1、2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（江西卷） 选择题 在复平面内，复数 对应的点位于 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 答案： D （本小题满分 12分） 在 中，角 所对应的边分别为 ， ，求 及 。 答案： ； ； 不等式 的解集为 。 答案： 已知函数 ， ，若对于任一实数 ，与 至少有一个为正数，则实数 的取值范围是 A B C D 答案： B 电子钟一天显示的时间是从 00:00到 23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为 23的概率为 A B C D 答案： C 连结球面上两点的线段称为球的弦。半径为 4的球的两条弦 、 的长
2、度分别等于 、 ， 、 分别为 、 的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题： 弦 、 可能相交于点 弦 、 可能相交于点 的最大值为 5 的最小值为 1 其中真命题的个数为 A 1个 B 2个 C 3个 D 4个 答案： C 若 ，则下列代数式中值最大的是 A B C D 答案： A 展开式中的常数项为 A 1 B 46 C 4245 D 4246 答案： D 已知 、 是椭圆的两个焦点，满足 的点 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 A B CD 答案： C 定义集合运算： 设 ， ，则集合 的所有元素之和为 A 0 B 2 C 3 D 6 答案： D （本小题满分 14分）
3、 已知函数 ， （ 1）当 时，求 的单调区间； （ 2）对任意正数 ，证明： 。 答案：（ 1） 在 中单调递增，而在 中单调递减。 （ 2）证明见。 若函数 的值域是 ，则函数 的值域是 A B C D 答案： B A B C D不存在 答案： A 在数列 中， ， ，则 A B C D 答案： A 函数 在区间 内的图象是答案： D 填空题 直角坐标平面上三点 ，若 为线段 的三等分点，则 = 。 答案： 如图 1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有 升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点 P。如果将容器倒置，水面也恰好过点 （图 2）。有下列四个命题：
4、 A正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半 B将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点 C任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点 D若往容器内再注入 升水，则容器恰好能装满 其中真命题的代号是： （写出所有真命题的代号）。答案： BD 过抛物线 的焦点 作倾角为 的直线，与抛物线分别交于、 两点（ 在 轴左侧），则 。 答案： 解答题 （本小题满分 12分） 数列 为等差数列， 为正整数，其前 项和为 ，数列 为等比数列，且 ，数列 是公比为 64的等比数列， 。 （ 1）求 ； （ 2）求证 。 答案：（ 1） （ 2）证明见。 （本小题满分 12分） 如图，正三棱锥 的三条侧棱 、 、 两两
5、垂直，且长度均为2 、 分别是 、 的中点， 是 的中点，过 作平面与侧棱 、 或其延长线分别相交于 、 、 ，已知 。 （ 1）求证： 平面 ； （ 2）求二面角 的大小。 答案：（ 1）证明见。 （ 2） （本小题满分 12分） 设点 在直线 上，过点 作双曲线 的两条切线 ，切点为 ，定点 。 （ 1）求证：三点 共线； （ 2）过点 作直线 的垂线，垂足为 ，试求 的重心 所在曲线方程。 答案：（ 1）证明见。 （ 2） （本小题满分 12分） 某柑桔基地因冰雪灾害，使得果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林的方案，每种方案都需分两年实施；若实施方案一，预计当年可以使柑桔产量恢复到
6、灾前的 1.0倍、 0.9倍、 0.8倍的概率分别是 0.3、 0.3、 0.4；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.25 倍、 1.0 倍的概率分别是 0.5、 0.5. 若实施方案二，预计当年可以使柑桔产量达到灾前的 1.2倍、 1.0倍、 0.8倍的概率分别是 0.2、0.3、 0.5；第二年可以使柑桔产量为上一年产量的 1.2倍、 1.0倍的概率分别是0.4、 0.6. 实施每种方案，第二 年与第一年相互独立。令 表示方案 实施两年后柑桔产量达到灾前产量的倍数。 （ 1）写出 的分布列； （ 2）实施哪种方案，两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大？ （ 3）不管哪种方案，如果实施两年后柑桔产量达不到灾前产量，预计可带来效益 10万元；两年后柑桔产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益 15万元；柑桔产量超过灾前产量，预计可带来效益 20万元；问实施哪种方案所带来的平均效益更大？ 答案：（ 1） 、 的分布列分别为： 0.8 0.9 1.0 1.125 1.25 P 0.2 0.15 0.35 0.15 0.15 0.8 0.96 1.0 1.2 1.44 P 0.3 0.2 0.18 0.24 0.08 （ 2）方案二两年后柑桔产量超过灾前产量的概率更大。 （ 3）方案一所带来的平均效益更大。
