1、2014届湖南省怀化市高三第二次模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 复数 的共轭复数为（ ） A B C D 答案： D 试题分析： ，因此复数 的共轭复数为 ，故选 D. 考点： 1.复数的除法； 2.共轭复数 已知 ， ， ，映射 .对于直线 上任意一点 ， ，若 ，我们就称 为直线 的 “相关映射 ”， 称为映射 的 “相关直线 ”.又知 ，则映射 的 “相关直线 ”有多少条（ ） A B C D无数 答案： B 试题分析：当直线 的斜率存在时，不放设直线 的方程为 ， 设点 的坐标为 ，且 ，则点 的坐标为 ， 由于点 在直线 上，则有 ，即 ， 因此有 ，解得 ； 当直线
2、的斜率不存在时，设直线 的方程为 ，在此直线上任取一点 ，则点 ， 由于点 也在直线 上，因此有 （非定值），此时，直线 不存在 . 综上所述，映射 的 “相关直线 ”为 或 ，有两条，故选 B. 考点：新定义 在空间中有一棱长为 的正四面体，其俯视图的面积的最大值为（ ） A B CD 答案： B 试题分析：如图所示的正方体 ，设其面对角线长为 ，则四面体 为正四面体， 且其棱长为 ，四面体 在平面 内的投影图形为正方形，易求得正方体的棱长为 ，因此正方形 的面积为，且 ，将正方体 ，设 、 、 、在俯视图中的投影点分别为 、 、 、 ，点 、 在俯视图中的投影点分别为 、 ，则 ，且四边形
3、 与四边形 的面积相等，且正四面体 的俯视图图形为四边形 ，设平面与俯视图平面所成的角为 ，则 ， 则 ，故当 时，四面体 的俯视图的面积取最大值 ， 故选 B. 考点：三视图 抛物线 上一点 到直线 的距离与到点 的距离之差的最大值为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：作出抛物线 的图象如下图所示，则点 为抛物线的焦点，直线 为抛物线的准线， 过点 作 垂直于直线 ，垂足为点 ，由抛物线的定义的可知 ，则点 到直线 的距离与到点 的距离之差等于 ，当 、 、三点不共线时，由三角形三边之间的关系可知， ，当点 为射线 与抛物线的交点时， ， 此时点 到直线 的距离与到点 的距离取到最
4、大值 ，故选 D. 考点： 1.抛物线的定义； 2.数形结合 已知 为坐标原点，向量 ， ，且 ，则 值为（ ） A B C D 答案： A 试题分析：由题意知 ，即， 上述等式两边同时除以 ，得 ，由于 ，则 ，解得 ，故选 A. 考点： 1.平面向量的数量积； 2.弦化切 关于 的不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为（ ） A B C D 答案： C 试题分析：由题意知 是方程 的根，于是有 ，且 ，因此不等式 即为 ，化简得 ，解此不等式得 ，故选 C. 考点： 1.不等式解集与方程之间的关系； 2.分式不等式的求解 如图 1，程序框图输出的结果为（ ） A B C D 答案： B 试
5、题分析： ， 成立，执行第一次循环， ； 成立，执行第二次循环， ， ； 依次类推， 成立，执行第九次循环， ， 不成立，输出 的值为 ，故选 B. 考点： 1.算法与程序框图； 2.裂项法求和 若 ，则目标函数 的取值范围是（ ） A B C D 答案： A 试题分析：作出不等式组 所表示的可行域如下图所示， ，令 ，则 ， 为原点与点 之间连线的斜率，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点，显然，直线 的倾斜角最大，且为锐角，此时 取最大值，即，直线 的倾斜角最小，且为锐角，此时， 取最小值，即，因此 ，所以 ，即目标函数 的取值范围是 ，故选 A. 考点： 1.线性规划； 2.斜率
6、 下图是 2014年在怀化市举行的演讲比赛，七位评委为第一位演讲者打出的分数的茎叶统计图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数与方差分别为（ ） A ， B ， C ， D ， 答案： C 试题分析：去掉一个最高分和一个最低分之后，剩余的五个数据依次是 、 、 、 ，平均数为 ，方差为，故选 C. 考点： 1.茎叶图； 2.平均数与方差 已知命题 ， ；命题 不等式 恒成立，那么（ ） A “ ”是假命题 B 是真命题 C “ 或 ”为假命题 D “ 且 ”为真命题 答案： C 试题分析： ，故命题 错误；对于命题 ， 因此方程 必有两个不等的实根，因此不等式 不可能恒成立，命题 错
7、误；则 为真命题， 为假命题， “ 或 ”为假命题， “ 且”为假命题，故选 C. 考点： 1.不等式的性质； 2.复合命题 填空题 如图 3所示，在边长为 的正方形 中，有一束光线从 点射出，到点反射， ， ，之后会不断地被正方形的各边反射，当光线又回到点 时，（ 1）光线被正方形各边一共反射了 _次；（ 2）光线所走的总路程为 _. 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：由于光线反射可以看作是直线对称，结合图形知，光线反射的途径是 ，第五次刚好到达点 ，即光线反射了 次，设光线经历的路程为 ，易求得 ，易得 . 考点： 1.直线的对称性； 2.相似三角形 若函数 为偶函数，当 时， ，
8、则不等式 的解集为 _. 答案： . 试题分析：当 时， ，令 ，即 ，解得 ，此时有 ； 当 时，由于 是偶函数，则 ， ，于是有 ，解得 ， 此时有 . 综上所述，不等式 的解集为 . 考点： 1.函数的奇偶性； 2.指数不等式 有 名同学站成一排，要求甲、乙两名同学必须相邻，有 _种不同的站法（用数字作答） . 答案： . 试题分析：将甲、乙两名同进行捆绑，形成一个整体，与另外两位同学形成三个整体，整体之间进行全排列，有 种排法，但需考虑甲、乙整体之间的内部顺序，有 种，因此共有 种不同的排法 . 考点： 1.分步计数； 2.捆绑法 若 ，则 的最大值为 _. 答案： . 试题分析：解法
9、一：（柯西不等式法） ，因此 的最大值为 . 解法二：（几何法）令 ，则直线 与圆 有公共点，圆心到直线的距离 ，解得 ，因此 的最大值为 ； 解法三：（三角换元法）设 ， ，则，其中 且 ，由于 ，因此 ，即的最大值为 . 考点： 1.柯西不等式； 2.直线与圆的位关系； 3.三角换元法 是 的直径， 是 切线， 为切点， 上有两点 、 ，直线 交 的延长线于点 ， ， ，则 的半径是_. 答案： . 试题分析：设 ，则 ，由切割线定理得，即 ，解得 ，因此 ，易知，由勾股定理得 ，由割线定理得 ，因此圆 的半径为. 考点： 1.切割线定理； 2.割线定理； 3.勾股定理 在直角坐标系 中，
10、曲线 的参数方程为 （ 为参数），在极坐标系（与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线 的方程为 ，则 与 的两个交点间的距离为 . 答案： . 试题分析：曲线 表示的是以点 为圆心，以 为半径的圆，将曲线 的极坐标方程化为普通方程得 ，圆心到此直线的距离为，因此 与 的两个交点间的距离为 . 考点： 1.极坐标方程、参数方程与直角坐标方程之间的转化； 2.直线与圆的位置关系 解答题 如图，一半径为 的圆形靶内有一个半径为 的同心 圆，将大圆分成两 部分，小圆内部区域记为 环，圆环区域记为 环，某同学向该靶投掷 枚飞镖，每次 枚 . 假设他每次必 定会中靶，
11、且投中靶内各点是随机的 . （ 1）求该同学在一次投掷中获得 环的概率； （ 2）设 表示该同学在 次投掷中获得的环数，求 的分布列及数学期望 . 答案：（ 1） ；（ 2）详见 . 试题分析：（ 1）先根据题中条件确定相应的事件为几何概型，然后利用几何概型的概率计算公式（对应区域面积之比）求出相应事情的概率即可；（ 2） （ 1）由题意可得是几何概型，设 ， 该同学一次投掷投中 环的概率为 ； （ 2）由题意可知 可能的值为 、 、 、 ， ， ， ， ， 的分布列为 环， 答： 的数学期望为 环 . 考点： 1.几何概型； 2.离散型随机变量分布列与数学期望 如图所示，某建筑工地准备建造一
12、间两面靠墙的三角形露天仓库堆放材料，已知已有两面墙 、 的夹角为 （即 ），现有可供建造第三面围墙的材料 米（两面墙的长均大于 米），为了使得仓库的面积尽可能大，记 ，问当 为多少时，所建造的三角形露天仓库的面积最大，并求出最大值？ 答案：当 时，所建造的三角形露天仓库的面积最大且值为 . 试题分析：先利用正弦定理将边 、 表示成 的代数式，然后利用三角形的面积公式将 的表示成 的三角函数，并借助和差角公式二倍角公式以及辅助角公式对三角函数式进行化简，并注意角 的取值范围，于是将问题转化为三角函数在定区间上的最值问题，利用整体法求解即可 . 在 中，由正弦定理： ， 化简得： ， ， 所以 ，
13、 即 ， 所以当 ，即 时， . 答：当 时，所建造的三角形露天仓库的面积最大且值为 . 考点： 1.正弦定理； 2.三角形的面积； 3.三角函数的最值 如图所示，空间中有一直角三角形 ， 为直角， ， ，现以其中一直角边 为轴，按逆时针方向旋转 后，将 点所在的位置记为，再按逆时针方向继续旋转 后， 点所在的位置记为 . （ 1）连接 ，取 的中点为 ，求证：面 面 ； （ 2）求 与平面 所成的角的正弦值 . 答案：（ 1）详见；（ 2） . 试题分析：（ 1）利用 与 全等得到 和 ，再利用三线合一得到 ， ，利用直线与平面垂直的判定定理得到平面 ，再利用平面与平面垂直的判定定理证明平面
14、 平面 ；（ 2）取 的中点 ，连接 ，过点 作 的垂线 ，垂足为点 ， 于是得到 为直线 与平面 所成的角，利用中位线得到 ，于是得到直线 与平面 所成的角等于 ，最后在 计算即可 . （ 1）由题意可知： 与 全等， ， ， 为 的中点， ， ， 又 ， 平面 ， 平面 ， 平面 平面 ； （ 2）由题意可知： 为 的中点，取 的中点为 ，连接 ， 过 作 的垂线，垂足为 ，连接 ， 由（ 1）可知面 面 ， 面 ， 是 在平面 上的射影， 为 与平面 所成的角， ， 相关试题 2014届湖南省怀化市高三第二次模拟考试理科数学试卷（带） 甲、乙两容器中分别盛有两种浓度的某种溶液 ，从甲容器
15、中取出溶液，将其倒入乙容器中搅匀，再从乙容器中取出 溶液，将其倒入甲容器中搅匀，这称为是一次调和，已知第一次调和后，甲、乙两种溶液的浓度分别记为： ， ，第 次调和后的甲、乙两种溶液的浓度分别记为： 、 . （ 1）请用 、 分别表示 和 ； （ 2）问经过多少次调和后，甲乙两容器中溶液的浓度之差小于 . 答案：（ 1） ， ；（ 2） . 试题分析：（ 1）根据题中条件归纳出第 次调和时乙容器中溶质的量等于从甲容器中取出的溶质的量 以及从乙容器中本身的溶质的量之和，从而得到 与 和 之间的关系，利用同样的方法得到 与与 ，从而实现利用 和 来表示 ；（ 2）利用（ 1）中的表达式并结合定义得
16、到数列 为等比数列，求出该数列的首项与公比，确定数列的通项公式，然后解不等式 ，求出相应的 即可 . （ 1）由题意可设在第一次调和后的浓度为 ， ， ； （ 2）由于题目中的问题是针对浓度之差，所以，我们不妨直接考虑数列 由（ 1）可得： ， 所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列 所以， ， 由题，令 ，得 所以， ， 由 得 ，所以， . 即第 次调和后两溶液的浓度之差小于 . 考点： 1.递推数列； 2.指数不等式 已知中心在原点，焦点在 轴上的椭圆 的离心率为 ，椭圆上异于长轴顶点的任意点 与左右两焦点 、 构成的三角形中面积的最大值为 . （ 1）求椭圆 的标准方程； （
17、2）已知点 ，连接 与椭圆的另一交点记为 ，若 与椭圆相切时、 不重合，连接 与椭圆的另一交点记为 ，求 的取值范围 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）先利用已知条件列举出有关 、 、 的方程组，结合三者之间满足的勾股关系求出 、 、 的值，从而确定椭圆的方程；（ 2）设直线与 的方程分别为 以及 ，将两条直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到点 与点 之间的关系（关于 轴对称），从而得到两点坐标之间的关系，最后将 利用点 的坐标进行表示，注意到坐标的取值范围，然后利用二次函数求出 的取值范围 . （ 1）由题可知： ， ， 解得： ， ， ， 故椭圆 的方程为： ； （
18、 2）不妨设 、 、 ， 由题意可知直线 的斜率是存在的，故设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 的方程为： 代入椭圆方程 ，得 ， ， 将 ， 代入解得： ， 的方程为： 代入椭圆方程 ，得 ， ， 将 ， ，代入解得： ， ，又 、 不重合， ， ， . 考点： 1.椭圆的方程； 2.直线与椭圆的位置关系； 3.二次函数； 4.向量的数量积 已知函数 ， . （ 1）已知区间 是不等式 的解集的子集，求 的取值范围； （ 2）已知函数 ，在函数 图像上任取两点 、，若存在 使得 恒成立，求 的最大值 . 答案：（ 1） ；（ 2） . 试题分析：（ 1）将不等式 在区间 上恒成立等价转化为，
19、然后利用导数 中对参数 进行分类讨论，确定函数 在区间 上的单调性，从而确定函数 在区间 的最小值，从而求出参数 的取值范围；（ 2）将不等式进行变形得到 ，构造函数，于是将问题转化 在区间 单调递增来处理，得到 ，即 ，围绕对 的符号进行分类讨论，通过逐步构造函数对不等式 进行求解，从而求出实数 的取值范围 . （ 1） 当 时， ， 在区间 上为增函数 由题意可知 ，即 ， ； 当 时， ，解得： ， ， ； ， ， 故有：当 ，即： 时， 即满足题意 即 ，构建函数 ， ，当 时为极大值点，有 ， 故 不等式无解； 当 ，即 时， ，即 ， 解得： ， ； 当 ，即 时， ，即 ， 解得： ， ； 综上所述 : ； （ 2）由题意可知： ，可设任意两数 ， 若存在 使得 成立，即 : ， 构建函数： ，为增函数即满足题意，即 恒成立即可 ，构建函数 ， , 当 时， ， 相关试题 2014届湖南省怀化市高三第二次模拟考试理科数学试卷（带）
