1、2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（宁夏卷） 选择题 某几何体的一条棱长为 ，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为 和的线段，则 的最大值为（ ） A B C 4 D 答案： C 如果等腰三角形的周长是底边长的 5倍，那么它的顶角的余弦值为（ ） A B C D 答案： D 甲、乙、丙 3位志愿者安排在周一至周五的 5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面。不同的安排方法共有（ ） A 20种 B 30种 C 40种 D 60种 答案： 由直线 x= ， x=2，曲线 及
2、 x轴所围图形的面积为（ ） A B C D 2ln2 答案： 已知函数 )在区间 的图像如下：那么 （ ） A 1 B 2 CD 答案： B 已知复数 z=1-i,则 =（ ） A 2i B -2i C 2 D -2 答案： B （ ） A B C 2 D 答案： 平面向量 ， 共线的充要条件是（ ） A ， 方向相同 B ， 两向量中至少有一个为零向量 C ， D存在不全为零的实数 ， ， 答案： D 如图的程序框图，如果输入三个实数 a， b， c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ） A B C D 答案： A 已知 ，则使得 都成立的 取值
3、范围是（ ） A（ 0， ） B（ 0， ） C（ 0， ） D（ 0， ） 答案： 设等比数列 的公比 ，前 n项和为 ，则 （ ） A 2 B 4 CD 答案： 填空题 从甲、乙两品种的棉花中各抽测了 25根棉花的纤维长度（单位： mm），结果如下： 甲品种： 271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307 308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352 乙品种： 284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318 320 322 32
4、2 324 327 329 331 333 336 337 343 356 由以上数据设计了如下茎叶图： 根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论： ； . 答案： 乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度） . 甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散 .（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定） .甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大） . 设双曲线 的右顶点为 A，右焦点为 F，过点 F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点 B，则
5、AFB的面积为 。 答案： 一个六棱柱的底面是正六边形 ,其侧棱垂直于底面 .已知该六棱柱的顶点都在同一球面上，且该六棱柱的体积为 ，底面周长为 3，则这个球的体积为 . 答案： 已知向量 ， ， 且 ，则 = _ 答案： 解答题 （本小题满分 12分） A、 B两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1和 X2.根据市场分析， X1,X2的分布列分别为 X1 5 10 P 0.8 0.2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 （ ）在 A、 B两个项目上各投资 100万元， Y1和 Y2分别表示投资项目 A和 B所获得的利润，求方差 DY1， DY2； （ ）将 x(0x100)万元投资
6、A项目， 100-x万元投资 B项目， f(x)表示投资 A项目所得利润的方差与投资 B项目所得到利润的方差的和。求 f(x)的最小值，并指出 x为何值时， f(x)取到最小值。 （注： D(Ax+ b)=a2Dx） 答案：（ ） D Y1=4； D Y2=12。 （ ）当 时， 为最小值。 （本小题满分 12分） 设函数 f(x)=ax+ (a,b Z)，曲线 y=f(x)在点（ 2， f(2)）处的切线方程为 y=3。 （ ）求 f(x)的式： （ ）证明：函数 y=f(x)的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （ ）证明：曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1和直线 y=x
7、所围三角形的面积为定值，并求出此定值。 答案： （ ） （ ）证明见。 （ ）证明见。 （ ） ， 于是 。 解得 或 。 因 ，故 。 （ II）证明：已知函数 都是奇函数， 所以函数 也是奇函数，其图像是以原点为中心的中心对称图形。 而函数 。 可知，函数 的图像按向量 a=(1,1)平移，即得到函数的图象，故函数的图像是以点（ 1， 1）为中心的中心对称图形。 （ III）证明：在曲线上任一点 。 由 知 ,过此点的切线方程为。 令 得 ，切线与直线 交点为 。 令 得 ，切线与直线 交点为 。 直线 与直线 的交点为 (1,1)。 从而所围三角形的面积为 。 所以，所围三角形的面积为定
8、值 2。 在直角坐标系 xOy中，椭圆 C1： =1（ a b 0）的左、右焦点分别为 F1， F2 F2也是抛物线 C2： 的焦点，点 M为 C1与 C2在第一象限的交点，且 MF2 = （ ）求 C1的方程； （ ）平面上的点 N 满足 ，直线 l MN，且与 C1交于 A， B两点，若 ，求直线 l的方程 答案：（ 1） （ 2）直线 的方程为 ，或已知 an是一个等差数列，且 a2 1， a5 -5（ ）求 an的通项 ；（ ）求 an前 n项和 Sn的最大值 答案： ( ) an -2n 5 ( ) 4 如图所示，过圆 O 外一点 M作它的一条切线，切点为 A，过 A点作直线AP 垂
9、直于直线 OM，垂足为 P. （ 1）证明： OM OP=OA2； （ 2） N 为线段 AP 上一点，直线 NB垂直于直线 ON，且交圆 O 于 B点 .过 B点的切线交直线 ON 于 K.证明： OKM=90. 答案：证明略 已知函数 f(x)=|x-8|-|x-4|. (1)作出函数 y=f(x)的图象 ; (2)解不等式 |x-8|-|x-4| 2. 答案：（ 1） （ 2）不等式的解集为 (-,5) 已知曲线 C1： （ 为参数），曲线 C2： （ t为参数） （ ）指出 C1， C2各是什么曲线，并说明 C1与 C2公共点的个数； （ ）若把 C1， C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线写出 的参数方程 与 公共点的个数和 C 公共点的个数是否相同？说明你的理由 答案：（ ） 与 只有一个公共点 （ ） 与 公共点个数相同 （本小题满分 12分） 如图，已知点 P在正方体 ABCD- 的对角线 上， 。 （ ）求 DP 与 所成角的大小； （ ）求 DP 与平面 所成角的大小。 答案：（ ） 45 （ ） 30
