1、2014届天津市红桥区高三第一次模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 等于 A -i B 1 C -l D 0 答案： D. 试题分析：因为 ，或因为，所以选 D.复数运算中注意分母实数化时不要出错 . 考点：复数运算 在区间 上随机取一个数 x， 的值介于 0到 之间的概率为 A B C D 答案： C 试题分析：本题是求几何概型概率，测度为长度 .由 得：即 所以所求概率为 考点：几何概型概率 设 r0，那么直线 ( 是常数 )与圆 ( 是参数 )的位置关系是 A相交 B相切 C相离 D视 r的大小而定 答案： B 试题分析：圆 的圆心为坐标原点，半径为 圆心到直线的距离为，
2、所以直线与圆相切 . 考点：点到直线的距离，直线与圆位置关系 已知 ， ， 则 A abc B bac C acb D cab 答案： D 试题分析：因为 ，所以因此 cab.比较指对数大小，首先将底数化为一样 . 考点：指对数比较大小 函数 在区间 上的最小值是 A -l B C D 0 答案： C 试题分析：因为 ，所以 因此即函数最小值是 . 考点：三角函数最值 一个四棱锥的三视图如图所示，其左视图是等边三角形，该四棱锥的体积等于 A 4 B 3 C 2 D 答案： D 试题分析：由题意得几何体为：底面为上底为 1，下底为 2，高为 2的直角梯形，顶点在地面上射影为直角梯形高的中点，即锥
3、的高为 的四棱锥，因此体积为考点：三视图 设 m、 n是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则 A若 m/ ， n/ ，则 m/n B若 m/ ， m/ ，则 / C若 m/n， m ，则 n D若 m/ ， ，则 m 答案： C 试题分析：因为两直线与同一平面平行，两直线位置关系不定，所以选项 A错误 .当直线平行于两相交平面的交线时，该直线与两平面皆平行，所以选项 B错误 .同样理由可得：选项 D错误 .当 m ，则 m 内任一直线 ，因为 m/n，所以 n 内任一直线 ，即 n ，因此选项 C正确 . 考点：线面关系判定 设 与 垂直，则 的值等于 A B C 0 D -l 答案：
4、B 试题分析：由题意得： 所以因此选 B. 考点：向量数量积，二倍角公式 填空题 定义某种运算 ，运算原理如右图所示，则式子的值为 答案： 试题分析：由算法知： ，而考点：新定义 已知正项等比数列 an满足 a7=a6+2a5，若存在两项 am， an使得 ，则 的最小值为 . 答案： 试题分析：设正项等比数列 an公比为 ，则 因此 考点：等比数列，基本不等式 二项式 展开式中含 x2项的系数是 答案： -192 试题分析：因为 ，令 ，所以含x2项的系数是 考点：二项式定理 设抛物线 y2=4x上一点 P到直线 x=-2的距离为 5，则点 P到该抛物线焦点的距离是 答案： 试题分析：由抛物
5、线的定义知：点 P到抛物线焦点的距离等于点 P到准线 x=-1的距离，所以点 P到该抛物线焦点的距离是 5-1=4. 考点：抛物线的定义 设集合 A= ， B= ，则集合 = 答案： 试题分析：因为 ,所以 因此所求集合为 . 考点：集合的运算 解答题 在 中， . (1)求 的值； (2)求 的值 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）解三角形问题，通常利用正余弦定理进行边角转化 .由正弦定理得： ， .（ 2）由（ 1）及条件知三角形三边，故用余弦定理求角 . 由 ，得 ，由同角三角函数关系，可得 ，再由二倍角公式得到 ，因此 = . 试题：（ 1）因为 , （ 2） = 所以 ,
6、考点：正余弦定理 , 同角三角函数关系 , 二倍角公式 某选修课的考试按 A级、 B级依次进行，只有当 A级成绩合格时，才可继续参加 B级的考试已知每级考试允许有一次补考机会，两个级别的成绩均合格方可获得该选修课的合格证书现某人参加这个选修课的考试，他 A级考试成绩合格的概率为 ， B级考试合格的概率为 假设各级考试成绩合格与否均互不影响 (1)求他不需要补考就可获得该选修课的合格证书的概率； (2)在这个考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求 的数学期望 E 答案：（ 1） ，（ 2） . 试题分析：（ 1）解概率问题，关键明确事件所包含的意义 . 不需要补考就获得
7、合格证书的事件为 A级第一次考试合格且 B级第一次考试合格，因为事件相互独立，所以由概率乘法得 （ 2）参加考试的次数至少 2次，至多 4次，因此 2， 3， 4，因为不放弃所有的考试机会，所以 2包含 A级第一次考试合格且 B级第一次考试合格， A级第一次考试不合格且 A级补考不合格。 4包含 A级第一次考试不合格且 A级补考合格， B级第一次考试不合格，B级补考合格或不合格 . 3包含事件较多，可利用求解，最后再利用数学期望公式求 E . 试题：设 “A级第一次考试合格 ”为事件 ， “A级补考合格 ”为事件 A2； “B级第一次考试合格 ”为事件 ， “B级补考合格 ”为事件 （ 1）不
8、需要补考就获得合格证书的事件为 A1 B1，注意到 A1与 B1相互独立， 则 答：该考生不需要补考就获得合格证书的概率为 4 （ 2）由已知得， 2， 3， 4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 .6 .8 .10 故 答：该考生参加考试次数的期望为 .13 考点：古典概型概率，分布列及数学期望 四棱锥 S-ABCD中，底面 ABCD为平行四边形，侧面 SBC 底面ABCD已知 ABC=45o， AB=2， BC=2 ， SA=SB= (1)证明： SA BC； (2)求直线 SD与平面 SAB所成角的正弦值 答案：（ 1）详见，（ 2） . 试题分析：（ 1）已知条件为面面垂直，因此
9、由面面垂直性质定理转化为线面垂直 . 作 ，由侧面 底面 ，得 平面 .证明线线垂直，有两个思路，一是通过线面垂直转化，二是利用空间向量计算 .本题考虑到第二小题，采取空间向量方法 . 利用空间向量以算代证，关键正确表示各点及对应向量的坐标，利用空间向量数量积进行论证 .（ 2）利用空间向量求线面角，关键正确求出平面的一个法向量，利用两向量夹角的余弦值的绝对值等于线面角的正弦值的等量关系进行求解 . 试题：（ 1）作 ，垂足为 ，连结 ， 由侧面 底面 ， 得 平面 .2 因为 ，所以 3 又 ， 为等腰直角三角形， 4 如图，以 为坐标原点， 为 轴正向，建立直角坐标系 . ， ， ， ，
10、6 ， ， ，所以 8 （ 2）设 为平面 SAB的法向量 则 得 所以 令 x=1 10 12 与平面 所成的角与 与 所成的角互余 所以，直线 与平面 所成的角正弦值为 13 考点：面面垂直性质定理，空间向量求证线线垂直，空间向量求线面角 设函数 ，其中 b0 (1)当 b 时，判断函数 在定义域上的单调性： (2)求函数 的极值点 答案：（ 1）单调递增，（ 2） 时， 有唯一的极小值点； 时， 有一个极大值点 和一个极小值点时，函数 在 上无极值点 试题分析：（ 1）利用导数研究函数单调性，有四步 .一是求出函数定义域：，二是求出函数导数 ，三是根据定义域及参数 b ，确定导函数的符号
11、，即根据 得四写出结论：当 时 ,函数 在定义域 上单调递增（ 2）求函数极值点，也是分四步 .一是求出函数定义域： ，二是求出函数导数，三是根据定义域及参数 b取值范围，讨论导函数的符号，四是关键导函数符号变化规律得出相应结论 . 试题：函数 的定义域为 2 4 令 ，则 在 上递增，在 上递减， 当 时， ， 在 上恒成立 即当 时 ,函数 在定义域 上单调递增 6 （ 2）分以下几种情形讨论：（ 1）由（ 1）知当 时函数 无极值点 （ 2）当 时， ， 时， 时， 时，函数 在 上无极值点 8 （ 3）当 时，解 得两个不同解 ， 当 时， ， ， 此时 在 上有唯一的极小值点 10
12、当 时， 在 都大于 0 ， 在 上小于 0 ， 此时 有一个极大值点 和一个极小值点 综上可知， 时， 在 上有唯一的极小值点 ； 时， 有一个极大值点 和一个极小值点 相关试题 2014届天津市红桥区高三第一次模拟考试理科数学试卷（带） 已知椭圆 C： （ ab0），过点 (0， 1)，且离心率为 (1)求椭圆 C的方程； (2)A， B为椭圆 C的左右顶点，直线 l： x=2 与 x轴交于点 D，点 P是椭圆 C上异于 A， B的动点，直线 AP， BP分别交直线 l于 E， F两点证明：当点 P在椭圆 C上运动时， 恒为定值 答案：（ 1） ，（ 2） 1 试题分析：（ 1）求椭圆标准
13、方程，基本方法为待定系数法 .只需两个独立条件确定 即可 . 由 b=1， 可解得 a=2，故椭圆的方程为 ，（ 2）证明椭圆定值问题，实际是以算代征 .即需计算出 为一个常数由于点 D在 x轴上，所以 ,即只需计算 E， F两点纵坐标 . 由直线 AP： 与直线 l： x=2 的交点得 : ,即 ，同理可得 ，因此= =1。 试题：（ 1）由题意可知， b=1， 又因为 ，且 a2=b2+c2，解得 a=2 所以椭圆的方程为 4 （ 2）由题意可得： A（ 2， 0）， B（ 2， 0） 设 P（ x0， y0），由题意可得： 2 x0 2， 所以直线 AP的方程为 6 令 ，则 ，即 8
14、同理：直线 BP的方程为 ，令 ，则 ， 即 10 所以 = .12 而 ，即 4y02=4x02，代入上式， 所以 |DE| |DF|=1，所以 |DE| |DF|为定值 1 14 考点：椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系 已知数列 的前 n项和 (n为正整数 )。 （ 1）令 ，求证数列 是等差数列，并求数列 的通项公式； （ 2）令 ， 试比较 与 的大小，并予以证明 答案：（ 1） （ 2）当 ，当 时 . 试题分析：（ 1）已知 ，一般利用 进行化简条件，当 时， ，又 数列 是首项和公差均为 1的等差数列，于是 .（ 2）由（ 1）得 ，是等差乘等比型，所以其和求法为 “错位相减法
15、”， 即得 .数列中比较大小，一般用作差，即,而比较 的大小，有两个思路，一是数学归纳法，二是二项展开式定理 . 试题：（ 1）在 中，令 n=1，可得 ，即1 当 时， ， 2 . 又 数列 是首项和公差均为 1的等差数列 4 于是 .6 (2)由（ 1）得 ，所以 由 - 得 9 2 于是确定 的大小关系等价于比较 的大小 猜想：当 证明如下： 证法 1：（ 1）当 n=3时，由猜想显然成立 （ 2）假设 时猜想成立即 则 时， 所以当 时猜想也成立 综合（ 1）（ 2）可知 ，对一切 的正整数，都有 证法 2：当 时 综上所述，当 ，当 时 14 考点：等差数列定义，错位相减法求和，数学归纳法证明不等式
