1、2014届河北省邯郸市高三第一次模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 ,则 对应的点所在的象限为 ( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： D 试题分析： ,所以是第四象限，故选 D. 考点：复数的运算 已知函数 ，若存在实数 满足，且 ，则 的取值范围（ ） A (20， 32) B (9,21) C (8,24) D (15， 25) 答案： B 试题分析：如图： , 与 关于对称， 所以 , , , ,故选 B. 考点： 1.分段函数的图像； 2.三角函数的对称性； 3.函数求值域 . 已知函数 ，对于 ，若，满足 ，则 的取值范围是 ( ) A B
2、C D 答案： C 试题分析： ,当 , , ,据已知只需 ,解得： ,故选 C. 考点：函数的值域 在 中， , ， 在边 上，且 ,则（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 根据余弦定理： , ,根据余弦定理 , ,再根据余弦定理得：, ,故选 A. 考点：解三角形 已知 是椭圆 , 上除顶点外的一点， 是椭圆的左焦点，若 则点 到该椭圆左焦点的距离为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：取 的中点 ,连接 , , 中，是中位线，所以 的长等于 8， ,解得 ,故选C. 考点：椭圆的定义，方程 如图所示程序框图中，输出 （ ） A B C D 答案： B 试题分析： 时，
3、时， , 时，, 时， 时， , 时，, 时， , 时， ,时， , 9时， ,故选 B. 考点：程序框图的识别及应用 同时具有性质 “ 最小正周期是 ； 图象关于直线 对称； 在上是减函数 ”的一个函数可以是（ ） A B C D 答案： D 试题分析： 的周期是 ,关于 对称，则,在 上是减函数 ,则,A的最小正周期为 ，当 时，代入 B,C,D,得到： B: 没有取得最值，所以不正确，将 代入D 三项都符号，所以选 D. 考点：三角函数的性质 某几何体三视图如下图所示，则该几何体的体积是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：如图所示： 下面是棱长为 1的正方体，上面是高为 1的
4、个圆锥组成的几何体，,故选 A. 考点：三视图求几何体的体积 以下四个命题中： 为了了解 800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔 为 40. 线性回归直线方程 恒过样本中心 ，且至少过一个样本点； 在某项测量中，测量结果 服从正态分布 若 在 内取值的概率为 ，则 在 内取值的概率为 ； 其中真命题的个数为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：间隔 ,故 错；并不一定过样本点，故 错；根据对称性， 在 内取值的概率为 在 内取值的概率，正态曲线关于 对称，所以概率为 ，故 正确，故选 B. 考点：正态分布的性质 焦点在 轴上的双
5、曲线的一条渐近线方程是 ，此双曲线的离心率为（ ） A B C 2 D 答案： C 试题分析： ，其方程的斜率 ,焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线的斜率 ,得到 , ,故选 C. 考点：双曲线的性质与方程 设 是等比数列 an的前 n项和， ，则 的值为（ ） A 或 -1 B 1或 C D 答案： C 试题分析：当公比 时， ，成立 .当 时， 都不等于 0，所以 , ,故选 C. 考点：等比数列的性质 已知集合 , ， ，则为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： , , 或 ,.故选 A. 考点：集合的交并补运算 填空题 关于 方程 有唯一的解，则实数 的取值范围是 _. 答案：
6、 试题分析： 方程化为 ,如图做出 ,再做出直线 ,如果有一个交点，那么 或 . 考点： 1.函数图像； 2.函数图像交点 . 设不等式组 所表示的区域为 ，函数 的图象与轴所围成的区域为 ,向 内随机投一个点 ,则该点落在 内的概率为 答案： 试题分析： , = . 考点：几何概型 二项式 的展开式中 的系数 .(用数字作答 ) 答案： 试题分析： ,令 , ,所以系数等于 . 考点：二项式的系数 解答题 已知直角梯形 , ， ， 沿 折叠成三棱锥，当三棱锥体积最大时，求此时三棱锥外接球的体积 答案： 试题分析： 折成直二面角时，体积最大，取 中点，连接 ，由已知得为等腰直角三角形， , ,
7、 又,所以此时三棱锥外接球的球心为 的中点，, . 考点：球与几何体的组合体 已知平面直角坐标系 ,以 为极点 , 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系 ,曲线 的参数方程为 .点 是曲线 上两点，点的极坐标分别为 . （ 1）写出曲线 的普通方程和极坐标方程 ; （ 2）求 的值 . 答案： (1) ;(2)4. 试题分析： (1)利用 消参，得到曲线的普通方程，再利用, ,转化为极坐标方程 . (2)方法一： ，可知， 为直径， 方法二：利用极坐标与直角坐标的转化关系，求出 的直角坐标，利用两点间距离公式，求出 .此题属于基础题型 .尤其是第二问的方法的旋转 . 试题： .(1)参数方程 普通方
8、程 3分 普通方程 6分 方法 1： 可知 , 为直径， 方法 2 直角坐标 两点间距离 10分 考点：参数方程与极坐标方程 如图所示 , 为圆 的切线 , 为切点 , ，的角平分线与 和圆 分别交于点 和 . （ 1）求证 （ 2）求 的值 . 答案：详见 试题分析： （ 1）直接根据 ,以及 公用，得到 ,两个三角形相似，由边的对应比，进而求出结论； （ 2）先根据切割线定理得到 ;结合第一问的结论以及勾股定理求出 AC 6 ， ；再结合条件得到 ，得到边的比例相等，其中就有所求的数值，进而求出结果此题属于基础题型 . 试题：（ 1） 为圆 的切线 , 又 为公共角 , 4分 （ 2） 为
9、圆 的切线 , 是过点 的割线 , 又 又由（ 1）知 ,连接 ,则 ， .10分 考点： 1.相似三角形； 2.与圆有关的线段比例 . 已知，函数 . （ 1）如果 时， 恒成立，求 m的取值范围； （ 2）当 时，求证： . 答案： (1) ,(2)详见 . 试题分析： (1)转化为 恒成立，求 的最大值；通过导数确定函数的单调性，利用单调性求出函数的最大值， ;令 ,通过求其导数，通过导数的正负，判定函数的单调性，从而求出其最大值 ; (2)首先利用分析法将所要证不等式，逐步分析，找到证明其成立的充分条件，即 ，设函数 ,利用导数找到其最小值，证明其最小值也大于 0，则不 等式成立 .中
10、档偏难 . 试题：（ 1） ， ， . 令 （ ）， ， 递减， ， m的取值范围是 . 5分 （ 2）证明：当 时， 的定义域， ，要证 ，只需证 又 ， 只需证 ， 8分 即证 递增， ， 必有 ，使 ，即 ， 且在 上， ；在 上， ， ，即 12分 考点： 1.函数恒成立问题； 2.证明不等式的方法； 3.利用导数求函数的最小值 . 已知点 点 分别是 轴和 轴上的动点，且 ，动点满足 ，设动点 的轨迹为 E. （ 1）求曲线 E的方程； （ 2）点 Q（ 1,a）， M,N为曲线 E上不同的三点，且 ，过 M,N两点分别作曲线 E的切线，记两切线的交点为 ，求 的最小值 . 答案：
11、(1) ;(2) . 试题分析： (1)设 ,利用 ,用 表示 的坐标，然后利用 ,得到 的方程，得到 点轨迹 ; （ 2）解法一：利用曲线方程 ,求出 点坐标，设 ， ，,通过联立方程，得到 的坐标，利用导数，列出过点的切线方程，解出点 的坐标，然后再求 的最小值， 解法二：利用导数，列出过点 的切线方程，解出点 的坐标，然后结合,能够得到关于点 所满足的方程，再求出 的最小值 . 试题：（ 1）解：设 ，由 得 4分 （ 2）解法一：易知 ，设 ， ， ， 设 的方程为 联立方程 消去 ，得 ，所以 . 同理，设 的方程为 ， . 6分 对函数 求导，得 ， 所以抛物线 在点 处的切线斜率
12、为 ， 所以切线 的方程为 ，即 . 同理，抛物线 在点 处的切线 的方程为 . 8分 联立两条切线的方程 解得 ， ， 所以点 的坐标为 .因此点 在直线 上 . 10分 因为点 到直线 的距离 ， 所以 ，当且仅当点 时等号成立 由 ，得 ，验证知符合题意 . 所以当 时， 有最小值 . 12分 解法二：由题意， ，设 ， ， ， 对函数 如图 ,在斜三棱柱 中 ,侧面 底面 ,侧棱 与底面成 60的角 , .底面 是边长为 2的正三角形 ,其重心为 点 , 是线段 上一点 ,且 . (1)求证 : /侧面 ; (2)求平面 与底面 所成锐二面角的余弦值 ; 答案： (1)详见； (2)
13、. 试题分析：解法 1：（ 1）延长 交 于点 ,根据 ，,利用相似三角形的比例关系，即可证得直线与直线平行，再运用线面平行的判定定理，即可证得结论； 解法 2：（ 1）建立空间直角坐标系，求出侧面 的法向量和向量 ，判断法向量和向量 垂直，即可证得结论； （ 2）求出两个半平面的法向量，利用向量的数量积 ，求出法向量的夹角的余弦值，再利用法向量的夹角与二面角的平面角之间的关系，即可求得答案：； 试题：解法 1:(1)延长 B1E交 BC于点 F, FEB,BE= EC1, BF= B1C1= BC, 从而点 F为 BC的中点 . G为 ABC的重心 , A、 G、 F三点共线 .且 , 又
14、GE 侧面 AA1B1B, GE/侧面 AA1B1B. 5分 (2) 侧面 AA1B1B 底面 ABC,侧棱 AA1与底面 ABC成 60的角 , A1AB=60, 又 AA1=AB=2,取 AB的中点 O,则 AO 底面 ABC. 以 O为原点建立空间直角坐标系 O 如图 , 则 , , , , , . G为 ABC的重心 , . , , .又 GE 侧面 AA1B1B, GE/侧面 AA1B1B. 6分 (2)设平面 B1GE的法向量为 ,则由 得 可取 又底面 ABC的一个法向量为 设平面 B1GE与底面 ABC所成锐二面角的大小为 ,则 . 故平面 B1GE与底面 ABC成锐二面角的余
15、弦值为 . 12分 考点： 1.线与面平行的判定； 2.利用空间向量求二面角 . 为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了 40名市民，得到数据如下表： 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 大于 40岁 16 小于等于 40岁 12 合计 40 已知在全部的 40人中随机抽取 1人，抽到不患心肺疾病的概率为 （ 1）请将 列联表补充完整； （ 2）已知大于 40岁患心肺疾病市民中，经检查其中有 4名重症患者，专家建议重症患者住院治疗，现从这 16 名患者中选出两名，记需住院治疗的人数为 ，求 的分布列和数学期望； （ 3）能否在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？ 下面
16、的临界值表供参考： 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 （参考公式： ，其中 ） 答案：（ 1）详见（ 2） 0 1 2 P 10分 （ 3）所以在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关 试题分析：（ 1）根据在全部 40人中随机抽取 1人抽到不患心肺疾病的概率为，可得不患心肺疾病的人数 ， , 那么大于 40岁不患心肺疾病的人数为 ,那么患心肺疾病的人数为 40-16，即可得到列联表；最后合计时每行，每列相加都是 40； （ 2）在患心肺疾病的
17、 16位患者中，有 4位又患重症患者，记住院人数为 ，则 服从超几何分布， ,即可得到 的分布列、数学期望以及方差 （ 3）利用公式求得 ，与临界值 6.635比较，如果大于他说明有关，即可得到结论此题比较基础，尤其是最后一问，相关性的判定，要会看临界值，就不成问题，比较基础 . 试题：（ 1） 患心肺疾病 不患心肺疾病 合计 大于 40岁 16 4 20 小于等于 40岁 8 12 20 合计 24 16 40 4分 （ 2） 可以取 0,1,2 5分 8分 0 1 2 P 10分 （ 3） 相关试题 2014届河北省邯郸市高三第一次模拟考试理科数学试卷（带） 若数列 的前 项和 满足 ,等
18、差数列 满足. (1)求数列 、 的通项公式 ; (2)设 ,求数列 的前 项和为 . 答案： (1) ， ;(2) . 试题分析： (1)利用公式 ,将 代入求出 ,当 时，列出 ,将两式相减，得出数列 的递推公式，判定数列形式，写出通项 ，因为数列 就是等差数列，所以设首相，公差， ,列出关于首项与公差的方程组，求解 ; (2) ,此数列为等差 等比数列，所以方法是错位相减法求和，先列出 ,再列出 ,两式相减，再求和，化简 . 试题：（ 1）当 时 , , 当 时 , ,即 数列 是以 为首项 ,3为公比的等比数列 , ， 4分 设 的公差为 6分 （ 2） ， 8分 由 得， 12分 考
19、点： 1.已知 求 ;2.等差数列； 3.错位相减法求和 . 已知函数 . （ 1）当 时，解不等式 ； （ 2）当 时， 恒成立，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析： (1)利用零点分段法 ,去分为 .三种情况绝对值，在每种情况下解不等式；求三次交集，最后再求一次并集，属于基础问题，关键是把绝对值去掉，并且不要忘记求交集； (2)当 时，将其中一个绝对值去掉，问题转化为 恒成立， ,利用公式将绝对值去掉，并且反解 ,转化为 或恒成立的最值问题，因为 . ，所以 只能大于等于 的最大值 .此题属于基础题型 . 试题：（ 1） 2分 当 时， ，即 ，解得 当 时， ,即 ，解得 当 时， ，即 ，解得 不等式的解集为 5分 （ 2） 恒成立 即 10分 考点： 1解不等式； 2.恒成立问题 .
