1、2014届陕西省长安一中等五校高三第二次联合模拟考试理科数学试卷与答案（带解析） 选择题 命题 且满足 .命题 且满足 .则 是 的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 答案： C 试题分析：由 得， ，即 ，故，反之也成立，故 是 的充要条件 考点：充要条件的判断 函数 ，关于方程 有三个不同实数解，则实数 的取值范围为（ ） A B C D 答案： D 试题分析：函数 ，根据 的图象，设 ， 关于 x的方程 有有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在 上，一个在 上设， 当有一个根为 时， ， ，此时另一根为 ，符合题意 当没有根为 时，则： ，
2、解得 ，综上可得， m的取值范围是 考点：对数函数图象与性质的综合应用 将 1,2,9 这 9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率是（ ） A B C D 答案： A 试题分析： 9个数分成三组，共有 组，其中每组的三个数均成等差数列，有 （ 1， 2， 3），（ 4， 5， 6），（ 7， 8， 9） 、 （ 1， 2， 3），（ 4，6， 8），（ 5， 7， 9） 、 （ 1， 3， 5），（ 2， 4， 6），（ 7， 8， 9） 、 （ 1，4， 7），（ 2， 5， 8），（ 3， 6， 9） 、 （ 1， 5， 9），（ 2， 3， 4），（ 6， 7，8） ，共
3、5组， 所求概率为 ，故选 A 考点：等差关系的确定；等可能事件的概率 已知 为单位向量，当 的夹角为 时， 在 上的投影为（ ） A 5 BC D 答案： D 试题分析：， 在 上的投影为，因为，故 考点：向量的投影，向量的运算 从某项综合能力测试中抽取 100人的成绩，统计如表，则这 100人成绩的标准差为（ ） 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A. B 3 C D 答案： C 试题分析：这组数据的平均数是： ，方差；则则这 100人成绩的标准差为 ；故选 考点：平均数、方差、标准差的概念 函数 与 的图像交点的横坐标所在区间为（ ） A B C D 答案：
4、B 试题分析：函数 与 的图像交点的横坐标，即为函数的零点， ， ，故函数的零点所在区间为 ，即函数 与 的图像交点的横坐标所在区间为 考点：函数的零点 已知 满足不等式 设 ，则 的最大值与最小值的差为（ ） A 4 B 3 C 2 D 1 答案： A 试题分析：作出不等式组 所表示的区域，由图可知， 在点取得最小值 ，在 点取得最大值 ，故 的最大值与最小值的差为 考点：线性规划 过 的直线 被圆 截得的线段长为 2时，直线 的斜率为（ ） A B C D答案： A 试题分析：由题意直线 的斜率存在设为 ，则直线 的方程为 ，即由点到直线的距离公式得，圆心到直线 的距离为，由圆的性质可得
5、，即 ，解得 ，即 考点：直线与圆的位置关系 直线 异面， 平面 ，则对于下列论断正确的是（ ） 一定存在平面 使 ； 一定存在平面 使 ； 一定存在平面 使； 一定存在无数个平面 与 交于一定点 . A B C D 答案： D 试题分析： 一定存在平面 使 是错误的，因为当直线 不垂直时，就不存在平面 使 ； 一定存在平面 使 是正确的，因为与异面直线公垂线垂直的平面就满足； 一定存在平面 使 ；是正确的，因为与异面直线 公垂线垂直的平面且过直线 就满足； 一定存在无数个平面 与交于一定点，是正确的，过一点的平面与直线 平行的平面有无数个 考点：线面平行的判定 抛物线 的准线方程为（ ） A
6、 B C D 答案： B 试题分析：由抛物线 得， ，故 ，所以 ，故抛物线的准线方程为 考点：抛物线的准线方程 填空题 不等式 的解集为 _. 答案： 试题分析： ，由 ，解得 考点：绝对值不等式的解法 参数方程 中当 为参数时，化为普通方程为 _. 答案： 试题分析：由参数方程 ，两式平方作差得， 考点：参数方程化普通方程 如图，已知 是 的切线， 为切点 . 是 的一条割线，交 于两点，点 是弦 的中点 .若圆心 在 内部，则 的度数为 _. 答案： 试题分析：如图，连接 ，由题意知 ， ，故有，可得四边形 四点共圆， 是同弦所对的角， ， ，故答案：为： 考点：弦切角 已知 面积 和三
7、边 满足： ，则 面积 的最大值为 _ . 答案： 试题分析：（ 1）由题意得： ，根据余弦定理得： ，得 ，代入上式得： 即 ，代入 得：， ， ， ，所以，面积 的最大值为 考点：解三角形 函数 ，等比数列 中， ，则_. 答案： -9 试题分析：因为 ，得 ， 考点：等比数列的性质，对数的运算性质 已知直线 与曲线 切于点 ，则 的值为_. 答案： 试题分析：点 直线 上，代入求得 ，直线 与曲线切于点 ，故 ，解得 考点：导数的几何意义 定积分 的值为 _. 答案： 试题分析： 考点：定积分 解答题 正四面体 边长为 2. 分别为 中点 . （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求二面角
8、的余弦值 . 答案：（ 1）详见； (2) 二面角 的余弦值 . 试题分析：（ 1）求证： 平面 ，证明线面垂直，即证明线线垂直，由于四面体 是正四面体， 分别为 中点，可知 ，连接，可知 ，从而可得 ，从而可证 平面 ； (2) 求二面角 的余弦值，方法 1：找二面角的平面角，可用三垂线定理来找，过 分别作底面垂线，垂足分别为 ，所以 为二面角 的平面角，求出 的余弦值即可，方法 2：空间向量法，因为四面体是正四面体，取底面中心为 ，以 分别为 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的法向量，利用平面 与平面 的法向量的夹角的余弦值即为二面角 的余弦值可得，二面角的余弦值 试题：（ 1
9、）由已知得 ，连接 得 ， 平面 . (2)方法 1：过 分别作底面垂线，垂足分别为 ，则 ， 由 ，所以 为二面角 的平面角，在 中， = . 方法 2：空间向量法 .底面中心为 ，以 分别为 轴建立空间直角坐标系。由题意平面 的法向量为 .平面 的法向量为，所以二面角 的余弦值 . 考点：线面垂直的判断，二面角的求法 观察下面一组组合数等式： ； ； ； （ 1）由以上规律，请写出第 个等式并证明； （ 2）随机变量 ，求证： . 答案： (1) ；（ 2）详见 试题分析： (1)观察等式规律，易得 ，有组合数计算公式易证出（ 2）随机变量 ，求证： ，显然这是一个二项分布，根据二项分布得
10、 ，利用 (1)的结论，及二项式定理，即可证明 试题：（ 1） ，证略 . (2)由二项分布得： . 考点：归纳推理，二项分布与数学期望 向量 .函数 . （ 1）若 ，求函数 的单调减区间； （ 2）将函数 的图像向左 平移 个单位得到函数 ，如果函数 在上至少存在 2014个最值点，求 的最小值 . 答案：（ 1）函数 的单调减区间 （ ； (2) 的最小值为 6. 试题分析：（ 1）若 ，求函数 的单调减区间，由已知可得 ，把 代入得 ，从而可得函数 的单调减区间； (2)由（ 1）知，将函数 的图像向左平移 个单位得到函数，函数 在 上至少存在 2014个最值点，因为每一个周期有两个最
11、值点，故 上至少有 1007个周期，因此求出函数的周期 ，得 2014，求出 的范围，从而得 的最小值 试题：（ 1） ， 时 所以减区间为 （ . (2) ,周期为 ，每一个周期有两个最值点，所以上至少有 1007个周期， 2014， ，所以 的最小值为 6. 考点：向量的数量积，三角函数的单调性，平移，周期 设数列 的前 n项的和 与 的关系是 . （ 1）求数列 的通项； （ 2）求数列 的前 项和 . 答案：（ 1） ； (2) 试题分析： (1)由 ，分别令 ，即可求出 ，根据 的式子特点即可归纳出数列 的通项；利用数学归纳法证明即可，又因为数列 的前 项和为 ， ，可利用得到递推关
12、系， ，显然 是等差数列，利用等差数列的通项公式的求法得数列 的通项公式，从而可得数列 的通项公式；（ 2）求数列 的前 项和 ，由（ 1）求出的数列 的通项公式，即可得出数列 的通项公式，利用错位相消法即可得出数列 的前项和 试题：（ 1）方法 1：数学归纳法证明：由 得 .数学归纳法证明略 . 方法 2： 时，由 得 ， 所以 ， . (2)由（ 1）得 所以 ，由错位相消法得. 考点：求数列的通项公式，数列求和 椭圆 以双曲线 的实轴为短轴、虚轴为长轴，且与抛物线交于 两点 . （ 1）求椭圆 的方程及线段 的长； （ 2）在 与 图像的公共区域内，是否存在一点 ，使得 的弦与 的弦 相
13、互垂直平分于点 ？若存在，求点 坐标，若不存在，说明理由 . 答案：（ 1） ， ；（ 2）不存在这样的点 试题分析：（ 1）求椭圆 的方程，只需求出 即可，由双曲线得， ，故得椭圆 ，从而得椭圆 的方程为 ，求线段 的长，只需求出 的坐标，由椭圆 的方程，及抛物线的方程 ，联立方程组解得 ，从而可得线段 的长；（ 2）这是探索性命题，一般假设存在，可设出 ，代入椭圆 的方程，两式作差，得 ，设出 ，代入抛物线 ，两式作差，得 ， 的弦 与 的弦相互垂直得， ，从而得到 ，由题设条件，来判断点 是否存 试题：（ 1）椭圆 ： ；联立方程组解得 ，所以. （ 2）假设存在，由题意将 坐标带入 做
14、差得 ，将 坐标带入 得 ， ，故满足条件的 点在抛物线 外，所以不存在这样的点 . 考点：椭圆的方程，直线与二次曲线位置关系 函数 . （ 1）令 ，求 的式； （ 2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围； （ 3）证明： . 答案：（ 1） ；（ 2）实数 的取值范围 ;（ 3）详见 . 试题分析：（ 1）因为 ,故, , ,由此可得 , 是以 4为周期 ,重复出现 ,故;（ 2）若 在 上恒成立，求实数 的取值范围 ,由 得 , ,即在 上恒成立，令 ,只需求出 在上的最小值即可 ,可利用导数法来求最小值 ;（ 3）证明：,由（ 2）知： 时， ,即 ,这样得到，令 ，叠加即可证出 试题： (1) 周期为 4， . （ 2）方法一：即 在 上恒成立， 当 时， ； 当 时， ，设 ， ， 设 ， ，则 时 ， 增； 减 . 而 ，所以 在 上存在唯一零点，设为 ，则 ,所以 在 处取得最大值，在 处取得最小值， . 综上： . 方法二：设 ，. . 当 时， 在 上恒成立， 成立，故； 当 时， 在 上恒成立， 得 ，无解 . 当 相关试题 2014届陕西省长安一中等五校高三第二次联合模拟考试理科数学试卷（带）
