1、2014届广东省揭阳市高三 4月第二次模拟考试文科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知 是实数（ 是虚数单位），则实数 的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 为实数，则 ，故选 B. 考点： 1.复数的乘法； 2.复数的概念 若曲线 上存在点 满足约束条件 ，则实数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：作出不等式组 所表示的可行域如下图所示， 曲线 与直线 交于一点 ，结合图象可知，要使得曲线上存在点 在图中的可行域内，则点 必在直线 的右边，因此 ，故选 D. 考点：线性规划 已知一棱锥的三视图如图所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直
2、角梯 形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：作出其直观图如下图所示，结合三视图可知，该几何体是一个四棱锥，且其底面是一个直角梯形，其面积为 ，高为 ，因此，该几何体的体积为 . 考点： 1.三视图； 2.空间几何体的体积 运行如图的程序框图，则输出 的结果是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 成立，第一次循环， ， ； 成立，执行第二次循环， ， ； 成立，执行第三次循环， ， ； 成立，执行第四次循环， ， ； 不成立，输出 的值为 ，故选 B. 考点：算法与程序框图 在平面直角坐标系中， ， ，将向量 按逆时针旋转 后，得向量 ，则
3、点 的坐标是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：解法一：设点 ，易知点 为第二象限，且有 ，因此可得 ，解得 ，故选 A； 解法二：由于 ，不妨设点 ，则， 而 ， ，故点 的坐标为，故选 A. 考点： 1.平面向量； 2.三角函数的定义； 3.诱导公式 已知命题 ：函数 是最小正周期为 的周期函数，命题 ：函数在 上单调递减，则下列命题为真命题的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：函数 的最小正周期为 ，故命题 为真命题；结合正切函数图象可知，正切函数 在区间 上是增函数，因此函数 在区间 上是增函数，故命题 为假命题，因此命题 、 为假命题， 为真命题，故选 D. 考
4、点： 1.三角函数的基本性质； 2.复合命题 已知等差数列 中， ，前 项和 ，则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ，故选 A. 考点： 1.等差数列求和； 2.等差数列的性质 下列函数中，既是偶函数又在区间 上存在零点的是（ ） A B C D 答案： C 试题分析：结合函数的图象可知，函数 为奇函数， 为非奇非偶函数，函数 与 为偶函数，排除 A、 B选项，对于 C选项，当 ，令 ， 在 D选项中，当 ， ，即函数 在区间上无零点，故选 C. 考点： 1.函数的奇偶性； 2.函数的零点 设全集 ， ，则 （ ） A BC D 答案： C 试题分析： ，故选 C. 考
5、点： 1.函数的定义域； 2.集合的基本运算 某校有男、女生各 名，为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是 （ ） A抽签法 B随机数法 C系统抽样法 D分层抽样法 答案： D 试题分析：由于样本中男生与女生在学习兴趣与业余爱好方面存在差异性，因此所采用的抽样方法是分层抽样法 .，故选 D. 考点：抽样方法 填空题 （几何证明选讲选做题）如图 3， 是圆 的切线，切点为 ， 交圆于 、 两点，且 ， ，则 的长为 . 答案： . 试题分析：由切线长定理得 ， ， 设 ，由弦切角定理可知 ， ， ，即 ， 因此 ，由勾股定
6、理得 ，则 ，解得. 考点： 1.切割线定理； 2.相似三角形 在极坐标系中，过点 引圆 的一条切线，则切线长为 . 答案： . 试题分析：点 的直角坐标为 ，将圆的极坐标方程 化为普通方程得 ，圆心到点 的距离为 ，因此切线长为 . 考点： 1.极坐标与直角坐标的转化； 2.勾股定理 某研究机构对高三学生的记忆力 和判断力 进行统计分析，得下表数据： 根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 中的 的值为 ，则记忆力为 的同学的判断力约为 . （附：线性回归方程 中， ，其中 、 为样本平均值 ) 答案： . 试题分析：由题意知 ， ，因此样本的数据中心点为 ， 回归直线的
7、方程为 ，则 ，故回归直线的方程为 ， 令 ，则 . 考点：回归直线 过点 作圆 的弦，其中最短的弦长为 . 答案： . 试题分析：如下图所示，圆的圆心坐标为 ，点 ，过点 作圆的弦，过点 作 ，垂足为点 ，则 ，且 ，当点 与点 重合时， 取最大值，此时 取最小值，且，因此 . 考点：直线与圆的位置关系 若 ，则 . 答案： . 试题分析：. 考点：二倍角 解答题 在 中，已知 ， 且 . （ 1）求角 和 的值； （ 2）若 的边 ，求边 的长 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）利用 并结合两角差的余弦公式求出 ，然后再结合 的范围求出 的值，利用三角形的内角和定理
8、得到，最后再利用两角和的正弦公式求出的值；（ 2）在（ 1）的基础上直接利用正弦定理求出 的长度 . （ 1）由 ， ，得 且 ， 可得 ， ， ， ， ， 在 中， ， ； （ 2）在 中，由正弦定理得： ， . 考点： 1.两角和与差的三角函数； 2.内角和定理； 3.正弦定理 下表是某市从 3月份中随机抽取的 天空气质量指数（ ）和 “ ”（直径小于等于 微米的颗粒物） 小时平均浓度的数据，空气质量指数（ ）小于 表示空气质量优良 日期编号 空气质量指数（ ） “ ”小时平均浓度（） （ 1）根据上表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率； （ 2）在上表数据中，在表示空气质量优良的日
9、期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件 为 “抽取的两个日期中，当天 的 小时平均浓度不超过 ”，求事件 发生的概率 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）首先根据表格中的数据找出空气质量优良的天数，然后利用古典概型的概率计算公式即可求出当月某日空气质量优良的概率；（ 2）确定空气优良的日期，然后利用列举法并结合古典概型的概率计算公式求出相应事件的概率 . （ 1）由上表数据知， 天中空气质量指数（ ）小于 的日期有： 、 、 、 、 共 天， 故可估计该市当月某日空气质量优良的概率 ； （ 2）表示空气质量为优良的日期 、 、 、 、 中随机抽取两个的所有可能
10、的情况为： 、 、 、 、 、 、 、 、 ，共 种， 两个日期当天 “ ” 小时平均浓度小于 的有： 、 ，共 种， 故事件 发生的概率 . 考点：古典概型 如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，且 ， ， ，点 、 、 分别为 、 、 的中点 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求证： 面 ； （ 3）求点 到平面 的距离 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见；（ 3） . 试题分析：（ 1）连接 ，利用中位线得到 ，然后再利用直线与平面平行的判定定理证明 平面 ；（ 2）证法一是先证明，于是得到 ，于是得到 ，再证明 平面 ，从而得到 ，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明 平面 ；证法二是
11、先证明 ，得到 ，于是得到 ，再证明 平面 ，从而得到 ，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明 平面；（ 3）利用（ 2）中的结论 平面 ，结合等体积法得到，将问题视为求三棱锥 的高 . （ 1）证明：连接 ， 是 的中点 ， 过点 ， 为 的中点， ， 又 面 ， 面 ， 平面 ； 证法一：连结 ，连接 ，在直角 中， ， ， ， ， ， ， 即 ， ， ，且 ， 平面 ， ，又 ，故 平面 ； 证法二：连接 ，在直角 中， ， ， 设 ， ， ， ，即 ， ， ，且 ， 平面 已知抛物线的方程为 ，直线 的方程为 ，点 关于直线 的对称点在抛物线上 （ 1）求抛物线的方程； （ 2）已知
12、，求过点 及抛物线与 轴两个交点的圆的方程； （ 3）已知 ，点 是抛物线的焦点， 是抛物线上的动点，求的最小值及此时点 的坐标； 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）求出点 关于直线 的对称点的坐标，然后将对称点的坐标代入抛物线的方程求出 的值，从而确定抛物线的方程；（ 2）先确定抛物线与 轴的两个交点 、 ，结合图形确定 为直角三角形，并确定相应的斜边，以此求出圆心和半径，最终确定圆的方程；（ 3）结合图象与抛物线的定义确定点 、 、 三点共线求出 的最小值，并确定 的直线方程，将直线方程与抛物线方程联立求出点 的坐标 . （ 1）设点 关于直线 的对称点为坐
13、标为 ， 则 解得 ， 把点 代入 ，解得 ， 所以抛物线的方程为 ； （ 2）令 得 ， 设抛物线与 轴的两个交点从左到右分别为 、 ，则 C 、 ， 显然 是直角三角形，所以 为所求圆的直径，由此可得圆心坐标为， 圆的半径 ， 故所求圆的方程为 ； （ 3） 是抛物线的焦点，抛物线的顶点为 ， 抛物线的准线为 ， 过点 作准线的垂线，垂足为 ，由抛物线的定义知 , ，当且仅当 、 、 三点共线时 “ ”成立， 即当点 为过点 所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时， 取最小值， ，这时点 的坐标为 ； 考点： 1.抛物线的定义与方程； 2.圆的方程； 3.直线与抛物线的位置关系 已知函数
14、. （ 1）若当 时，函数 的最大值为 ，求 的值； （ 2）设 （ 为函数 的导函数），若函数 在上是单调函数，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）求出导数方程 的根 ，并以 是否在区间内进行分类讨论，确定函数单调性，从而确定函数 在区间 上的最大值，从而求出实数 的值；（ 2）解法一是分两种情况讨论，一种是函数是增函数，二是函数 是减函数，从而得到 或 在上恒成立，最终转化为 或 来处理，从而求出实数的取值范围；解法二是分两种情况讨论，一种是函数 是增函数，二是函数 是减函数，从而得到 或 在 上恒成立，利用，对二次函数 的首项系数与 的符号进行分类讨论，
15、从而求出实数 的取值范围 . （ 1）由 ， 可得函数 在 上单调递增，在 上单调递减， 当 时， 取最大值， 当 ，即 时，函数 在 上单调递减， ，解得 ； 当 ，即 时， ， 解得 ，与 矛盾，不合舍去； 当 ，即 时，函数 在 上单调递增， ，解得 ，与 矛盾，不合舍去； 综上得 ； （ 2）解法一： ， ， 显然，对于 ， 不可能恒成立， 函数 在 上不是单调递增函数， 若函数 在 上是单调递减函数，则 对于 恒成立， ，解得 ， 综上得若函数 在 上是单调函数，则 ； 解法二： ， ， 令 ，（ 相关试题 2014届广东省揭阳市高三 4月第二次模拟考试文科数学试卷（带） 已知等比数
16、列 满足： ，公比 ，数列 的前 项和为 ，且 . （ 1）求数列 和数列 的通项 和 ； （ 2）设 ，证明： . 答案：（ 1） ， ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）利用等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，然后先令求出 的值，然后在 的前提下，由 得到，解法一是利用构造法得到 ，构造数列 为等比数列，求出该数列的通项公式，从而得出 的通项公式；解法二是在 的基础上得到，两边同除以 得到 ， 利用累加法得到数列的通项公式，从而得到数列 的通项公式；（ 2）先求出 的以及 的表达式从而利用裂项法求出数列 的前 项和 ，进而证明相应的不等式 . （ 1）解法一：由 ， 得， ， 由上式结合 得 ， 则当 时， ， ， ， ， ， 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ， ； 解法二：由 ， 得， ， 由上式结合 得 ， 则当 时， ， ， ， ， ， ， ； （ 2）由 得， ， . 考点： 1.等比数列的通项公式； 2.构造法求数列通项； 3.裂项求和法
