1、新课标高三数学轨迹问题、几何体的结构与三视图专项训练（河北） 选择题 若点 P到直线 x -1的距离比它到点 (2,0)的距离小 1，则点 P的轨迹为 ( ) A圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线 答案： D 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ) A 2 2 B 4 2 C 2 D 4 答案： C 用单位立方块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如下图所示，则它的体积的最小值与最大值分别为 ( ) A 9与 13 B 7与 10 C 10与 16 D 10与 15 答案： C 考点：由三视图求面积、体积 分析：由于主视图第一列为 3层，故俯视图中第一列至少有一个是 3层的，其余可
2、是 1 3层，同时可分析第 2列和第三列，进而得到答案： 解：由主视图第 1， 2， 3列高分别为 3， 2， 1 则该几何体体积的最大值为： 3+3+3+2+2+2+1=16 体积的最小为： 3+1+1+2+1+1+1=10 故选： C 如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是 ( ) 长方体 圆锥 三棱锥 圆柱 A B C D 答案： A 考点：由三视图还原实物图 分析：由俯视图结合其它两个视图可以看出，几何体分别是圆柱、三棱锥和圆锥 解：根据三视图从不同角度知，甲、乙、丙对应的几何体分别是圆柱、三棱锥和圆锥， 故选 A 下列几何体 (如下列图 )各自的三
3、视图中，有且仅有两个视图相同的是 ( ) A B C D 答案： D 下列三视图所对应的直观图是 ( )答案： C 设过点 P的直线分别与 x轴的正半轴和 y轴的正半轴交于 A、 B两点，点 Q与点 P关于 y轴对称， O 为坐标原点，若 2，且 1，则 P点的轨迹方程是( ) A 3x2 y2 1 B 3x2-y2 1 C.x2-3y2 1 D.x2 3y2 1 答案： D 已知两定点 F1(-1,0)、 F2(1,0)，且 |F1F2|是 |PF1|与 |PF2|的等差中项，则动点 P的轨迹是 ( ) A椭圆 B双曲线 C抛物线 D线段 答案： D 已知 | 3， A、 B分别在 y轴和
4、x轴上运动， O 为原点，则动点 P的轨迹方程是 ( ) A. y2 1 B x2 1 C. y2 1 D x2 1 答案： A 一条线段 AB的长为 2，两个端点 A和 B分别在 x轴和 y轴上滑动，则线段AB的中点的轨迹是 ( ) A双曲线 B双曲线的一分支 C圆 D椭圆 答案： C 填空题 一个长方体共顶点的三个面的面积分别为、，这个长方体对角线的长是_ 答案： 直三棱柱 ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若 AB AC AA1 2， BAC 120，则此球的表面积等于 _ 答案： 在下列图的几何体中，有 _个是柱体 答案： 过抛物线 x2 4y的焦点 F作直线 l交抛物线于
5、A、 B两点，则弦 AB的中点M的轨迹方程是 _ 答案： x2 2y-2 一动圆与两圆 M： x2 y2 1和 N： x2 y2-8x 12 0都外切，则动圆圆心的轨迹为 _ 答案：双曲线 4(x 2)2-y2 1的左支 已知两定点 A(-2,0)、 B(1,0)，如果动点 P满足 |PA| 2|PB|，则点 P的轨迹方程为： _ 答案： x2 y2-4x 0 解答题 已知直线 x-2y 2 0 经过椭圆 C： 1(a b 0)的左顶点 A 和上顶点 D，椭圆 C的右顶点为 B，点 S是椭圆 C上位于 x轴上方的动点，直线 AS、 BS 与直线 l： x分别交于 M、 N 两点 (1)求椭圆
6、C的方程； (2)求线段 MN 的长度的最小值； (3)当线段 MN 的长度最小时，在椭圆 C上是否存在这样的点 T，使得 TSB的面积为？若存在，确定点 T的个数，若不存在，说明理由 答案： (1)由已知得，椭圆 C 的左顶点为 A(-2,0)，上顶点为 D(0,1)， a 2，b 1，故椭圆 C的方程为 y2 1. (2)直线 AS 的斜率 k 显然存在，且 k 0，故可设直线 AS 的方程为 y k(x 2)，从而 M， 由得 (1 4k2)x2 16k2x 16k2-4 0. 设 S(x1， y1)，则 (-2) x1得 x1， 从而 y1， 即 S，又 B(2,0)， 由得， N，
7、故 |MN|， 又 k 0， |MN| 2 . 当且仅当，即 k时等号成立 k时，线段 MN 的长度取最小值 . (3)由 (2)可知，当 MN 取最小值时， k， 此时 BS 的方程为 x y-2 0， S， |BS|， 要使椭圆 C上存在点 T，使得 TSB的面积等于，只需 T到直线 BS 的距离等于， 所以 T在平行于 BS 且与 BS 距离等于的直线 l上 设直线 l： x y t 0， 则由，解得 t -或 t -. 当 t -时，由得 5x2-12x 5 0， 由于 44 0，故 l与椭圆 C有两个不同的支点； 当 t -时，由得 5x2-20x 21 0， 由于 -20 0，故直
8、线 l与椭圆没有交点 综上所述，当线段 MN 的长度最小时，椭圆上仅存在两个不同的点 T，使 TSB的面积为 . 点 P(x0， y0)在椭圆 1(a b 0)上， x0 acos ， y0 bsin ， 0 .直线l2与直线 l1： x y 1垂直， O 为坐标原点，直线 OP的倾斜角为 ，直线 l2的倾斜角为 . (1)证明：点 P是椭圆 1与直线 l1的唯一交点； (2)证明： tan ， tan ， tan 构成等比数列 答案：证明： (1)法一：由 x y 1得 y (a2-x0x)， 代入椭圆 1， 得 x2-x 0. 将，代入上式， 得 x2-2acos x a2cos 2 0，
9、从而 x acos . 因此，方程组有唯一解，即直线 l1与椭圆有唯一交点 P. 法二：显然 P是椭圆与 l1的交点，若 Q(acos 1， bsin 1)， 01 2是椭圆与 l1的交点， 代入 l1的方程 x y 1， 得 cos cos 1 sin sin 1 1， 即 cos(-1) 1， 1，故 P与 Q 重合 法三：在第一象限内，由 1可得 y， y0， 椭圆在点 P处的切线斜率 k y(x0) - -， 切线方程为 y -(x-x0) y0，即 1. 因此， l1就是椭圆在点 P处的切线 根据椭圆切线的性质， P是椭圆与直线 l1的唯一交点 (2)tan tan ， l1的斜率为
10、 -， l2的斜率为 tan tan ， 由此得 tan tan tan20， tan ， tan ， tan 构成等比数列 如右图所示，在正三棱柱 ABCA 1B1C1中， AB 3， AA1 4， M为 AA1的中点， P是 BC 上一点，且由 P沿棱柱侧面经过棱 CC1到 M的最短路线长为，设这条最短路线与 CC1的交点为 N.求： (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长； (2)PC和 NC的长 答案： (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4和 9的矩形所以对角线长为； (2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB1展开，如右图，设 PC的长为 x，则 MP2 MA2(AC x)2，因为 MP， MA 2， AC 3，所以 x 2即 PC的长为 2，又因为NC AM 所以即， 所以 NC . 一几何体的表面展开图如右图，则这个几何体是哪一种几何体？选择适当的角度，画出它水平放置时的直观图与三视图并计算该几何体的体积 答案：该几何体为四棱锥，底面是正方形，有一条侧棱与底面垂直， (直观图，三视图略 )其体积为： 666 72 cm3.
