1、2014届河北省邯郸市高三第二次模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 已知集合 ， ，则 （ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意知 ，故选 C. 考点：集合的交集运算 若函数 有两个零点，则 的取值范围（ ） A B C D 答案： A 试题分析：考查函数 ，则问题转化为曲线 与直线 有两个公共点， 则 ，则 ， 当 时， ， 当 时， ， ， ，则 ， 当 ， ， ， ，则 ， 此时，函数 在区间 上单调递减，在区间上单调递增， 同理，当 时，函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 因此函数 在 处取得极小值，亦即最小值，即， 由于函数 有两个零点， 结合图象知
2、 ，解得 ，故选 A. 考点： 1.函数的图象； 2.函数的零点 已知三棱锥 中， ， ，直线 与底面 所成角为 ，则此时三棱锥外接球的表面积为（ ） A B C D答案： B 试题分析：如下图所示，取 的中点 ，连接 、 ，易证 ，所以 ， 易证 ， ，且 ， 、 平面 ，平面 ， 过点 在平面 内作 ，由于 平面 ， ， 由于 ， ， 、 平面 ， 平面 因此， 为直线 与平面 所成的角，所以 ，由于， 所以 为等边三角形， ， ，且， 由勾股定理得 ，易知， 所以 为三棱锥 外接球的球心，其半径为 ，所以其外接球的表面积为 ， 故选 B. 考点： 1.直线与平面垂直； 2.外接球 某学校
3、 位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得 分，答错得 分；选乙题答对得分，答错得 分 .若 位同学的总分为 ，则这 位同学不同得分情况的种数是（ ） A B C D 答案： D 试题分析：分以下两种情况讨论：（ 1）两位同学选甲题作答，一个答对一个答错，另外两个同学选乙题作答，一个答对一个答错，此时共有 种； （ 2）四位同学都选择甲题或乙题作答，两人答对，另外两人答错，共有种情况； （ 3）一人选甲题作答并且答对，另外三人选乙题作答并且全部答错，此时有种情况； （ 4）一人选甲题作答并且答错，另外三人选乙题作答并且全部答对，此时有种情况；
4、 综上所述，共有 种不同的情况 .故选 D. 考点：排列组合 已知函数 ，且 ， ，则函数图象的一条对称轴的方程为（ ） A B C D 答案： A 试题分析： ， ，而 ，, , ，因此，因此函数 的对称轴为直线 ，取 ，则直线 是函数 的一条对称轴，故选 A. 考点：三角函数图象的对称性 在各项均为正数的等比数列 中，若 ，数列 的前 项积为 ，若 ，则 的值为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：由题意知 、 、 成等比数列，则有 ，由于 ，因此 ， ， ，所以，解得 ，故选 B. 考点： 1.等比数列的性质； 2.倒序相乘法 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）
5、A B C D 答案： C 试题分析：由三视图可知，该几何体是底面为矩形的三棱锥，矩形的长为 ，高为 ，底面积为 ，此三棱锥的高为 ，因此该几何体的体积为，故选 C. 考点： 1.三视图； 2.空间几何体的体积 过抛物线 焦点的直线交抛物线于 、 两点，若 ，则直线的倾斜角为（ ） A B C D 答案： B 试题分析：解法一：由于过抛物线 的焦点的直线与抛物线相交的弦长为 （其中 为直线的倾斜角），设直线 的倾斜角为 ，则有，由于 ，则 ， 所以 ，因此 或 ，故选 B. 解法二：易知抛物线 的焦点坐标为 ，设点 ， ，则， 当直线 轴时，直线 的方程为 ，则 ，不合乎题意； 一般地，设直线
6、 的方程为 ，代入抛物线的方程得 ，化简得 ，由韦达定理得 ，所以，解得 ，因此直线 的倾斜角为 或，故选 C. 考点： 1.直线与抛物线的位置关系； 2.抛物线的定义 如图 1所示的程序框图，运行相应的程序，若输出 的值为 ，则输入 的值可能为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：输出的 的值为 ，即 ，也就是说循环进行到最后一次， 的值变为 ， 若输入的 的值为 ，则循环结束后 的值变为 ，不合乎题意；若输入的 值为 或 时，循环结束后 的值变为 ，不合乎题意；若输入的 的值为 时，循环结束后 的值变为 ，合乎题意，故选 C. 考点：算法与程序框图 函数 ，若 ，则 的取值范围是（
7、 ） A B C D 答案： A 试题分析：作出函数 的图象如下图所示， 由图象可知，函数 为奇函数，且在 上单调递增，由 得，解得 ，故选 A. 考点： 1.函数的图象； 2.函数的单调性 下列说法不正确的是 A命题 “对 ,都有 ”的否定为 “ ,使得 ” B “ ”是 “ ”的必要不充分条件 C “若 ，则 ” 是真命题 D甲、乙两位学生参与数学模拟考试，设命题 是 “甲考试及格 ”， 是 “乙考试及格 ”，则命题 “至少有一位学生不及格 ”可表示为 答案： D 试题分析：由全称命题的否定可知，命题 “对 ,都有 ”的否定为“ ,使得 ”， A选项说法正确；当 时， ，则，若 ，则 ，则
8、 ，由不等式的性质可知，因此 “ ”是 “ ”的必要不充分条件， B选项说法正确；考查命题 “若 ，则 ”的逆否命题 “若 ，则 ”的真假性，显然，命题 “若 ，则 ”为真命题，因此，命题 “若 ，则”为真命题，故 C选项说法也正确；命题 “至少有一位学生不及格 ”的否定是 “两位学生都及格 ”，其否定的表示为 “ ”，因此命题 “至少有一位学生不及格 ”的表示为 ，故 D选项说法错误，故选 D. 考点： 1.全称命题的否定； 2.充分必要条件； 3.四种命题； 4.复合命题 复数 满足 ，则 （ ） A B C D 答案： D 试题分析：由题意知 ，故选 D. 考点：复数的除法 填空题 已知
9、 是双曲线 的右焦点，点 、 分别在其两条渐近线上，且满足 ， （ 为坐标原点），则该双曲线的离心率为_. 答案： . 试题分析：双曲线 的两条渐近线方程为 ，即 ，假设点 在直线 ，并设 的坐标为 ，点 ，则点 在直线， ， ， ，于是有 ， 由于点 在直线 ，则 ，同理得 ， 由于 ，则 ，则 ，即， 于是有 ， ， ，所以，因此 . 考点： 1.向量的坐标运算； 2.双曲线的渐近线； 3.双曲线的离心率 已知数列 的前 项为 、 、 、 、 ，据此可写出数列 的一个通项公式为 _. 答案： . 试题分析：由题意知 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 归纳得 ， ， ， ， 上述 个等式相
10、加得 ， . 考点： 1.不完全归纳法； 2.累加法 若实数 、 满足条件 ，则 的最大值为_. 答案： . 试题分析：作出不等式组 所表示的平面区域如下图所示， 直线 与直线 交于点 ，作直线 ，则 为直线在 轴上的截距， 当直线 经过可行域上的点 时，此时直线 在 轴上的截距最大， 取最大值，即 . 考点：线性规划 已知 ， ， ，则 _. 答案： . 试题分析：由题意知 ， ， 即 ，即 . 考点： 1.平面向量垂直条件的转化； 2.平面向量的数量积 解答题 已知圆 的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 （ 为参数），点 的极坐标为 ，设直线 与圆 交于点 、 . （ 1）写出圆 的直角
11、坐标方程； （ 2）求 的值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）在极坐标方程 的两边同时乘以 ，然后由， 即可得到圆 的直角坐标方程；（ 2）将直线 的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去 、 得到有关 的参数方程，然后利用韦达定理求出 的值 . （ 1）由 ，得 ， ， 即 ， 即圆 的直角坐标方程为 ； （ 2）由点 的极坐标 得点 直角坐标为 ， 将 代入 消去 、 ，整理得 ， 设 、 为方程 的两个根，则 ， 所以 . 考点： 1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化； 2.韦达定理 已知， 为圆 的直径， 为垂直 的一条弦，垂足为 ，弦 交于 . （ 1）求
12、证： 、 、 、 四点共圆； （ 2）若 ，求线段 的长 . 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）证明 ，利用四边形 对角互补证明 、 、 四点共圆； （ 2）利用（ 1）中的结论结合割线定理得到 ，然后在中利用射影定理得到 从而计算出 的值 . （ 1）如图，连结 ，由 为圆 的直径可知 ， 又 ，所以 ， 因此 、 、 、 四点共圆； （ 2）连结 ，由 、 、 、 四点共圆得 ， 又 ， ，所以 ， 因为在 中， 所以 . 考点： 1.四点共圆； 2.割线定理； 3.射影定理 已知函数 . （ 1）当 时，求 在 处的切线方程； （ 2）设函数 ， （ ）若函数 有且仅有
13、一个零点时，求 的值； （ ）在（ ）的条件下，若 ， ，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2）（ i） ；（ ii） . 试题分析：（ 1）将 代入函数式，求出 ，由此计算 与 的值，最后利用点斜式写出相应的切线方程；（ 2）利用参数分离法将问题转化为直线 与函数 的图象有且仅有一个交点来处理，然后利用导数来研究函数 的单调性与极值，从而求出 的值；（ ii）将问题转化为 ，然后利用导数研究 在区间 上最值，从而确定实数的取值范围 . （ 1）当 时， ，定义域 ， ， ，又 ， 在 处的切线方程 ； （ 2）（ ）令 ， 则 ， 即 ， 令 ， 则 ， 令 ， ， ， 在 上是减函
14、数， 又 ， 所以当 时， ，当 时， ， 所以 在 上单调递增，在 上单调递减， ， 所以当函数 有且仅有一个零点时 ； （ ）当 ， ， 若 ， ，只需证明 ， ， 令 ，得 或 ， 又 ， 函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增 又 ， ， ， 即 ， ， . 考点： 1.利用导数求函数的切线方程； 2.函数的零点； 3.不等式恒成立； 4.参数分离法 已知 、 为椭圆 的左右焦点，点 为其上一点，且有 . （ 1）求椭圆 的标准方程； （ 2）过 的直线 与椭圆 交于 、 两点，过 与 平行的直线 与椭圆交于 、 两点，求四边形 的面积 的最大值 . 答案：（ 1） ；（
15、 2） . 试题分析：（ 1）设椭圆 的标准方程为 ，先利用椭圆定义得到 的值并求出 的值，然后将点 的坐标代入椭圆方程求出 的值，最终求出椭圆 的方程；（ 2）根据平行四边形的几何性质得到 ，即先求出 的面积的最大值，先设直线 的方程为 ，且 、，将此直线的方程与椭圆 的方程联立，结合韦达定理将 的面积表示成只含 的表达式，并利用换元法将代数式进行化简，最后利用基本不等式并结合双勾函数的单调性来求出 面积的最大值，从而确定平行四边形 面积的最大值 . （ 1）设椭圆 的标准方程为 ， 由已知 得 ， ， 又点 在椭圆上， ， 椭圆 的标准方程为 ； （ 2）由题意可知，四边形 为平行四边形
16、， 设直线 的方程为 ，且 、 ， 由 得 ， ， ， ， ， 令 ，则 ， ， 又 在 上单调递增， ， 的最大值为 ， 所以 的最大值为 . 考点： 1.椭圆的定义与方程； 2.直线与椭圆的位置关系； 3.韦达定理； 4.基本不等式 如下图，在三棱锥 中， 底面 ，点 为以 为直径的圆上任意一动点，且 ，点 是 的中点， 且交 于点 . （ 1）求证： 面 ； （ 2）当 时，求二面角 的余弦值 . 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）由已知条件 平面 得到 ，再由已知条件得到，从而得到 平面 ，进而得到 ，利用等腰三角形三线合一得到 ，结合直线与平面垂直的判定定理得到 平
17、面 ，于是得到 ，结合题中已知条件 以及直线与平面垂直的判定定理得到 平面 ；（ 2）以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系 ，利用空间向量法求二面角 的余弦值 . （ 1）证明： 底面 ， ，又易知 ， 平面 ， ， 又 ， 是 的中点， ， 平面 ， ， 又已知 ， 平面 ； （ 2）如下图以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴，建立空间直角坐标系，由于 ， 可设 ，则 ， ， ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量 ， 则 ，即 ， 可得 ， 由（ 1）可知 为面 的法向量， 易求 ， 二面角 的余弦值是 . 考点： 1.直线与平面垂直； 2.空间向量法求二面角 从天气网查
18、询到邯郸历史天气统计（ 2011-01-01到 2014-03-01）资料如下： 自 2011-01-01到 2014-03-01，邯郸共出现：多云 天，晴 天，雨 天，雪 天，阴 天，其它 2天，合计天数为： 天 . 本市朱先生在雨雪天的情况下，分别以 的概率乘公交或打出租的方式上班（每天一次，且交通方式仅选一种），每天交通费用相应为 元或 元；在非雨雪天的情况下，他以 的概率骑自行车上班，每天交通费用 元；另外以的概率打出租上班，每天交通费用 元 .（以频率代替概率，保留两位小数 . 参考数据： ） （ 1）求他某天打出租上班的概率； （ 2）将他每天上班所需的费用记为 （单位：元），求
19、的分布列及数学期望 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）将事件 “打出租车上班 ”分成两类：一类是雨雪天打出租车上班，另一类是非雨雪天打出租车上班，利用条件概率求各自的概率，并将两个概率相加即可得到问题中涉及的事件的概率；（ 2）列举出随机变量 的可能值，利用在各种天气下朱先生上班所选择的交通工具的方式求出在 在相应可能值下相应的概率，然后列举出随机变量 的概率分布列，并求出 的数学期望 . （ 1）设 表示事件 “雨雪天 ”， 表示事件 “非雨雪天 ”， 表示事件 “打出租上班 ”， ， （ 2） 的可能取值为 、 、 、 ， ， 的分布列为 （元） 考点： 1.条件概
20、率； 2.随机变量的概率分布列与数学期望 已知函数 . （ 1）求函数 的最小正周期及在区间 的最大值； （ 2）在 中， 、 、 所对的边分别是 、 、 ， ，求 周长 的最大值 . 答案：（ 1）最小正周期为 ，在区间 上的最大值为 ；（ 2） . 试题分析：（ 1）将函数 的式利用降幂公式与辅助角公式化简为，利用公式即可求出函数 的最小正周期，然后由求出 的取值范围，根据图象确定 的取值范围，即可求出函数 在区间 上的最大值；（ 2）先利用 结合角的取值范围求出角 的值，解法一是对边 利用余弦定理，借助基本不等式求出 的最大值，从而求出 的最大值，解法二是利用正弦定理与内角和定理将 转化
21、为以角 的三角函数，将 转化为求此函数在区间 的最大值 . （ 1） ， 所以 最小正周期 ， ， ， 最大值为 ； （ 2）由 得 又 ， 解法一： 由余弦定理得 , ， 即 , （当且仅当 时取等号） 所以 ； 解法二：由正弦定理得 ，即 ， ， 所以 ， ， ， （当且仅当 时取最大值） ， 所以 . 考点： 1.降幂公式； 2.正弦定理与余弦定理； 3.三角函数的基本性质； 4.基本不等式 已知函数 . （ 1）当 时，解不等式 ； （ 2）若不等式 恒成立，求实数 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）将 代入函数 的式，利用零点分段法将区间分成三段，去绝对值符号，并求出相应的不等式；（ 2）将问题转化为 ，利用双绝对值函数 的最小值为 ，于是得到 ，问题转化为 来求解，解出不等式即可 . （ 1）由 得， ，或 ，或 ， 解得： 或 ，原不等式的解集为 ； （ 2）由不等式的性质得： ， 要使不等式 恒 成立，则 ， 解得： 或 所以实数 的取值范围为 . 考点： 1.零点分段法求解不等式； 2.不等式恒成立
