1、2014届广东省揭阳市高三 4月第二次模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 设全集 ， ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析： ， ，故选 C. 考点： 1.函数的定义域； 2.集合的基本运算 已知点 、 的坐标满足不等式组 ，若，则 的 取值范围是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：作出不等式组 所表示的可行域如下图所示， 假设点 为 上的一点，过点 作直线 的垂线，需使得垂线与与可行域有公共点，结合图象知，当点 ， 时， 在 方向上的投影最大，此时 ，且 取最大值，此时；同理当点 ， ，此时 ，此时 取最小值， ，故 的取值范围是，故选 D. 考点：线性规划
2、 若 ，则（ ） A B C D 答案： A 试题分析：函数 在区间 上单调递减，由于， ， ，即，而 ，而 ，由于 ， ，即，因此有 ，故选 A. 考点： 1.三角函数单调性； 2.比较大小 某研究机构对高三学生的记忆力 和判断力 进行统计分析，得下表数据： 根据上表提供的数据，用最小二乘法求出 关于 的线性回归方程 中的 的值为 ，则记忆力为 的同学的判断力约为（附：线性回归方程中， ，其中 、 为样本平均值 )（ ） A. B. C. D. 答案： B 试题分析：由题意知 ， ，因此样本的数据中心点为 ， 回归直线的方程为 ，则 ，故回归直线的方程为 ， 令 ，则 ，故选 B. 考点：回
3、归直线 已知命题 ：函数 是最小正周期为 的周期函数，命题 ：函数在 上单调递减，则下列命题为真命题的是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：函数 的最小正周期为 ，故命题 为真命题；结合正切函数图象可知，正切函数 在区间 上是增函数，因此函数 在区间 上是增函数，故命题 为假命题，因此命题 、 为假命题， 为真命题，故选 D. 考点： 1.三角函数的基本性质； 2.复合命题 运行如图的程序框图，则输出 的结果是（ ） A B C D 答案： B 试题分析： 成立，第一次循环， ， ； 成立，执行第二次循环， ， ； 成立，执行第三次循环， ， ； 成立，执行第四次循环， ， ； 不成
4、立，输出 的值为 ，故选 B. 考点：算法与程序框图 已知等差数列 中， ，前 项和 ，则 等于（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ，故选 A. 考点： 1.等差数列求和； 2.等差数列的性质 已知 （ 是虚数单位），则实数 的值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：解法一： ，由复数相等得，解得 ，故选 D； 解法二： ，故选 D. 考点： 1.复数的四则运算； 2.复数相等 填空题 如图， 是圆 的切线，切点为 ， 交圆 于 、 两点，且 ，则 的长为 . 答案： . 试题分析：由切线长定理得 ， ， 设 ，由弦切角定理可知 ， ， ，即 ， 因此 ，由勾股定理得
5、 ，则 ，解得. 考点： 1.切割线定理； 2.相似三角形 在极坐标系中，过点 引圆 的一条切线，则 切线长为 . 答案： . 试题分析：点 的直角坐标为 ，将圆的极坐标方程 化为普通方程得 ，圆心到点 的距离为 ，因此切线长为 . 考点： 1.极坐标与直角坐标的转化； 2.勾股定理 已知函数 为偶函数，且 ，若函数 ，则 . 答案： . 试题分析：设 ，则 为偶函数，由于，另一方面 ，所以，故 . 考点：函数的奇偶性 已知一棱锥的三视图如图 2所示，其中侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，正视图为直角梯形，则该棱锥的体积为 . 答案： . 试题分析：作出其直观图如下图所示，结合三视图可知，该几
6、何体是一个四棱锥，且其底面是一个直角梯形，其面积为 ，高为 ，因此，该几何体的体积为 . 考点： 1.三视图； 2.空间几何体的体积 过点 作圆 的弦，其中最短的弦长为 . 答案： . 试题分析：如下图所示，圆的圆心坐标为 ，点 ，过点 作圆的弦，过点 作 ，垂足为点 ，则 ，且 ，当点 与点 重合时， 取最大值，此时 取最小值，且，因此 . 考 点：直线与圆的位置关系 的展开式中 的系数为 . 答案： . 试题分析： 的展开式中第 项为，令 ，得 ，因此的展开式中 的系数为 . 考点：二项式定理 不等式 的解集为 . 答案： . 试题分析：解不等式 ，得 ，解得 ，故不等式的解集为 . 考点
7、：绝对值不等式的求解 解答题 在 中，已知 ， 且 . （ 1）求角 和 的值； （ 2）若 的边 ，求边 的长 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）利用 并结合两角差的余弦公式求出 ，然后再结合 的范围求出 的值，利用三角形的内角和定理得到，最后再利用两角和的正弦公式求出的值；（ 2）在（ 1）的基础上直接利用正弦定理求出 的长度 . （ 1）由 ， ，得 且 ， 可得 ， ， ， ， ， 在 中， ， ； （ 2）在 中，由正弦定理得： ， . 考点： 1.两角和与差的三角函数； 2.内角和定理； 3.正弦定理 下表是某市从 3月份中随机抽取的 天空气质量指数（ ）和
8、 “ ”（直径小于等于 微米的颗粒物） 小时平均浓度的数据，空气质量指数（ ）小于 表示空气质量优良 日期编号 空气质量指数（ ） “ ”小时平均浓度（） （ 1）根据上表数据，估计该市当月某日空气质量优良的概率； （ 2）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取两个对其当天的数据作进一步的分析，设事件 为 “抽取的两个日期中，当天 的 小时平均浓度不超过 ”，求事件 发生的概率； （ 3）在上表数据中，在表示空气质量优良的日期中，随机抽取 天，记 为“ ” 小时平均浓度不超过 的天数，求 的分布列和数学期望 . 答案：（ 1） ；（ 2） ；（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）首先
9、根据表格中的数据找出空气质量优良的天数，然后利用古典概型的概率计算公式即可求出当月某日空气质量优良的概率；（ 2）先确定（ 1）中所选的 天中 的 小时平均浓度不超过 对应的天数，利用排列组合思想与古典概型计算相应事件的概率；（ 3）先确定随机变量 的可能取值，然后利用超几何分布的特点求出随机变量 在对应取值下的概率，列出分布列计算其数学期望即可 . （ 1）由上表数据知， 天中空气质量指数（ ）小于 的日期有： 、 、 、 、 共 天， 故可估计该市当月某日空气质量优良的概率 ； （ 2）由（ 1）知 天中表示空气质量为优良的天数为 ，当天 “ 的 小时平均浓度不超过 有编号为 、 、 ，共
10、 天， 故事件 发生的概率 ； （ 3）由（ 1）知， 的可能取值为 、 、 ， 且 ， ， ， 故 的分布列为： 的数学期望 . 考点： 1.古典概型； 2.超几何分步； 3.离散型随机分布列与数学期望 已知等比数列 满足： ，公比 ，数列 的前 项和为 ，且 . （ 1）求数列 和数列 的通项 和 ； （ 2）设 ，证明： . 答案：（ 1） ， ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）利用等比数列的通项公式求出数列 的通项公式，然后先令求出 的值，然后在 的前提下，由 得到，解法一是利用构造法得到 ，构造数列 为等比数列，求出该数列的通项公式，从而得出 的通项公式；解法二是在 的基础上得到
11、，两边同除以 得到 ， 利用累加法得到数列的通项公式，从而得到数列 的通项公式；（ 2）利用放缩法得到 ，从而证明 ，或者利用不等式的性质得到 ，从而证明 . （ 1）解法一：由 ， 得， ， 由上式结合 得 ， 则当 时， ， ， ， ， ， 数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ， ； 解法二：由 ， 得， ， 由上式结合 得 ， 则当 时， ， ， ， ， ， ， ； （ 2）由 得 ， ， 或 . 考点： 1.等比数列的通项公式； 2.定义法求数列的通项； 3.放缩法证明数列不等式 如图，已知三棱柱 的侧棱与底面垂直，且 ， ， ， ，点 、 、 分别为 、 、 的中点 （ 1）求证
12、： 平面 ； （ 2）求证： ； （ 3）求二面角 的余弦值 . 答案：（ 1）详见；（ 2）详见；（ 3） . 试题分析：（ 1）连接 ，利用中位线得到 ，然后再利用直线与平面平行的判定定理证明 平面 ；（ 2）证法一是建立以点 为原点，以所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明 ；证法二：先证明 ，于是得到 ，于是得到 ，再证明 平面 ，从而得到 ，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明 平面 ，从而得到 ；证法三是 ，得到 ，于是得到，再证明 平面 ，从而得到 ，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明 平面 ，从而得到 ；（ 3）解法一是建立以点 为原点，以 所在的直线为 轴建
13、立空间直角坐标系利用空间向量法求二面角 的余弦值；解法二是过 作 交于点 ，过 作 交 于 ，连接 ，先利用 平面 ，于是说明 为二面角 的平面角，然后在直角 ，然后在直角 中求 的值 . （ 1）证明：连接 ， 是 的中点 ， 过点 ， 为 的中点， ， 又 面 ， 面 ， 平面 ； （ 2）证法一：在直角 中， ， ， ， 棱柱 的侧棱与底面垂直，且 ，以点 为原点，以所在的直线为 相关试题 2014届广东省揭阳市高三 4月第二次模拟考试理科数学试卷（带） 已知抛物线的方程为 ，直线 的方程为 ，点 关于直线 的对称点在抛物线上 （ 1）求抛物线的方程； （ 2）已知 ，点 是抛物线的焦点
14、， 是抛物线上的动点，求的最小值及此时点 的坐标； （ 3）设点 、 是抛物线上的动点，点 是抛物线与 轴正半轴交点，是以 为直角顶点的直角三角形试探究直线 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由 答案：（ 1） ；（ 2）详见；（ 3） . 试题分析：（ 1）求出点 关于直线 的对称点的坐标，然后将对称点的坐标代入抛物线的方程求出 的值，从而确定抛物线的方程；（ 2）结合图象与抛物线的定义确定点 、 、 三点共线求出 的最小值，并确定的直线方程，将直线方程与抛物线方程联立求出点 的坐标；（ 3）上点， ，利用 得到 得到 与 之间的关系，从而确定直线 的方程，结合 与 之
15、间的关系，从而确定直线所过的定点 . （ 1）设点 关于直线 的对称点为坐标为 ， 则 解得 ， 把点 代入 ，解得 ， 所以抛物线的方程为 ； （ 2） 是抛物线的焦点，抛物线的顶点为 ， 抛物线的准线为 ， 过 点 作准线的垂线，垂足为 ，由抛物线的定义知 , ，当且仅当 、 、 三点共线时 “ ”成立， 即当点 为过点 所作的抛物线准线的垂线与抛物线的交点时， 取最小值， ，这时点 的坐标为 ； （ 3） 所在的直线经过定点，该定点坐标为 ， 令 ，可得 点的坐标为 ， 设 , ，显然 ， 则 ， ， ， ， ，即 ， 直线 的方程为 ， 即 ， 所以直线 经过定点 . 考点： 1.抛物
16、线的定义与方程； 2.直线与抛物线的位置关系 已知函数 ， （ 为常数） （ 1）函数 的图象在点 处的切线与函数 的图象相切，求实数的值； （ 2）若 ， ， 、 使得 成立，求满足上述条件的最大整数 ； （ 3）当 时，若对于区间 内的任意两个不相等的实数 、 ，都有成立，求 的取值范围 . 答案：（ 1） 或 ；（ 2） ；（ 3） . 试题分析：（ 1）利用导数求出函数 在点 的切线方程，并将切线方程与函数 的方程联立，利用 求出 的值；（ 2）将题中问题转化为从而确定最大整数 的值；（ 3）假设 ，考查函数和 的单调性，从而将 ，得到，于是得到 ，然后构造函数 ，转化为函数 在区间 为单调递增函数，于是得到在 区间 上恒成立，利用参变量分离法求出 的取值范围 . （ 1） ， ， ， 函数 的图象在点 处的切线方程为 ， 直线 与函数 的图象相切，由 ，消去 得， 则 ，解得 或 ； （ 2）当 时， ， ， 当 时， ， 在 上单调递减， ， ， 则 ， ，故满足条件的最大整数 ； （ 3）不妨设 ， 函数 在区间 上是增函数， 函数 图象的对称轴为 ，且 ， 函数 在区间 上是减函数， ， 等价于 ， 即 ， 等价于 在区间 上是增函数， 等价于 在区间 上恒成立， 等价于 在区间
