1、2014届天津市蓟县高三第一次模拟考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知全集 ，集合 ， ，则 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：因为 ,所以 ,所以, 故选 A. 考点：集合的运算 . 定义在 上的函数 满足 ，当 时 ，则 ( ) 答案： C 试题分析：设 ，则 ，所以 又 ,所以 其图象如下图所示 因为 ,所以 ,A选项不正确 . 因为 ，所以 ， B选项不正确； 因为 ， 所以， C选项正确； 因为 ， 所以 ， 所以， D选项不正确； 故选 C 考点： 1、函数的图象与性质； 2、三角函数诱导公式 . 已知 满足 ,记目标函数 的最大值为 ，最小值为 ，则 1 2
2、 C 7 D 8 答案： D 试题分析：不等式组 所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示， 由 得 ,它表示斜率为 的直线，在 轴上的截距为 ，由图可知，当直线经过点 时，在 轴上的截距为 最大，从而 最大，当时，在 轴上的截距为 最小 ,从而 最小，所以 所以， 故选 D. 考点：线必规划 . 已知点 A（ 3， 0）， B（ 0， 3）， C（ cos， sin）， O（ 0， 0），若，则 的夹角为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为 ,所以， = , 又因为 所以 设 的夹角为 ，则 = 故选 D. 考点： 1、向量的坐标运算； 2、平面向量的数量积 . 已知某程序框图如
3、图所示，则该程序运行后输出的结果为（ ) A B C D 答案： A 试题分析：运行第一次： 成立； 运行第二次： 成立； 运行第三次： 成立； 运行第四次 成立； 运行第五次： 成立； 运行第 2007次： 成立； 运行第 2008次： 不成立； 输出 A的值： 故选 A. 考点：循环结构 . 下列命题中是假命题的是 ( ) A ； B C 上递减 D 都不是偶函数 答案： D 试题分析： 因为当 时， 所以选项 A为真命题； 因为由 得 ,所以对任意 函数 有零点 ,所以选项 B是真命题； 因为当 时， 是幂函数，且在 上递减，所以 C选项为真命题； 因为当 时，函数 是偶函数，所以选项
4、D是假命题 . 故选 D. 考点： 1、幂函数的概念； 2、函数零点的概念； 3、两角和与差的三角函数； 4、诱导公式； 5、函数的奇偶性； 6、全称命题与特称命题 . 已知函数 的部分图象如图所示，则函数 的式为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由图象可知函数的最大值为 ，最小值为 ，所以 ; 由图象可知函数的周期 所以 所以， 所以函数的式为： 故答案：选 B. 考点：三角函数的图象与性质 . 已知两个平面 、 ，直线 ，则 “ ”是 “直线 ”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析：由直线 ，则 “ ”是 “
5、直线 ”成立，因为两平面没有公共点，则平面内 直线 与平面 自然没有公共点；反过来，由直线与平面 平行，则经过直线 的平面 与平面 的位置关系是平行或相交，所以 “ ”是 “直线 ”不成立；所以 “ ”是 “直线 ”的充分不必要条件 . 考点： 1、直线与平面、平面与平面的位置关系； 2、命题与充要条件 . 已知定义在复数集 上的函数 满足 ，则等于 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为定义在复数集 上的函数 满足 所以， 故选 C. 考点： 1、分段函数； 2、复数的运算 . 抛物线 的焦点坐标是 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：因为抛物线的标准方程为 ,所以抛线
6、以 轴为对称轴，开口向上，且 ， ,所以焦点坐标为 ,故选 C. 考点：抛物线的标准方程与简单几何性质 . 填空题 已知 ， ， 是三角形 三内角，向量 ，且 . 求角 ； 若 ，求 . 答案：（ 1） （ 2） 试题分析： (1)由 利用辅助角公式进一步化为：再结合角 的取值范围确定 的值 . (2)利用同角三角函数基本关系中的平方关系 和商的关系将原式化关于 的方程即可 . 试题： ， ，即 ， ， ， ， ， ， . （ 6分） 由题知 ，整理得 ， ， ， 或 ， （ 11分） 而 使 ，舍去， . （ 12分） 考点： 1、平面向量的数量积； 2、同角三角函数的基本关系； 3、两角和
7、与差的三角函数公式 . 已知数组：记该数组为： ,则 答案： 试题分析：由题意知，第 个数组包含 个数，其最后的个数为 因为 ，所以 是第 63个数组的倒数第 8个数，所以答案：填 7. 考点： 1、数列的概念； 2、归纳推理 . 设向量 和 是夹角为 的两个单位向量，则向量 的模为 答案： 试题分析：由题设知 所以， = 所以答案：填 . 考点： 1、向量的模的概念； 2、平面向量的数量积 . 已知某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸（单位： cm），可得这个几何体的体积是 . 答案： 试题分析：由三视图知该几何体是一个三棱锥，其底面是一个底边长为 2高也是 2的等腰三角形，且棱锥
8、的高也是 2，所以该几何体的体积 所以答案：填 考点： 1、三视图； 2、棱锥的体积 . 若过点 可作圆 的两条切线，则实数 的取值范围为 . 答案： 或 试题分析：根据题意有： 或 所以答案：填 或 . 考点： 1、圆的一般方程； 2、点与圆的位置关系； 3、一元二次不等式的解法 . 有四条线段长度分别为 ，从这四条线段中任取三条，则所取三条线段能构成三角形的概率为 . 答案： 试题分析：从四条线段长度分别为 ，从这四条线段中任取三条有如下四个基本事件： ,由于是任取的，每个事件发生的可能性是相等的， 记事件 A=“所取的三条线段能构成三角形 ”，则事件 A包含一个基本事件， 所以 ，所以答
9、案：填 . 考点：古典概型 . 已知双曲线的右焦点为 ，一条渐近线方程为 ，则此双曲线的标准方程是 . 答案： 试题分析：设双曲线的标准方程为： 由题意得： , , ,双曲线的标准方程为： 答案：应填 考点：双曲线的标准方程与简单几何性质 . 解答题 已知关于 的一元二次函数 ，设集合，分别从集合 P和 Q中随机取一个数作为 和 （ 1）求函数 有零点的概率； （ 2）求函数 在区间 上是增函数的概率。 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：分别从集合 和 中随机取一个数作为 和,共有 15种基本情况，逐一列出如下 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ；由于是随机取的，每个结果出现的
10、可能性是相等的，符合古典概型的特征； （ 1）函数 有零点， 统计出符合条件的数对的个数，既可求出相应的概率值 . （ 2）因为 ,一元二次函数 的图象抛物线开口向上，对称轴是 , 由函数 在区间 上是增函数，知 统计出符合条件的数对的个数，既可求出相应的概率值 . 试题： 共有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 15种情况 （ 1） 有 ， ， ， ， ， 六种情况， 所以函数 有零点的概率为 ； （ 2）对称轴 则 有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 13种情况，函数 在区间上是增函数的概率为 考点： 1、古典概型； 2、一元二次函数与一元二次方程 . 如图，已知 为
11、平行四边形， ， ， ，点 在上， ， ， 与 相交于 现将四边形 沿折起，使点 在平面 上的射影恰在直线 上 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求折后直线 与平面 所成角的余弦值 答案：（ 1）（ 2） 试题分析：（ 1）连接 ,欲证 平面 ，只要证点 是点 在平面内的射影，易证在平面图中， 有 此结论在折后的空间几何体中仍成立 平面平面 平面 点 在平面 内的射影在直线 上 ,结合已知条件，知点 在平面 上的射影又恰在直线 上 是点 在平面内的射影，从而结论得证 .利用勾股定理求出相关线段的长度即可在直角三角形 求出 的值 . （ 2）连接 ，由（ 1）知， 是 在平面 内的射影， 就是所
12、求的线面角， 试题：（ 1）由 得 平面 则平面 平面 平面 则 在平面 上的射影在直线 上， 又 在平面 上的射影在直线 上， 则 在平面 上的射影即为点 ， 故 平面 （ 2）连接 ，由 平面 ，得 即为直线 与平面 所成的角， 在原图中，由已知，可得 折后，由 平面 ，知 则 ，即 则在 中，有 ， ，则 ， 故 即折后直线 与平面 所成角的余弦值为 相关试题 2014届天津市蓟县高三第一次模拟考试文科数学试卷（带） 已知数列 的前 项和 ，数列 满足 （ 1）求数列 的通项 ； （ 2）求数列 的通项 ； （ 3）若 ，求数列 的前 项和 答案：（ 1） （ 2） （ 3） 试题分析：
13、（ 1）利用数列的前 项和 与第 项 的关系求解 . （ 2）由 又 可转化为等差数列前 项和问题 . （ 3）由（ 1）（ 2）可得 所以， 根据和式的特点可考虑用错位相减法解决 . 试题：（ 1） , 2分 3分 当 时， ， 4分 （ 2） ， , 以上各式相加得： 9分 （ 3）由题意得 ， ， = ， 12分 考点： 1、数列前 项和 与第 项 的关系； 2、等差数列前 项和； 3、错位相减法求数列前 项和 . 已知函数 ( ) （ 1）若 在点 处的切线方程为 ，求 的式及单调递减区间； （ 2）若 在 上存在极值点，求实数 的取值范围 答案：（ 1） ,单调递减区间有 ；（ 2）
14、试题分析：（ 1）由题设知， , 解方程组可得 的值，进而确定函数 的式及其导数的表达式 ,并由不等式 的解得到函数据的单调递减区间 . （ 2）函数 在 上存在极值点 导函数 在 上存在零点，且零点两侧导数值异号，因为，导函数的二次项系数为 ,所以要分 与两种情 进行讨论 ,后者为一元二次方程的分布问题 . 试题： （ 1）由已知可得 此时 ， 4分 由 得 的单调递减区间为 ； 7分 （ 2）由已知可得 在 上存在零点且在零点两侧 值异号 时， ，不满足条件； 时，可得 在 上有解且 设 当 时，满足 在 上有解 或 此时满足 当 时，即 在 上有两个不同的实根 则 无解 综上可得实数 的
15、取值范围为 . 14分 考点： 1、导数的几何意； 2、导数在研究函数单调性与极值等性质中的应用； 3、二次函数与一元二次方程 . 已知椭圆 的长轴长为 ，离心率为 ， 分别为其左右焦点一动圆过点 ，且与直线 相切 （ 1） ()求椭圆 的方程；（ )求动圆圆心轨迹 的方程； （ 2）在曲线 上有四个不同的点 ，满足 与 共线， 与共线，且 ，求四边形 面积的最小值 答案：（ 1） (） ；（ ） ；（ 2） . 四边形面积的最小值为 . 试题分析：（ 1） ()由题意， ,再结合 解出 的值从而得到椭圆的标准方程； ()由条件 “动圆过点 ，且与直线 相切 ”知动圆圆心到定点 的距离等于到定
16、直线 的距离，且定点 不在定直线上，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线； （ 2）由题设知直线 和直线 互相垂直相交于点 ，且分别与物抛线有两个交点，因此两直线的斜率均存在且不为零，所以解决问题的基本思路是以其中一条直线的斜率 为自变量，利用直线与抛物线相交的位置关系，将四边形的面积表示成直线斜率 的函数，转化为函数的最值问题 . 试题：（ 1） ()由已知可得 则所求椭圆方程 3分 ()由已知可得动圆圆心的轨迹为抛物线，且抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，则动圆圆心轨迹方程为 6分 （ 2）由题设知直线 的斜率均存在且不为零 设直线 的斜率为 , 则直线 的方程为：联立 消去 可得 8分 由抛物线这义可知： 10分 同理可得 11分 又 （当且仅当时取到等号 ) 所以四边形 面积的最小值为 . 14分 考点： 1、椭圆的标准方程； 2、抛物线的定义与标准方程； 3、直线与抛物线的位置关系综合 .
