1、2014届广东佛山南海普通高中高三 8月质量检测理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ，则 等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析： ， . 考点：交集运算 . 给出下列命题： 在区间 上，函数 , , , 中有三个是增函数； 若 ，则 ； 若函数 是奇函数，则 的图象关于点 对称； 已知函数则方程 有 个实数根，其中正确命题的个数为（ ） A B C D 答案： C 试题分析： 在区间 上， ， 是减函数， ，是增函数，错误； 如图 在第一象限，底数越大，函数 的图像越高， ，正确； 函数 的图像向右平移一个单位，得到 的图像，对称中心为（ 1,0），正确； 或 或或 ，正
2、确 . 考点：幂函数，对数函数，指数函数的图像与性质 . 已知抛物线 的焦点 与双曲线 的右焦点重合，抛物线的准线与 轴的交点为 ，点 在抛物线上且 ，则 的面积为（ ） A 4 B 8 C 16 D 32 答案： D 试题分析： （ ， 0），双曲线 的右焦点为（ 4,0）， =4，=8， 抛物线方程为 ， =（ ），设 ，解得 ，与联立，解得 ， ， 的面积为 32. 考点：抛物线的概念与运算 . 的展开式中含 的正整数指数幂的项数是（ ） A 0 B 2 C 4 D 6 答案： B 试题分析： 的展开式中第 项为 ，当 为正整数时， =0， 2， 项数为 2. 考点：二项式定理的运算 .
3、 若 ， 是两个非零向量，则 “ ”是 “ ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析： . 考点：向量运算，充分必要条件判断 . 用反证法证明命题：若整数系数的一元二次方程 有有理实数根，那么 ， ， 中至少有一个是偶数，下列假设中正确的是（ ） A假设 ， ， 至多有一个是偶数 B假设 ， ， 至多有两个偶数 C假设 ， ， 都是偶数 D假设 ， ， 都不是偶数 答案： D 试题分析： “至少有一个 ”的否定为 “一个都没有 ”，即假设 ， ， 都不是偶数 . 考点：反证法，命题的否定 . 已知 为等差数列，其前 项和为 ，若
4、， ，则公差 等于（ ） A BC D 答案： C 试题分析： ， ， . 考点：等差数列的概念与运算 . 已知 是实数， 是纯虚数，则 等于（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 是纯虚数， ， . 考点：纯虚数的概念与计算 . 填空题 在极坐标系 （ ）中，直线 被圆 截得的弦长是 答案： 试题分析：直线为 ，圆的方程为 ，交于原点和点（ 1,1），弦长为 . 考点：直线和圆的极坐标方程，两点间的距离公式 . 如图，圆 的割线 交圆 于 、 两点，割线 经过圆心已知， ， 则圆 的半径 答案： 试题分析： , ，连接 ， ， ，. 考点：圆周角定理，相似三角形 . 在等差数列 中，
5、若 ，则 类比上述结论，对于等比数列 （ ），若 ，（ ， ），则可以得到 答案： 试题分析：设公比为 ， ， ， ，. 考点：等差数列，等比数列的性质 . 如图所示， 是以 为圆心，半径为 1的圆的内接正方形，将一粒豆子随机地扔到该圆内，用 表示事件 “豆子落在正方形 内 ”， 表示事件“豆子落在扇形 （阴影部分）内 ”，则 答案： 试题分析： 表示事件 “豆子落在 内 ”，. 考点：几何概型，条件概率 . 一个几何体的三视图如左下图所示，则该几何体的表面积为 答案： + 试题分析：如图该几何体为四棱柱，上下底面为梯形，其表面积为 75+ . 考点：三视图的概念和运算 . 已知圆 ： ，若直
6、线 与圆 相切，且切点在第四象限，则 答案： 试题分析：如图，设切点为 ，圆 ： ， , ，在直角三角形 中， ， . 考点：直线与圆的位置关系 . 若 ，且 ，则 答案： 试题分析： ， ， 是第三象限角， . 考点：同角三角函数的关系 . 解答题 已知函数 （ ）求 的最小正周期； （ ）当 时，求 的最大值 答案：（ ） ；（ ） +1. 试题分析：将函数化简为 形式，（ 1）周期公式为 ；（ 2）将 当成一个整体，由 的范围求出 的范围，进而根据 的图像判断最大值 . 试题： 1分 2分 3分 4分 5分 （ ） 的最小正周期 7分 （ ） ， 8分 当 ，即 时， 取得最大值 10分
7、 且最大值为 12分 考点：二倍角公式，降次公式，三角函数的图像和性质 . 为了了解某班的男女生学习体育的情况，按照分层抽样分别抽取了 10名男生和 5名女生作为样本，他们期末体育成绩的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数。 （ ）若该班男女生平均分数相等，求 x的值； （ ）若规定 85分以上为优秀，在该 10名男生中随机抽取 2名，优秀的人数记为 ，求 的分布列和数学期望 答案：（ ） 6；（ ） . 试题分析：（ ）平均数公式为 ；（ ） 的可能取值为 0,1,2，求出相应的概率，得到分布列，应用期望公式 求出期望 . 试题：（ ）依题意可得， ， 1分 x=6. 3分 （ ）由茎
8、叶图可知， 10名男生中优秀的人数为 6人。 4分 , 6分 , 8分 , 10分 0 1 2 答： 的数学期望为 12分 . 考点：随机事件的概率和随机变量的分布列、数学期望等概念 . 已知数列 的前 项和为 ，数列 的首项 ，且点在直线 上 （ 1）求数列 ， 的通项公式； （ 2）若 ，求数列 的前 项和 答案：（ 1） （ 2） 试题分析：（ 1）根据 求出 ，根据已知条件和等比数列定义求出 ；（ 2）应用错项相减法求差比数列的前 项和 . 试题：（ 1）由 得 ， 1分 2分 当 =1时， ， 3分 综上 4分 点 在直线 上， ，又 ， 5分 是以 2为首项 2为公比的等比数列，
9、7分 （ 2）由（ 1）知，当 时， ； 8分 当 时， ， 9分 所以当 时， ； 当 时， 则 10分 得： 12分 即 ， 13分 显然，当 时， ， 所以 14分 . 考点：等差数列，等比数列的通项求法，差 比数列前 项和求法 . 如图，边长为 2 的正方形 中，点 是 的中点，点 是 的中点，将 、 分别沿 、 折起，使 、 两点重合于点 ，连接， （ 1）求证： ； （ 2）求二面角 的余弦值 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）由 ， 证出 平面 ，进而证出结论；（ 2）方法一：根据对称可判断 即为所求，由（ 1）可证 为直角三角形，再求出边长即可；方法二：建系，
10、求出平面 和平面 的法向量，两法向量的夹角的余弦值即为所求 . 试题：（ 1）在正方形 中，有 ， 1分 则 ， 2分 又 3分 平面 4分 而 平面 ， 5分 （ 2）方法一：连接 交 于点 ，连接 6分 在正方形 中，点 是 的中点，点 是 的中点， ， ， 点 为 的中点， 且 7分 正方形 的边长为 2， ， 8分 为二面角 的平面角 9分 由（ 1）可得 ， 为直角三角形 10分 正方形 的边长为 2， ， ， ， ， 又 11分 设 是曲线 上的任一点， 是曲线 上的任一点，称 的最小值为曲线 与曲线 的距离 . （ 1）求曲线 与直线 的距离； （ 2）设曲线 与直线
11、 （ ）的距离为 ，直线与直线 的距离为 ，求 的最小值 . 答案： (1) ； (2) . 试题分析：（ 1）曲线 上任意一点点 到 的距离为，用求导的方法判断最小值；（ 2）根据题意，应用基本不等式求出最小值，注意一正二定三相等 . 试题：（ 1）只需求曲线 上的点到直线 距离的最小值 . 1分 设曲线 上任意一点为 则点 到 的距离为 3分 令 ,则 ,由 ； 5分 故当 时 , 函数 取极小值即最小值 ， 即 取最小值 ，故曲线 与曲线 的距离为 ； 8分 （ 2）由（ 1）可知， ，又易知 ， 9分 则 ， 12分 当且仅当 时等号成立，考虑到 ，所以，当 时， 的最小值为 14分
12、考点：点到直线的距离公式，用导数方法求最值，基本不等式的用法 . 已知实数组成的数组 满足条件： ； （ ）当 时，求 ， 的值； （ ）当 时，求证： ； （ ）设 ,且 ，求证： 答案：（ 1） 或 ；（ 2）详见；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）列出方程组 求解；（ 2）应用绝对值不等式进行证明；（ 3）应用绝对值不等式可以证明 . 试题：（ ）解： 由（ 1）得 ，再由（ 2）知 ，且 . 当 时， .得 ，所以 2分 当 时，同理得 4分 （ ）证明：当 时， 由已知 , . 所以 . 9分 （ ）证明：因为 ，且 . 所以 , 即 . 11分 ) . 14分 . 考点：绝对值不等式 .
