1、2014届山东省淄博市高三 3月模拟考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 （ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 ， 所以， .选 B. 考点：集合的运算 ,一元二次不等式的解法 . 若函数 的导函数在区间 上的图像关于直线 对称，则函数在区间 上的图象可能是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：因为函数 的导函数在区间 上的图象关于直线对称，即导函数要么图象无增减性，要么是在直线 两侧单调性相反； 由图 得，在 处切线斜率最小，在 处切线斜率最大，故导函数图象不关于直线 对称，故 不成立； 由图 得，在 处切线斜率最大，在 处切线斜率最小，故导函数
2、图象不关于直线 对称，故 不成立； 由图 得，原函数为一次函数，其导函数为常数函数，故导函数图象关于直线对称， 成立； 由图 得，原函数有一对称中心，在直线 与原函数图象的交点处，故导函数图象关于直线 对称， 成立； 所以，满足要求的有 故选 D 考点：利用导数研究函数的单调性，函数的图象 . 过抛物线 焦点 的直线交其于 ， 两点， 为坐标原点若，则 的面积 为（ ） A B C D 2 答案： C 试题分析：设直线 的倾斜角为 及 ， ， 点 到准线 的距离为 ， ，则 的面积为 故选 C. 考点：抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系 . 下列说法正确的是 A “ 为真 ”是 “ 为真
3、 ”的充分不必要条件； B设有一个回归直线方程为 ，则变量 每增加一个单位， 平均减少 个单位； C若 ，则不等式 成立的概率是 ； D已知空间直线 ，若 ， ，则 答案： B 试题分析：由 为真可知， 至少有一个是真命题即可，所以 不一定是真命题；反之， 是真命题， 均为真命题，所以 一定是真命题，A不正确； 由以 代替 中的 ，得 ，即变量 每增加一个单位，平均减少 个单位，所以 B正确； 确定的点 对应正方形面积为 1，满足 的点 对应图形的面积为 ，所以不等式 成立的概率是 ， C 不正确； 由于 是空间直线，所以 ， 时， 或 为异面直线， D不正确 . 故选 B. 考点：充要条件，
4、简单逻辑联结词，回归分析，几何概型，空间直线的位置关系 . 把边长为 的正方形 沿对角线 折起，形成的三棱锥 的正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：由正视图与俯视图可得三棱锥 的一个侧面与底面垂直，其侧视图是直角三角形，且直角边长均为 ，所以侧视图的面积为，选 D. 考点：三视图 设 ， ，若 ，则 的最小值为 A B 6 C D 答案： A 试题分析：因为 ， ， ，所以 ， ； 所以， 当且仅当 时， “=”成立，故答案：为 A. 考点：基本不等式 执行如图所示的程序框图，若输入的 的值为 ，则输出的 的值为（ ） A 3 B 126 C
5、 127 D 128 答案： C 试题分析：输入的 的值为 ，运行程序， 不满足 ； 运行程序， 不满足 ； 运行程序， 满足 ，输出 . 故选 C. 考点：算法与程序框图 在等差数列 中，已知 ，则 =（ ） A 10 B 18 C 20 D 28 答案： C 试题分析：因为 ，所以由等差数列的性质，得 ， 所以 = ，选 C. 考点：等差数列的性质 已知 ，那么 的值是（ ） A B C D 答案： B 试题分析：因为 ，所以，选 B. 考点：三角函数的同角公式、倍角公式 . 在复平面内，复数 对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： D 试题分析：因为
6、，所以其对应点为 ，位于第四象限 .选 D. 考点：复数的几何意义，复数的四则运算 . 填空题 对于大于 1的自然数 的三次幂可用奇数进行以下方式的 “分裂 ”：仿此，若 的 “分裂数 ”中有一个是 2015，则 答案： 试题分析：由已给定的前边向个自然数的三次幂的分裂中，不难找出规律，即增加 ，累加的奇数个数便多 ，我们不难计算 是第 个奇数，若它是 的分解，则 至 的分解中，累加的奇数一定不能超过 个 . ， 即 ，解得 . 考点：新定义问题，归纳推理，等差数列的求和公式，一元二次不等式的解法 . 已知点 ，若点 是圆 上的动点，则面积的最小值为 答案： 试题分析： ，即 圆的圆心 ，半径
7、为 如图，过圆心作 所在直线的垂线，交圆于 ，此时 的面积最小 圆心到直线 ： 的距离为 ，所以 ， 即 面积的最小值为 . 考点：直线方程，点到直线的距离公式，圆的方程 . 已知向量 、 的夹角为 ，且 ， ，则向量 与向量 的夹角等于 答案： （或 ） 试题分析： 设向量 与向量 的夹角为 ， 则 ， 而 ， 所以 ， ，即向量 与向量 的夹角等于 （或 ） . 考点：平面向量的数量积、模及夹角 . 已知变量 满足约束条件 ，则 的最大值是 答案： 试题分析：作出可行域如图所示，直线 .平移直线 ，当其经过点时，直线的纵截距最大，即 最大，最大值为 . 考点：简单线性规划 已知函数 为奇函
8、数，当 时， ，则满足不等式的 的取值范围是 答案： 试题分析：当 时， ，由 得 所以 ，同理，当 时， ； 根据奇函数的图象关于原点对称知，当 时， ，故答案：为. 考点：函数的奇偶性，对数函数的性质 . 解答题 已知向量 ， ，函数 ， 三个内角 的对边分别为 . （ 1）求 的单调递增区间； （ 2）若 ，求 的面积 答案：（ 1）函数 的单调增区间为 . （ 2） 的面积 . 试题分析：（ 1）根据平面向量的数量积，应用和差倍半的三角函数公式，将化简为 ，讨论函数的单调性； （ 2） 本题解答可有两种思路，在利用 得到 ， 求得 后，一是可应用正弦定理 ，得到 ， 或者 根据 为钝角
9、，确定 ，得 ；二是应用余弦定理，得 ， 或 （舍去），进一步确定的面积 . 试题：（ 1）由题意得 = = ， 3分 令 解得 所以函数 的单调增区间为 . 6分 （ 2） 解法一：因为 所以 ， 又 ， , 所以 ，所以 , 8分 由正弦定理 把 代入，得到 10分 得 或者 ，因为 为钝角，所以 舍去 所以 ，得 . 所以， 的面积 . 12分 解法二：同上（略） , 8分 由余弦定理， ，得 ， 或 （舍去） 10分 所以， 的面积 . 12分 考点：平面向量的数量积，和差倍半的三角函数，正弦定理、余弦定理的应用，三角形面积公式 . 在如图所示的几何体中，四边形 是矩形， 平面 ， ，
10、 ， ， 分别是 ， 的中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证： 平面 答案：（ 1）证明见；（ 2）证明见 . 试题分析：（ 1）连接 ，应用三角形中位线定理得 （ 2）连结 ， .可得到平面 平面 ； 通过证明 ，得到所以 平面 通过确定四边形 为平行四边形，进一步得到四边形 为平行四边形，即可得证 . 试题：证明：（ 1）连接 ，因为 、 分别是 , 的中点， 所以 2分 又因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 4分 （ 2）连结 ， .因为 平面 ， 平面 ， 所以 平面 平面 6分 因为 ， 是 的中点， 所以 所以 平面 8分 因为 , 所以 四边形 为平行四边形，所以 .
11、10分 又 ，所以 所以 四边形 为平行四边形， 则 . 所以 平面 12分 考点：平行关系，垂直关系 . 参加市数学调研抽测的某校高三学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如下，据此解答如下问题： （ 1）求参加数学抽测的人数 、抽测成绩的中位数及分数分别在 ，内的人数； （ 2）若从分数在 内的学生中任选两人进行调研谈话，求恰好有一人分数在 内的概率 答案：（ 1）参加数学竞赛人数 ，中位数为 73，分数在 、内的人数分别为 人、 人 （ 2）恰好有一人分数在 内的概率为 . 试题分析：（ 1）注意应用频率分布直方图中矩形的 ， ； （ 2）设 “在 内的
12、学生中任选两人，恰好有一人分数在 内 ”为事件 ， 将 内的 人编号为 ； 内的 人编号为 在 内的任取两人的基本事件为： 共 15个，其中，恰好有一人分数在 内的基本事件有 共 8个 . 由古典概型概率的计算公式即得所求 . 试题：（ 1）分数在 内的频数为 2，由频率分布直方图可以看出，分数在内同样有 人 2分， 由 ， 得 ， 3分 茎叶图可知抽测成绩的中位数为 4分 分数在 之间的人数为 5分 参加数学竞赛人数 ，中位数为 73，分数在 、 内的人数分别为 人、 人 6分 （ 2）设 “在 内的学生中任选两人，恰好有一人分数在 内 ”为事件 ， 将 内的 人编号为 ； 内的 人编号为
13、在 内的任取两人的基本事件为： 共 15个 9分 其中，恰好有一人分数在 内的基本事件有 在数列 中， ， ，设 （ 1）证明：数列 是等比数列； （ 2）求数列 的前 项和 ； （ 3）若 ， 为数列 的前 项和，求不超过 的最大的整数 答案：（ 1）见；（ 2） ； (3)不超过 的最大的整数是 试题分析：（ 1）注意从 出发，得到 2分 即 ，肯定数列 是公比为 的等比数列 . （ 2）利用 “错位相减法 ”求和 . （ 3）由 (1)得 ，从而可得到 ，利用 “裂项相消法 ”求 . 利用 ， 得出结论 . 试题：（ 1）由 两边加 得， 2分 所以 ， 即 ，数列 是公比为 的等比数列
14、 3分 其首项为 ，所以 4分 （ 2） 5分 - 得 所以 8分 (3)由 (1)得 ，所以 10分 所以不超过 的最大的整数是 12分 考点：等比数列的定义、通项公式及求和公式， “错位相减法 ”， “裂项相消法 ”. 已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点 到直线的距离为 （ 1）求椭圆 的方程； （ 2）过椭圆右焦点 F2斜率为 （ ）的直线 与椭圆 相交于 两点，为椭圆的右顶点，直线 分别交直线 于点 ，线段 的中点为 ，记直线 的斜率为 ，求证： 为定值 答案：（ 1） （ 2）证明见 . 试题分析：（ 1）利用椭圆的几何性质，建立 的方程组即得； （ 2）要证明 为定值，须从确定两直
15、线斜率的表达式入手 .根据题目的条件，应注意设出 的直线方程，并与椭圆方程联立，应用韦达定理，建立 与坐标的联系；确定 的坐标，将斜率 用坐标表示 .得到 ， 的关系即得证 . 设过点 的直线 方程为： ， ，点 ， 将 代入椭圆 整理得： 应用韦达定理 ； 根据直线 的方程为： ，直线 的方程为：令 ，得点 ， ，点 ； 由直线 的斜率为 ， 将 代入上式得到 ， 的关系即得证 . 试题：（ 1）由题意得 ， ， 2分 所以 ， ，所求椭圆方程为 4分 （ 2）设过点 的直线 方程为： ， 设点 ，点 5分 将直线 方程 代入椭圆 整理得： 6分 因为点 在椭圆内，所以直线 和椭圆都相交，
16、恒成立， 且 7分 直线 的方程为： ，直线 的方程为： 令 ，得点 ， ， 所以点 的坐标 已知函数 ， （ ， ） （ 1）判断曲线 在点（ 1， ）处的切线与曲线 的公共点个数； （ 2）当 时，若函数 有两个零点，求 的取值范围 答案：（ 1）当 时，即 或 时，有两个公共点； 当 = 时，即 或 时，有一个公共点； 当 时，即 或 时，有两个公共点； 当 = 时，即 或 时，有一个公共点； 当 时 ,即 时，没有公共点 7分 （ 2） = ， 由 得 8分 令 ，则 当 ，由 得 10分 所以， 在 上单调递减，在 上单调递增 因此， 11分 由 ， 比较可知 所以，当 时，函数 有两个零点 . 14分 考点：导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值，直线与圆锥曲线的位置关系，转化与划归思想 .
