1、2014届广东省东莞市高三第二次模拟考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设集合 ， ，则下列关系中正确的是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意知 ，所以 ，因此， ，故选 A. 考点：集合的包含关系 如图所示， 、 、 是圆 上的三点， 的延长线与线段 交于圆内一点 ，若 ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由于 、 、 三点共线，设 ，则，由于 、 、 三点共线，且点 在圆内，点 在圆上，与 方向相反，则存在 ，使得，因此 ， ，所以 ，选 C. 考点： 1.共线的平面向量； 2.平面向量的线性表示 若 ，则点 必在（ ） A直线 的左下方 B直线 的右
2、上方 C直线 的右上方 D直线 的左下方 答案： A 试题分析：由基本不等式得 ，即 ，因此有 ，因此点 在直线 的左下方，故选 A. 考点： 1.基本不等式； 2.线性规划 已知双曲线 的右焦点与抛物线 焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：抛物线 的焦点坐标为 ，由题意知 ，故双曲线的方程为 ，因此双曲线的渐近线方程为 ，故选 D. 考点： 1.双曲线与抛物线的几何性质； 2.双曲线的渐近线 已知实数 、 满足 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：作出不等式组 所表示的可行域如下图所示， 则 可视为可行域内的一点 与点
3、连线之间的斜率，过点且与 轴垂直的直线与线 上交于点 ，直线 与轴交于点 ，当过点 的直线从点 往向上的区域移动时，倾斜角增大，此时 从 变化至使得直线过点 的直线与直线 近乎平行，此时；当过点 的直线从点 到点 移动时，倾斜角增大，此时 的值从变化至 ，而 ，此时 ，综上所述， 的取值范围是 ，故选 D. 考点： 1.线性规划； 2.直线的斜率 已知 、 是两条直线， 、 是两个平面，给出下列命题： 若 ，则 ； 若平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等，则 ； 若 、 为异面直线， ， ， ， ，则 其中正确命题的个数（ ） A 个 B 个 C 个 D 个 答案： B 试题分析：如下图所
4、示，在正方体 中，棱 、 、 、的中点分别为 、 、 、 ，对于命题 ， 平面 ，平面 ，则平面 平面 ，命题 为真命题；对于命题 ，和 的中点 和 都在平面 内，但是平面 与平面不平行，命题 不正确；对于命题 ， 与 为异面直线，平面 ， 平面 ， 平面 ， 平面，则可以在平面 内找到 ， ，于是得到平面平面 ，平面 平面 ，所以，平面 平面 ，命题 正确，故选 B. 考点：空间中点、线、面的位置关系 如图是 年元旦晚会举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某选手打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：去掉一个最高分和一
5、个最低分后，所剩的数据分别是 、 、 、 ，其平均数为 ，因此所剩下的数据的方差为，故选 D. 考点： 1.茎叶图； 2.方差 已知函数 的图象与 的图象关于直线 对称，则（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由于函数 （ 且 ）与函数 （ 且 ）关于直线 对称，因此 ， ，故选 C. 考点：反函数的概念 对于非零向量 、 ， “ ”是 “ ”成立的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案： B 试题分析：取 ， ，则 ，且 ，所以，另一方面， ，则 ， 与 互为相反向量，则，所以 ，所以 “ ”是 “ ”成立的必要不充分条件，故选 B.
6、 考点： 1.共线向量； 2.充分必要条件 复数 的虚部是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ，因此，复数 的虚部是 ，故选A. 考点： 1.复数的除法； 2.复数的概念 填空题 如图，圆 的割线 交圆 于 、 两点，割线 经过圆心 ，已知， ， ，则圆 的半径是 _ . 答案： . 试题分析： ，设圆 的半径为 ，由割线定理得，即 ， ，解得 . 考点：割线定理 直线 （ 为参数）的倾斜角是 答案： . 试题分析：直线 的斜率为 ，因此该直线的倾斜角为 . 考点： 1.直线的参数方程； 2.直线的斜率 已知 的内角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ， ，. 则 的值为 .
7、答案： . 试题分析： 且 ，所以 ，所以，由正弦定理得 ，. 考点：正弦定理 已知数列 是等差数列， ， ，则首项 . 答案： . 试题分析：设等差数列 的公差为 ，则有 ， ，解得 ， . 考点：等差数列 函数 的极小值是 . 答案： . 试题分析： ，令 ，解得 ，列表如下： 极大值 极小值 故函数 在 处取得极小值，即 . 考点：函数的极值 解答题 已知函数 ， . （ 1）求 的值； （ 2）求 的最大值和最小正周期； （ 3）若 ， 是第二象限的角，求 . 答案：（ 1） ；（ 2）最大值为 ，最小正周期为 ；（ 3） . 试题分析：（ 1）直接将 代入函数式进行计算即可；（ 2）
8、利用辅助角公式对三角函数 的式进行化简，从而利用公式求出函数 的最大值与最小正周期；（ 3）利用已知条件求出 的值，然后利用同角三角函数的基本关系求出 的值，最终利用二倍角公式求出 的值 . （ 1） ； （ 2）， 的最大值为 ，最小正周期为 ； （ 3）由（ 1）知， ， 所以 ，即 ， 又 是第二象限角，所以 ， 所以 . 考点： 1.辅助角公式； 2.三角函数的最值与周期； 3.同角三角函数的基本关系；4.二倍角 （本小题满分 12分）一工厂生产甲、乙、丙三种样式的杯子 ,每种样式均有和 两种型号，某天的产量如右表（单位：个）：按样式分层抽样的方法在这个月生产的杯子中抽取 个，其中有甲
9、样式杯子 个 . 型号 甲样式 乙样式 丙样式 （ 1）求 的值； （ 2）用分层抽样的方法在甲样式杯子中抽取一个容量为 的样本，从这个样本中任取 个杯子，求至少有 个 杯子的概率 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先求出在丙、乙样式的杯子中所抽取的杯子数目，然后利用分层抽样中每层的入样比相等得到乙样式的杯子的总数，从而求出 的值；（ 2）先确定所抽取的样本中 和 杯子各自的数目，并进行编号，利用列举法求出基本事件的总数与问题中涉及的事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出相应事件的概率 . （ 1）设该厂本月生产的乙样式的杯子为 个，在丙样式的杯子中抽取 个， 由
10、题意得， ，所以 ， 则 ，所以， ， ，故 ； （ 2）设所抽取样本中有 个 的杯子， 因为分层抽样的方法中在甲样式杯子中抽取一个容量为 的样本，所以，解得 ， 也就是抽取了 个 杯子， 个 杯子， 分别记作 、 、 、 、 ，则从中任取 个的所有的基本事件为： 、 、 、 、 、 、 、 、 ， 共 个，其中至少有 个 的杯子的基本事件： 、 、 、 、 、 、 ， 所以从中任取 个，至少有 个 杯子的概率为 . 考点： 1.分层抽样； 2.古典概型 如图，已知 平面 ， ， ， 且 是 的中点， . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证：平面 平面 ； （ 3）求此多面体的体积 . 答
11、案：（ 1）详见；（ 2）详见；（ 3） . 试题分析：（ 1）取 的中点 ，连结 、 ，利用中位线证明 ，利用题中条件得到 ，进而得到 ，于是说明四边形 为平行四边形，得到 ，最后利用直线与平面平行的判定定理证明 平面；（ 2）由 平面 得到 ，再利用等腰三角形三线合一得到 ，利用直线与平面垂直的判定定理证明 平面 ，结合（ 1）中的结论 证明 平面 ，最后利用平面与平面垂直的判定定理证明平面 平面 ；（ 3）利用已知条件得到平面 平面 ，然后利用平面与平面垂直的性质定理求出椎体 的高，最后利用椎体的体积公式计算该几何体的体积 . （ 1）取 中点 ，连结 、 ， 为 的中点， ，且， 又
12、，且 ，且 ， 为平行四边形， ， 又 平面 ， 平面 ， 平面 ； （ 2） ， ，所以 为正三角形， ， 平面 ， ， 平面 ，又 平面 ， ，又 ， ， 平面 ，又 ， 平面 ， 又 平面 ， 平面 平面 ； （ 3）此多面体是一个以 为定点，以四边形 为底边的四棱锥， 相关试题 2014届广东省东莞市高三第二次模拟考试文科数学试卷（带） 已知函数 ，数列 的前 项和为 ，点均在函数 的图象上 . （ 1）求数列 的通项公式 ； （ 2）令 ，证明： . 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）利用 时， 以及 时， 以此求出数列的通项公式；（ 2）利用基本不等式 由此证明
13、，利用裂项法得到 ，由此计算出数列的前 项和，于此证明 . （ 1） 点 在 的图象上， ， 当 时， ； 当 时， 适合上式， ； （ 2）证明：由 ， ， 又 ， ， 成立 . 考点： 1.定义法求数列通项； 2.基本不等式； 3.裂项法求和 已知函数 . （ 1）当 时，求函数 的极值； （ 2）若对 ，有 成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1）极大值 ，极小值 ；（ 2） . 试题分析：（ 1）将 代入函数 的式，利用导数结合表格求出函数的极大值与极小值；（ 2）对 的符号进行分三类讨论 ； ； ，主要是取绝对值符号，结合基本不等式求出参数 的取值范围，最后再相应地取 在三种情况
14、下对应取值范围的交集 . （ 1）当 时， ， ， 令 ，解得 ， ， 当 时，得 或 ； 当 时，得 ， 当 变化时， ， 的变化情况如下表： 单调递增 相关试题 2014届广东省东莞市高三第二次模拟考试文科数学试卷（带） 免责声明 联系我们 地址：深圳市龙岗区横岗街道深峰路 3号启航商务大厦 5楼 邮编：518000 2004-2016 21世纪教育网 粤ICP备09188801号 粤教信息(2013)2号 工作时间 : AM9:00-PM6:00 服务电话 : 4006379991 如图，已知椭圆 的离心率为 ，以椭圆 的 左顶点 为圆心作圆 ，设圆 与椭圆 交于点 与点. （ 1）求椭
15、圆 的方程； （ 2）求 的最小值，并求此时圆 的方程； （ 3）设点 是椭圆 上异于 、 的任意一点，且直线 、 分别与 轴交于点 、 ， 为坐标原点，求证： 为定值 . 答案：（ 1） ；（ 2） 的最小值为 ，此时圆 的方程为； （ 3）详见 . 试题分析：（ 1）利用圆的方程的求出 的值，然后根据离心率求出 的值，最后根据 、 、 的关系求出 ，最后确定椭圆的方程；（ 2）先根据点 、的对称性，设点 ，将 表示为 的二次函数，结合 的取值范围，利用二次函数求出 的最小值，从而确定点 的坐标，从而确定圆的方程；（ 3）设点 ，求出 、 的方程，从而求出点 、 的坐标，最后利用点 在椭圆上来证明 为定值 . （ 1）依题意，得 ， ， ， ， 故椭圆 的方程为 ； （ 2）点 与点 关于 轴对称，设 、 ， 不妨设 ， 由于点 在椭圆 上，所以 ， （ *） 由已知 ，则 ， ， ， ， 由于 ，故当 时， 取得最小值为 ， 由（ *）式， ，故 ，又点 在圆 上，代入圆的方程得到， 故圆 的方程为： ； （ 3）设 ，则直线 的方程为： ， 令 ，得 ， 同理： ， 故 （ *） 又点 与点 在椭圆上，故 ， ， 代入（ *）式，得： 所以 为定值 . 考点： 1.椭圆的方程； 2.平面向量的数量积； 3.直线与椭圆的位置关系
