由题设知 ，所以 . 由 得： ，舍去 .由 得： .由 得：.由 得： ，舍去 .所以 . 考点： 1、映射与函数； 2、指数与对数运算 . 已知 ，则 . 答案： 试题分析：. 所以 .所以
7、 . 考点：三角恒等变换及诱导公式 . 在等比数列 中， ， ，则公比 q为 . 答案： . 试题分析： . 考点：等比数列 . 解答题 某社区举办防控甲型 H7N9流感知识有奖问答比赛，甲、乙、丙三人同时回答一道卫生知识题，三人回答正确与错误互不影响。已知甲回答这题正确的概率是 ，甲、丙两人都回答错误的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 . (I)求乙、丙两人各自回答这道题正确的概率； (II)用 表示回答该题正确的人数，求 的分布列和数学期望 . 答案：（ )乙回答这题正确的概率是 ，丙回答这题正确的概率是 ； （ ） 的分布列为： 0 1 2 3 . 试题分析：（ ）记 “甲、乙、丙
8、回答正确这道题 ”分别为事件 A、 B、 C，因为甲回答这题正确的概率是 ， 所以 .又甲、丙两人都回答错误的概率是 ，乙、丙两人都回答正确的概率是 ，由此可得两个方程，即方程组，解这个方程组便可得 ， ，即乙、丙两人各自回答这道题正确的概率 . （ ）因为共有 3个人，所以回答正确的人数 的可能取值为 0、 1、 2、 3.由概率公式求出 ， ， ， ，便得 的分布列和期望 . 试题：（ I）记 “甲、乙、丙回答正确这道题 ”分别为事件 A、 B、 C， 则 ，且 ， 1分 ， 2分 即 = ， 3分 ， 4分 ， 5分 ， 6分 （ II） 的可能取值为 0、 1、 2、 3. 则 ， 7
9、分 ， 8分 ， 9分 ， 10分 的分布列为 0 1 2 3 的数学期望 =. 12 分 考点： 1、古典概型； 2、随机变量的分布列及期望 . 已知 an是等差数列， a1=3， Sn是其前 n项和，在各项均为正数的等比数列bn中， b1=1,且 b2 S2=10， S5 =5b3 3a2. (I )求数列 an, bn的通项公式； (II)设 ，数列 cn的前 n项和为 Tn,求证 答案：（ ) ， ；（ ）详见 . 试题分析：（ ）已 a1=3,b1=1,只需再求出公差 d ，公比 q，就可得它们的通项公式 .又因为 b2 S2=10， S5 =5b3 3a2.所以 解这个方程组，便可
10、得公差 d 和公比 q，从而可得通项公式 . （ ）由（ ）知 ，这样可得 ，这是典型的用裂项法求和的数列，求出和然后用放缩法证明不等式 . 试题： ( )设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q， 由题意可得： 解得 q=2或 q= (舍 )， d=2 数列 an的通项公式是 ，数列 bn的通项公式是 7分 ( )由（ ）知 ，于是 ， 12分 考点： 1、等差数列与等比数列； 2、裂项法求和 . 在 中，已知角 的对边分别为 .向量且向量 与 共线 . ( )求 的值； ( )若 ，求 的面积的最大值 . 答案：（ ) ；（ ） . 试题分析： ( )由向量 与 共线得，
11、，这个等式中既有边又有角，这种等式一般有两种考虑：要么只留边，要么只留角 .在本题中这两种方法都行 . 思路一、由正弦定理得： ，然后用三角函数公式可求出 . 思路二、由余弦定理得： ，化简得.再由余弦定理可得 . (II)由 可求出 .这样三角形 ABC的面积可表示为. 要求它的最大值，可考虑求出 的最大值 .因为已知 和 ，所以应该用余弦定理，这样可得： ，即 .从而问题得以解决 . 试题： ( )法一、由 得， ， 所以 . 由正弦定理得： ， ， 又 ， . 又 . 法二、由向量 与 共线得， . 由余弦定理得： ，化简得： ， 即 . 所以 . 6分 (II)因为 ， . 由余弦定理
12、得： ，即 . . 12分 考点： 1、三角变换； 2、正弦定理与余弦定理； 3、向量 . 机床厂今年年初用 98万元购进一台数控机床，并立即投入生产使用，计划第一年维修、保养费用 12万元，从第二年开始，每年所需维修、保养费用比上一年增加 4万元，该机床使用后，每年的总收入为 50万元，设使用 x年后数控机床的盈利额为 y万元 ( )写出 y与 x之间的函数关系式； ( )从第几年开始，该机床开始盈利（盈利额为正值）； ( )使用若干年后，对机床的处理方案有两种： (1)当年平均盈利额达到最大值时，以 30万元价格处理该机床； (2)当盈利额达到最大值时，以 12万元价格处理该机床 请你研究
13、一下哪种方案处理较为合理？请说明理由 答案：（ ) ；（ ）从第3年开始盈利；（ ）方案 比较合理 . 试题分析：（ ）使用 x年的总收入为 ，每年支付的维修保养费用构成一等差数列，由等差数列求和公式可得使用 x年的总支出，总收入减去总支出便可得使用 x年后数控机床的盈利额，从而得 y与 x之间的函数关系式 . （ ）解不等式 便可得 的范围，从而知道从从第几年开始盈利 . （ )） (1)年平均盈利额为： 对 可用重要不等式求出其最大值，从而可确定什么时候年平均盈利额达到最大值，可求出工厂获得的总利润 (2)盈利额 y=-2x2 40x-98是一个二次函数，可通过配方求出其最大值，从而可确定
14、什么时候盈利额达到最大值，可求出工厂获得的总利润 将二者进行比较，便知哪个方案更合理 试题：（ ）依题得 （ xN*） . 3分 （ ）解不等式 得 . .又 x N*, 3x17，故从第 3年开始盈利 . 7分 （ ） (1)年平均盈利额为： ，当且仅当 时，即 x=7 时等号成立 所以到 2008年，年平均盈利额达到最大值，工厂共获利 127+30 114万元 (2)盈利额 y=-2x2 40x-98=-(x-10)2 102，当 x=10时， ymax=102. 故到 2011年，盈利额达到最大值，工厂获利 102+12 114万元 . 盈利额达到的最大值相同，而方案 所用的时间较短，故
15、方案 比较合理 12分 考点： 1、函数的应用； 2、函数的最值； 3、重要不等式 . 已知函数 f(x) sinx cosx， f(x)是 f(x)的导函数 ,F(x) f(x)f(x) f2(x) ( )求 F(x)的最小正周期及单调区间； ( )求函数 F(x)在 上的值域； ( )若 f(x) 2f(x)，求 的值 答案：（ )T .单调递增区间 : 单调递减区间 : （ ） 1， 1 ；（ ） . 试题分析： (I)将函数 F(x) f(x)f(x) f2(x)化一可得： F(x) 1 sin(2x )，由此可得 F(x)的最小正周期及单调区间 .( ) 由 得 这样可得 sin(2
16、x )的范围，从而得函数 F(x)的值域 . ( )由 f(x) 2f(x),得： sinx cosx 2cosx-2sinx，由此可得 tanx的值 . 将 化为只含 tanx式子，将 tanx.的值代入即可 . 试题： (I) f(x) cosx-sinx， F(x) f(x)f(x) f2(x) cos2x-sin2x 1 2sinxcosx 1 sin2x cos2x 1sin(2x )， 最小正周期为 T . 单调递增区间 : 单调递减区间 : . 4分 ( )由 得 所以 ，所以函数 F(x)的值域为 1， 1 . 8分 ( ) f(x) 2f(x), sinx cosx 2cos
17、x-2sinx， cosx 3sinx, tanx ， . 13分 考点 :1、三角变换； 2、三角函数的单调性和范围； 3、三角函数同角关系式 . 已知函数 ， 在 上的减函数 . ( )求曲线 在点（ 1,f（ 1）处的切线方程； ( )若 在 上恒成立，求 的取值范围； ( )关于 的方程 ( )有两个根 (无理数 e=2.71828)，求m的取值范围 . 答案：（ ) ；（ ） ；（ ） . 试题分析：（ ）求出 即得 在点（ 1,f（ 1）处的切线方程 . （ ） 在 上恒成立，则 . 利用导数求出 的最大值，再解不等式 即可得 的取值范围 . （ ）方程 可化为 ，即 . 令 ,则
18、问题转化为研究函数 的图象与 x轴交点个数，而这又可用导数解决 . 试题：（ ） , , 1分 , 2分 在点（ 1, f（ 1）处的切线方程为 ，即 ； 3分 （ ） ， , 在 上单调递减， 在 上恒成立， 4分 在 上恒成立， 5分 在 上单调递减， 在 上恒成立， 只需 恒成立， 6分 ， ， ， ； 7分 （ ）由（ ）知 方程为 ， 设 ,则方程 根的个数即为函数 的图象与 x轴交点个数 8分 , 9分 当 时， 在 上为增函数， 当 时， 在 和 上为减函数， 在 上为增函数 ,在 上为减函数， 在 的最大值为 ， 11分 又 ， ， 方程有两根满足： ， 12分 即 时，原方程有两解 &
