1、2014届山东省威海市高三 3月模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ,则 “ ”是 “ ”的 ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： A 试题分析： 时，因为 ，所以 ； 反之，若 ，则必有 ，所以 或 ， 故 “ ”是 “ ”的充分不必要条件 .选 . 考点：集合的基本关系 ,充要条件 . 已知 ，设函数 的零点为 ， 的零点为 ，则的最大值为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由 得 ，函数 的零点为 ，即 的图象相交于点 ； 由 得 ，函数 的零点为 ，即的图象相交于点 因为 互为反函数，则 与 关于直线 对
2、称， 所以 ，即 且 ， 由 ，当且仅当 时 “=”成立， 所以 的最大值为 . 故选 . 考点：函数的零点，反函数的图象和性质，基本不等式 . 双曲线 的离心率 ，则以双曲线的两条渐近线与抛物线 的交点为顶点的三角形的面积为 ( ) A B C D 答案： C 试题分析：由题可知 ， 所以， ，即 ， 故双曲线的两条渐近线为 ，抛物线方程为 ， 联立方程组 可得渐近线与抛物线的交点为 ， 由抛物线的对称性可知 的面积为 故选 . 考 点：双曲线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，三角形面积公式 . .函数 为偶函数，且在 单调递增，则 的解集为( ) A B C D 答案： C 试题分析：由
3、题意可知 即 ， 恒成立，故 ，即 ， 则 . 又函数在 单调递增，所以 . 即 解得 或 . 故选 考点：函数的奇偶性、单调性，一元二次不等式的解法 . 二项式 的展开式中第 4项为常数项，则常数项为 ( ) A B C D 答案： B 试题分析：由题意可知 的展开式的常数项为， 令 可得 . 故所求常数项为 ，选 . 考点：二项式定理 任取三个整数，至少有一个数为偶数的概率为 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：任取三个整数，共有八种情况： 其中至少有一个数为偶数的情况有 种，所以所求概率为 ， 故选 . 考点：古典概型 已知函数 向左平移 个单位后，得到函数 ，下列关于的说法正
4、确的是 ( ) A图象关于点 中心对称 B图象关于 轴对称 C在区间 单调递增 D在 单调递减 答案： C 试题分析：函数 向左平移 个单位后，得到函数 即令 ，得 ， 不正确； 令 ，得， 不正确； 由 ，得 即函数的增区间为 减区间为 故选 . 考点：三角函数图象的平移，三角函数的图象和性质 . 已知 是两条不同的直线， 是一个平面，且 ，则下列命题正确的是 ( ) A若 ，则 B若 ，则 C若 ，则 D若 ，则 答案： D 试题分析：由 ， ，可得 或 ， 不正确； 由 ， ，可得 或 ， 相交或 ， 互为异面直线， 不正确； 由 ， ，可得 或 ， 相交， 不正确； 由 ， ，可得 ，
5、 正确 . 选 . 考点：平行关系，垂直关系 . 某班级统计一次数学测试后的成绩，并制成了如下的频率分布表，根据该表估计该班级的数学测试平均分为 ( ) 分组 人数 5 15 20 10 频率 0.1 0.3 0.4 0.2 （ A） （ B） （ C） （ D） 答案： C 试题分析： 要估计两个班的平均分， 可以认为分数是均匀分布的 . ， 故选 . 考点：频率分布表 根据给出的算法框图，计算 ( ) A B C D 答案： A 试题分析：输入 ，满足 ，所以 ； 输入 ，不满足 ，所以 ，即 .故选 . 考点：算法与程序框图，函数的概念 . 若 ，则下列不等式成立的是 ( ) A B C
6、 D 答案： D 试题分析：因为 ，而对数函数要求真数为正数，所以 不成立； 因为 是减函数，又 ，则 ，故 错； 因为 在 是增函数，又 ，则 ，故 错； 在 是增函数，又 ，则 即 成立，选 . 考点：指数函数、对数函数、幂函数的性质 . （ 为虚数单位），则 ( ) A B C D 答案： D 试题分析：因为 ，所以 ，选 . 考点：复数的四则运算 填空题 函数 的定义域为 ，其图象上任一点 满足 ，则给出以下四个命题： 函数 一定是偶函数； 函数 可能是 奇函数； 函数 在 单调递增； 若 是偶函数，其值域为 其中正确的序号为 _.（把所有正确的序号都填上） 答案： 试题分析：依题意知
7、函数 的图象是双曲线 的一部分 . 由函数的定义，函数的图象可能是以下情况： 从以上情况可以看出： 表示偶函数， 表示奇函数， 对；由图 可知函数 在 单调递减，故 错；由图 可知函数是偶函数时，其值域也为，故 错 . 综上知正确的序号为 . 考点：函数的定义，函数的奇偶性、单调性，双曲线 . 设 满足约束条件 ，则 所在平面区域的面积为 _. 答案： 试题分析：画出 对应的平面区域，如图所示 . 所在平面区域的面积为 . 考点：不等式组表示的平面区域，定积分的应用 . 已知圆 过椭圆 的两焦点且关于直线 对称，则圆 的方程为_. 答案： 试题分析：由题可知 ，所以 ，椭圆的焦点为故圆的圆心在
8、直线 上，又圆 关于直线 对称，圆心也在该直线上，与方程 联立可得圆心坐标为 ，半径为. 故圆的方程为 . 考 点：椭圆的几何性质，圆的几何性质，圆的方程 . 若函数 在 上有两个不同的零点，则实数 的取值范围为 _. 答案： 试题分析：由题意可知 ， 该函数在 上有两个不同的零点，即 在 上有两个不同的交点 . 结合函数的图象可知 ，所以 . 考点：两角和差的三角函数，三角函数的图象和性质 . 解答题 已知向量 ， . （ 1）若 ， ，且 ，求 ； （ 2）若 ，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） 的取值范围为 . 试题分析：（ 1）根据 知 ， 利用两角和差的三角函数得到 ，
9、 再根据 角的范围得到 ； （ 2）利用平面向量的数量积，首先得到. 应用换元法令 将问题转化成二次函数在闭区间的求值域问题 . 试题： （ 1） 1分 整理得 3分 过 4分 6分 （ 2） 8分 令 9分 当 时， ，当 时， 11分 的取值范围为 . 12分 考点：，平面向量垂直的充要条件，平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，二次函数的图象和性质 . 一个袋子中装有 7个小球，其中红球 4个，编号分别为 1,2,3,4，黄球 3个，编号分别为2,4,6，从袋子中任取 4个小球（假设取到任一小球的可能性相等） . （ 1）求取出的小球中有相同编号的概率； （ 2）记取出的小球的最大编号为
10、 ，求随机变量 的分布列和数学期望 . 答案： (1) ； (2)随机变量 的分布列为： 3 4 6 随机变量 的数学期望 . 试题分析： (1)应用古典概型概率的计算公式，关键是利用组合知识，确定事件数； (2) 随机变量 的可能取值为 . 计算相应概率即得随机变量 的分布 列为： 3 4 6 数学期望 . 试题： (1)：设取出的小球中有相同编号的事件为 ， 编号相同可分成 一个相同和两个相同 2分 4分 (2) 随机变量 的可能取值为： 3， 4， 6 6分 ， 7分 ， 8分 9分 所以随机变量 的分布列为： 3 4 6 10分 所以随机变量 的数学期望 . & 如图，矩形 所在的平面
11、和平面 互相垂直，等腰梯形 中， ，=2， ， ， ， 分别为 ， 的中点， 为底面的重心 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求直线 与平面 所成角的正弦值 . 答案：（ 1）见；（ 2） . 试题分析：（ 1）平行关系的证明问题问题，要注意三角形中位线定理的应用，注意平行关系的传递性，以及线线关系、线面关系、面面关系的相互转化； （ 2）立体几何中的求角问题，往往有两种思路，即 “几何法 ”和 “向量法 ”.本题应用 “几何法 ”，应注意 “一作，二证，三 计算 ”，注意在直角三角形中解决问题； 应用 “向量法 ”，要注意利用已有的垂直关系，一建立空间直角坐标系 . 本题建系后，确定点的
12、坐标及平面 的法向量为 ， 及 计算得到 ，利用角的 “互余 ”关系，即得直线 与平面 所成角的正弦值为 . 试题：（ 1）连结 延长交 于 ，则 为 的中点，又 为 的中点， ，又 平面 ， 平面 2分 连结 ，则 ， 平面 ， 平面 4分 平面 平面 ， 5分 平面 ， 6分 （ 2） 矩形 所在的平面和平面 互相垂直， 所以 平面 ，又 平面 ，所以 7分 又 ， ， ， 由余弦定理知 ， 得 8分 平面 9分 所以 为直线 与平面 所成的角， 10分 在直角三角形 中 12分 法二：以 为原点建立如图所示空间直角坐标系， 7分 设平面 的法向量为 ， 相关试题 2014届山东省威 海市
13、高三 3月模拟考试理科数学试卷（带） 已知正项数列 ，其前 项和 满足 且 是 和 的等比中项 . (1)求数列 的通项公式； (2) 符号 表示不超过实数 的最大整数，记 ，求 . 答案： (1) 所以 ； (2) . 试题分析： (1) 由 知 通过 得 整理得 ， 根据 得到 所以 为公差为 的等差数列，由 求得 或 .验证舍去. (2) 由 得 ，利用符号 表示不超过实数 的最大整数知， 当 时， ， 将 转化成 应用 “错位相减法 ”求和 . 试题： (1) 由 知 1分 由 得 整理得 2分 为正项数列 ， 3分 所以 为公差为 的等差数列，由 得 或 4分 当 时， ，不满足 是
14、 和 的等比中项 . 当 时， ，满足 是 和 的等比中项 . 所以 . 6分 (2) 由 得 ， 7分 由符号 表示不超过实数 的最大整数知，当 时， ， 8分 所以令 9分 10分 得 即 . 12分 考点：等差数列的通项公式，对数运算， “错位相减法 ”. 过椭圆 的左顶点 作斜率为 2的直线，与椭圆的另一个交点为，与 轴的交点为 ，已知 . （ 1）求椭圆的离心率； （ 2）设动直线 与椭圆有且只有一个公共点 ， 且与直线 相交于点 ，若 轴上存在一定点 ，使得 ，求椭圆的方程 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ I）根据 ,设直线方程为 , 确定 的坐标，由 确定得到
15、， 再根据 点在椭圆上，求得 进一步即得所求 ； （ 2）由 可设 , 得到椭圆的方程为 ， 由 得 根据动直线 与椭圆有且只有一个公共点 P 得到 ,整理得 . 确定 的坐标 ， 又 , 若 轴上存在一定点 ，使得 ,那么 可得 ,由 恒成立 ,故 ，得解 . 试题：（ 1） ,设直线方程为 , 令 ,则 , , 2分 3分 ， = , 整理得 4分 点在椭圆上 , , 5分 即 , 6分 （ 2） 可设 , 椭圆的方程为 7分 由 得 8分 动直线 与椭圆有且只有一个公共点 P ,即 整理得 9分 设 则有 , 设函数 （其中 ）， ，已知它们在处有相同的切线 . (1)求函数 ， 的式；
16、 (2)求函数 在 上的最小值； (3)若 对 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案： (1) . (2) ； （ 3）满足题意的 的取值范围为 . 试题分析： (1) 应用导数的几何意义，确定切点处的导函数值，得切线斜率，建立的方程组 . (2) 应用导数研 究函数的最值，基本步骤明确，本题中由于 中 的不确定性，应该对其取值的不同情况加以讨论 . 当 时， 在 单调递减， 单调递增， 得到 . 当 时， 在 单调递增，得到 ； 即 . （ 3）构造函数 ， 问题转化成 . 应用导数研究函数 的最值，即得所求 . 试题： (1) ， 1分 由题意，两函数在 处有相同的切线 . ， . 3分 (2) ，由 得 ，由 得 ， 在 单调递增，在 单调递减 . 4分 当 时， 在 单调递减， 单调递增， . 5分 当 时， 在 单调递增， ； 6分 （ 3）令 ， 由题意当 7分 恒成立， 8分 ， 9分 ，由 得 ；由 得 在 单调递减，在 单调递增 10分 当 ，即 时， 在 单调递增，
