1、新课标版高二数学选修（ 2-1）空间向量试题专项训练（陕西） 选择题 在正三棱柱 ABCA 1B1C1中，若 AB BB1，则 AB1与 C1B所成的角的大小为（ ） A 60 B 90 C 105 D 75 答案： C 如图：在平行六面体 中， 为 与 的交点。若， ， 则下列向量中与 相等的向量是（ ） A B C D 答案： C 有以下命题： 如果向量 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么 的关系是不共线； 为空间四点，且向量 不构成空间的一个基底，则点一定共面； 已知向量 是空间的一个基底，则向量 也是空间的一个基底。其中正确的命题是：（ ） A B C D 答案： A 正四棱柱
2、 中，底面边长为 ，侧棱长为 4， E， F分别为棱 AB， CD的中点， 则三棱锥 的体积 V（ ） A B C D 答案： C 试题分析：如图， ，求得 ， ，则三棱锥的体积 。故选 C。 考点：空间几何体的体积 点评：求空间几何体的体积和表面积是重要的考点。在求三棱锥的体积时，四个面都可以作为底面，我们需要灵活应用。 正三棱柱 的底面边长为 3，侧棱 ， D是 CB延长线上一点，且 ，则二面角 的大小（ ） A B C D 答案： D 在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形， ，侧棱， D， E分别是 与 的中点，点 E在平面 ABD上的射影是的重心 G则 与平面 ABD所成角的余弦值（
3、） A B C D 答案： B 在三棱锥 P-ABC中， AB BC， AB BC PA，点 O、 D分别是 A A PC的中点， OP 底面 ABC，则直线 OD与平面 PBC 所成角的正弦值（） B C C D答案： A 在棱长为 的正方体 中，则平面 与平面 间的距离（ ） A B C D 答案： C 已知 是各条棱长均等于 的正三棱柱， 是侧棱 的中点点到平面 的距离（ ） A B C D 答案： A 正四棱锥 的高 ，底边长 ，则异面直线 和 之间的距离（ ） A B C D 答案： A 如图， A1B1C1ABC 是直三棱柱， BCA=90，点 D1、 F1分别是 A1B1、A1C
4、1的中点，若 BC=CA=CC1，则 BD1与 AF1所成角的余弦值是（ ） A B C D 答案： B 如图， ABCDA 1B1C1D1是正方体， B1E1 D1F1 ，则 BE1与 DF1所成角的余弦值是（ ） A B C D 答案： A 考点：异面直线及其所成的角 分析：先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点 E1，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可 解：如图 先将 F1D平移到 AF，再平移到 E1E， EE1B为 BE1与 DF1所成的角 设边长为 4则， E1E=E1B= ， BE=2 cos EE1B= ，故选 A 填空题 已知棱长为
5、1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E是 A1B1的中点，求直线 AE与平面 ABC1D1所成角的正弦值 答案： 已知棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E、 F分别是 B1C1和 C1D1的中点，点 A1到平面 DBEF的距离 答案： 在棱长为 的正方体 中， 、 分别是 、 的中点，求点 到截面 的距离 答案： 在正方体 中， 为 的中点，则异面直线 和 间的距离 答案： 已知向量 ， ， 且 ，则 = _. 答案： 解答题 已知棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1，求平面 A1BC1与平面 ABCD所成的二面角的大小 答案：解：如图建立空间直角坐标系，
6、（ -1， 1， 0）， （ 0，1， -1） 设 、 分别是平面 A1BC1与平面 ABCD的法向量， 由 可解得 （ 1， 1， 1） 易知 （ 0， 0， 1）， 所以， 所以平面 A1BC1与平面 ABCD所成的二面角大小为 arccos 或 -arccos 已知棱长为 1的正方体 ABCD-A1B1C1D1中， E、 F、 M分别是 A1C1、 A1D和B1A上任一点，求证：平面 A1EF 平面 B1MC 答案：证明：如图建立空间直角坐标系， 则 （ -1， 1， 0）， （ -1， 0， -1） （ 1， 0， 1）， （ 0， -1， -1） 设 ， ， （ 、 、 ，且均不为
7、0） 设 、 分别是平面 A1EF 与平面 B1MC 的法向量， 由 可得 即 解得： （ 1， 1， -1） 由 可得 即 解得 （ -1， 1， -1），所以 - ， ， 所以平面 A1EF 平面 B1MC 在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD是一直角梯形， BAD=90，AD BC， AB=BC=a， AD=2a，且 PA 底面 ABCD， PD与底面成 30角 （ 1）若 AE PD， E为垂足，求证： BE PD； （ 2）求异面直线 AE与 CD所成角的余弦值 答案：（ 1）证明： PA 平面 ABCD， PA AB，又AB AD AB 平面 PAD又 AE PD， PD 平面
8、 ABE，故 BE PD （ 2）解：以 A为原点， AB、 AD、 AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点 C、 D的坐标分别为（ a， a， 0），（ 0， 2a， 0） PA 平面 ABCD， PDA是 PD与底面 ABCD所成的角， PDA=30 于是，在 Rt AED中，由 AD=2a，得 AE=a过 E作 EF AD，垂足为 F，在Rt AFE中，由 AE=a， EAF=60，得 AF= ， EF= a， E（ 0，a） 于是， =-a， a， 0 设 与 的夹角为 ，则由 cos= AE与 CD所成角的余弦值为 已知棱长为 1的正方体 AC1， E、 F分别是 B1C1、 C1D的中点 （ 1）求证： E、 F、 D、 B共面； （ 2）求点 A1到平面的 BDEF的距离； （ 3）求直线 A1D与平面 BDEF所成的角 答案：解：（ 1）略 （ 2）如图，建立空间直角坐标系 Dxyz, 则知 B（ 1， 1， 0）， 设 得 则 令 设点 A1在平面 BDFE上的射影为 H，连结 A1D，知 A1D是平面 BDFE的斜线段 即点 A1到平面 BDFE的距离为 1 （ 3）由（ 2）知， A1H=1，又 A1D= ，则 A1HD为等腰直角三角形，
