1、同步 2015年人教 A版选修 1-1 3.4生活中的优化问题举例练习卷与答案（带解析） 填空题 某商品一件的成本为 30元，在某段时间内，若以每件 x元出售，可卖出（ 200x）件，当每件商品的定价为 元时，利润最大 答案： 试题分析：本题是营销问题，基本等量关系：利润 =每件利润 销售量，每件利润 =每件售价 每件进价再根据所列二次函数求最大值 解：利润为 S（ x） =（ x30）（ 200x） =x2+230x6000， S（ x） =2x+230， 由 S（ x） =0得 x=115，这时利润达到最大 故答案：为： 115 点评：本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性
2、质进行实际应用此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题 某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10千米处建仓库，这两项费用 y1和 y2分别为 2万元和 8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 千米处 答案： 试题分析：由题意先解出土地占用费与运费关于车站距离的函数，将费用之和关于车站距离的函数关系式建立起来，再用基本不等式求解 解：设仓库建在离车站 d千米处， 由已知 y1=2= ，得 k1=20， y1= ， y2=8=k2 10，得 k2= ， y2= d， y1+y2= + 2
3、=8 当且仅当 = ，即 d=5时，费用之和最小 故应填 5 点评：本题考查选定系数法求式，此法的特点是相关函数的式的形式已知求最值时用到了基本不等式求最值 横梁的强度和它的矩形横断面的宽成正比，并和矩形横断面的高的平方成正比，要将直径为 d的圆木锯成强度最大的横梁，则横断面的宽是 答案： d 试题分析：据题意横梁的强度同它的断面高的平方与宽 x的积成正比（强度系数为 k， k 0）建立起强度函数，求出函数的定义域，再利用求导的方法求出函数取到最大值时的横断面的值 解：如图所示，设矩形横断面的宽为 x，高为 y由题意知，当 xy2取最大值时，横梁的强度最大 y2=d2x2， xy2=x（ d2
4、x2）（ 0 x d） 令 f（ x） =x（ d2x2）（ 0 x d）， 得 f（ x） =d23x2，令 f（ x） =0， 解得 x= 或 x= （舍去） 当 0 x 时， f（ x） 0；当 x d时， f（ x） 0， 因此，当 x= 时， f（ x）取得极大值，也是最大值 故答案：为： d 点评：考查据实际意义建立相关的函数，再根据函数的特征选择求导的方法来求最值 做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是 27，且用料最省，则圆柱的底面半径为 答案： 试题分析：设圆柱的高为 h，半径为 r则由圆柱的体积公式可得， r2h=27，即，要使用料最省即求全面积的最小值，而 S 全面积 =r
5、2+2rh= =（法一）令 S=f（ r），结合导数可判断函数 f（ r）的单调性，进而可求函数取得最小值时的半径 （法二）： S 全面积 =r2+2rh= = ，利用基本不等式可求用料最小时的 r 解：设圆柱的高为 h，半径为 r 则由圆柱的体积公式可得， r2h=27 S 全面积 =r2+2rh= = （法一）令 S=f（ r），（ r 0） = 令 f（ r） 0可得 r3，令 f（ r） 0可得 0 r 3 f（ r）在（ 0， 3）单调递减，在 3， +）单调递增，则 f（ r）在 r=3时取得最小值 （法二）： S 全面积 =r2+2rh= = = =27 当且仅当 即 r=3时取
6、等号 当半径为 3时， S最小即用料最省 故答案：为： 3 点评：本题主要考查了圆柱的体积公式及表面积的最值的求解，解答应用试题的关键是要把实际问题转化为数学问题，根据已学知识进行解决 如图，在边长为 60cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，最大容积是 答案： cm3 试题分析：设箱底边长为 xcm，结合题意可得容积 V（ x） = （ 60x2x3）（ 0x 60）再用导数工具研究 V（ x）在区间（ 0， 60）上的单调性，可知当x=40时 V（ x）达到最大值由此得到本题答案： 解：设箱底边长为 xcm，则箱高 h= ， 箱子容积 V（
7、x） =x2h= （ 60x2x3）（ 0 x 60） 求导数，得 V（ x） =60x x2， 令 V（ x） =60x x2=0，解得 x=0（不合题意，舍去）， x=40， x （ 0， 40）时， V（ x） 0； x （ 40， 60）时， V（ x） 0 V（ x）在区间（ 0， 40）上为增函数，区间（ 40， 60）上为减函数 由此可得 V（ x）的最大值是 V（ 40） =16000 故答案：为： 16000cm3 点评：本题以一个实际问题为例，求铁箱的容积最大值着重考查了函数模型及其应用和利用导数研究函数的单 调性、求最值等知识，属于中档题 设底为等边三角形的直棱柱的体积为
8、 V，那么其表面积最小时，底面边长为 答案： 试题分析：设底边边长为 a，高为 h，利用体积公式 V=Sh得出 h，再根据表面积公式得 S= ，最后利用导函数即得底面边长 解：设底边边长为 a，高为 h， 则 V=Sh= a2h， h= = ， 则表面积为 = ， 则 ， 令 可得 ， 即 a= 故答案：为 点评：本小题主要考查棱柱、棱锥、棱台、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想属于基础题 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为 20cm，要使其体积最大，则其高为 答案： cm 试题分析：设出圆锥的高，求出底面半径，推出体积的表达式，利用导数求出体积
9、的最大值时的高即可 ：设圆锥的高为 h cm， V 圆锥 = （ 400h2） h， V（ h） = （ 4003h2）令 V（ h） =0， 得 h2= ， h= （ cm） 当 0 h 时， V 0； 当 h 20时， V 0， 当 h= 时， V取最大值 故答案：为： cm 点评：本题考查旋转体问题，以及利用导数求函数的最值问题，考查计算能力，是中档题 把长为 12cm的细铁丝锯成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形最小的面积之和是 答案： cm2 试题分析：设一个三角形的边长为 x cm，则另一个三角形的边长为（ 4x） cm，则可得到这两个正三角形面积之和，利用二次函数的性
10、质求出其最小值 解：设一个三角形的边长为 x cm，则另一个三角形的边长为（ 4x） cm，两个三角形的面积和为 S= x2+ （ 4x） 2= x22 x+4 令 S= x2 =0，则 x=2，所以 Smin=2 故答案：为： 2 cm2 点评：本题考查等边三角形的面积的求法，二次函数的性质及最小值的求法 已知某生产厂家的年利润 y（单位：万元）与年产量 x（单位：万件）函数关系式为 ，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 答案：万件 试题分析：求出函数的导函数，由导函数等于 0求出极值点，结合实际意义得到使该生产厂家获取最大年利润的年产量 解：由 ，得： y=x2+81， 由 x2+81
11、=0，得： x1=9（舍）， x2=9 当 x （ 0， 9）时， y 0，函数 为增函数， 当 x （ 9， +）时， y 0，函数 为减函数， 所以当 x=9时，函数有极大值，也就是最大值，为（万元） 所以使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 9万件 故答案：为 9万件 点评：本题考查了函数在某点取得极值的条件，考查了运用导函数判断原函数的单调性，此题是基础题 某工厂要围建一个面积为 512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其它三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为 答案：米， 16米 试题 分析：要求材料最省，则要求新砌的墙壁总长最短，设场地宽为 x米
12、，则长为 米，因此新墙壁的周长，利用基本不等式可求周长的最小值，从而可求砌壁所用的材料最省时堆料的长和宽 解：设场地宽为 x米，则长为 米，因此新墙总长为 L=2x+ （ x 0）， 则 L=2 令 L=0得 x=16，又 x 0， x=16，则当 x=16时， Lmin=64， 长为 =32（米） 故堆料场的长为 32米，宽为 16米时，砌墙所用的材料最少 故答案：为： 32米， 16米 点评：本题重点考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是求出新的墙壁的周长 某公司生产某种产品，固定成本为 20000元，每生产一单位产品，成本增加 100元，已知总收益 R与年产量 x的关系为
13、 R=R（ x） =，则总利润最大时，每年生产的产品数量是 答案： 试题分析：先根据题意得出总成本函数，从而写出总利润函数，它是一个分段函数，下面求其导数 P（ x），令 P（ x） =0，从而得出 P的最大值即可 ：由题意，总成本为 C=20000+100x 总利润为： P=RC= ， P= 令 P=0， 即可得到正确答案：，即 x=300 故答案： 300 点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力 把总长为 16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是 m2 答案： 试题分析：设一边长为 x，则另一边长可表示为 8x，则其面积可表
14、示关于边长的二次函数，在定义域内求最值 解：设一边长为 x，则另一边长可表示为 8x， 则面积 S=x（ 8x） =x2+8x=（ x4） 2+16， 0 x 8 故当矩形的长与宽相等，都为 4时面积取到最大值 16 故应填 16 点评：考查将实际问题求最值的问题转化为二次函数在某个区间上的最值问题，二次函数求最值一般用配方法 解答题 用长为 90cm，宽为 48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转 90角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？ 答案：当高为 10，最大容积为 19600 试题分析：首先分析题目求长
15、为 90cm，宽为 48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器当容器的高为多少时，容器的容积最大故可设容器的高为 x，体积为 V，求出 v关于 x的方程，然后求出导函数，分析单调性即可求得最值 解：根据题意可设容器的高为 x，容器的体积为 V， 则有 V=（ 902x）（ 482x） x=4x3276x2+4320x，（ 0 x 24） 求导可得到： V=12x2552x+4320 由 V=12x2552x+4320=0得 x1=10， x2=36 所以当 x 10时， V 0， 当 10 x 36时， V 0， 当 x 36时， V 0， 所以，当 x=10， V有极大值 V（ 10） =1960
16、0，又 V（ 0） =0， V（ 24） =0， 所以当 x=10， V有最大值 V（ 10） =19600 故答案：为当高为 10，最大容积为 19600 点评：此题主要考查函数求最值在实际问题中的应用，其中涉及到由导函数分类讨论单调性的思想，在高考中属于重点考点，同学们需要理解并记忆 某种产品每件成本为 6元，每件售价为 x元（ x 6），年销量为 u万件，若已知 与 成正比，且售价为 10元时，年销量为 28万件 （ 1）求年销售利润 y关于 x的函数关系式 （ 2）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润 答案：（ 1） y=2x3+33x2108x108 （ 2）售价为 9元时，
17、年利润最大，最大年利 润为 135万元 试题分析：（ 1）根据题中条件： “若已知 与 成正比 ”可设，再依据售价为 10元时，年销量为 28万件求得 k值，从而得出年销售利润 y关于 x的函数关系式 （ 2）利用导数研究函数的最值，先求出 y的导数，根据 y 0求得的区间是单调增区间， y 0求得的区间是单调减区间，从而求出极值进而得出最值即可 解：（ 1）设 ， 售价为 10元时，年销量为 28万件； ，解得 k=2 =2x2+21x+18 y=（ 2x2+21x+18）（ x6） =2x3+33x2108x108 （ 2） y=6x2+66x108=6（ x211x+18） =6（ x2
18、）（ x9） 令 y=0得 x=2（ x 6，舍去）或 x=9 显然，当 x （ 6， 9）时， y 0当 x （ 9， +）时， y 0 函数 y=2x3+33x2108x108在（ 6， 9）上是关于 x的增函数； 在（ 9， +）上是关于 x的减函数 当 x=9时， y取最大值，且 ymax=135 售价为 9元时，年利润最大，最大年利润为 135万元 点评：本小题主要考查根据实际问题建立数学模型，以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力属于基 础题 如图所示，设铁路 AB=50， B、 C之间距离为 10，现将货物从 A运往 C，已知单位距离铁路费用为 2，公路费用为 4，问在 AB
19、上何处修筑公路至 C，可使运费由 A到 C最省？ 答案：即在离点 B 距离为 的点 M 处修筑公路至 C 时，货物运费最省 试题分析：由已知，我们可计算出公路上的运费和铁路上的运费，进而得到由A到 C的总运费， 利用导数法，我们可以分析出函数的单调性，及函数的最小值点，得到答案： 解：设 M为 AB上的一点，且 MB=x，于是 AM上的运费为 2（ 50x）， MC上的运费为 4 ， 则由 A到 C的总运费为 p（ x） =2（ 50x） +4 （ 0x50） p（ x） =2+ ， 令 p（ x） =0，解得 x1= ， x2= （舍去） 当 x 时， p（ x） 0；当 x 时， p（ x
20、） 0， 故当 x= 时， p（ x）取得最小值 即在离点 B距离为 的点 M处修筑公路至 C时，货物运费最省 点评：本题考查的知识点是导数在最大值最小值问题中的应用，函数最值的应用，其中根据已知条件求出函数的式，并确定函数的单调性是解答本题的关键 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时 10 公里时的燃料费是每小时 6 元，而其他与速度无关的费用是每小时 96 元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？ 答案：此轮船以 20公里 /小时的速度使行驶每公里的费用总和最小 试题分析：根据题意建立相应的函数模型是解决本题的关键建立起函数的模型之后，根据函数的类型选择合适的方法求解相应的最值问题，充分发挥导数的工具作用 解：设船速度为 x（ x 0）时，燃料费用为 Q元，则 Q=kx3， 由 6=k103可得 ， ， 总费用 ， ，令 y=0得 x=20， 当 x （ 0， 20）时， y 0，此时函数单调递减， 当 x （ 20， +）时， y 0，此时函数单调递增， 当 x=20时， y取得最小值， 答：此轮船以 20公里 /小时的速度使行驶每公里的费用总和最小 点评：本题考查函数模型的应用，考查建立函数模型解决实际问题的思想和方法建立起函数模型之后选择导数作为工具求解该最值问题，体现了转化与化归的思想
