1、理科数学 平面向量 - 1 - 第一部分 平面向量的概念及线性运算 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度 (或称模 ) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量 ；其方向是任意的 记作 0 单位向量 长度等于 1 个单位的向量 非零向量 a 的单位向量为 a|a| 平行向量 方向 相同 或 相反 的非零向量 0 与任一向量 平行 或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量 相等向量 长度 相等 且方向 相同 的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量 长度 相等 且 方向 相反 的向量 0 的相反向量为 0 2.向
2、量的线性运算 向量运算 定 义 法则 (或几何意义 ) 运算律 加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a b b a. (2)结合律： (a b) c a (b c) 减法 求 a 与 b 的相反向量 b 的和的 运算叫做 a 与 b 的差 a b a ( b) 数乘 求实数 与向量 a的积的运算 (1)| a| | |a|； (2)当 0 时， a 的方向与 a的方向 相同 ；当 0 时， a的方向与 a 的方向 相反 ；当 0 时， a 0 ( a) a； ( )a a a； (a b) a b 3.共线向量定理 向量 a(a 0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 ，使得 b
3、a. 【基础练习】 理科数学 平面向量 - 2 - 1.判断正误 (在括号内打 “” 或 “”) (1)零向量与任意向量平行 .( ) (2)若 a b， b c，则 a c.( ) (3)向量 AB 与向量 CD 是共线向量，则 A， B， C， D 四点在一条直线上 .( ) (4)当两个非零向量 a， b 共线时，一定有 b a，反 之成立 .( ) (5)在 ABC 中， D 是 BC 中点，则 AD 12(AC AB ).( ) 2.给出下列命题： 零向量的长度为零，方向是任意的； 若 a， b 都是单位向量，则 a b；向量 AB 与 BA 相等 .则所有正确命题的序号是 ( )
4、A. B. C. D. 3.(2017 枣庄模拟 )设 D 为 ABC 所在平面内一点， AD 13AB 43AC ，若 BC DC ( R)，则 ( ) A.2 B.3 C. 2 D. 3 4.(2015 全国 卷 )设向量 a， b不平行，向量 a b与 a 2b平行，则实数 _. 5.(必修 4P92A12 改编 )已知 ABCD 的对角线 AC 和 BD 相交于 O，且 OA a， OB b，则 DC _，BC _(用 a， b 表示 ). 6.(2017 嘉兴七校联考 )设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， AD 12AB， BE 23BC，若 DE 1AB 2
5、AC ( 1， 2为实数 )，则 1 _， 2 _. 考点一 平面向量的概念 【例 1】 下列命题中，不正确的是 _(填序号 ). 若 |a| |b|，则 a b； 若 A， B， C， D 是不共线的四点，则 “ AB DC ” 是 “ 四边形 ABCD 为平行四边形 ” 的充要条件； 若 a b， b c，则 a c. 【训练 1】 下列命题中，正确的是 _(填序号 ). 有向线段就是向量，向 量就是有向线段； 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小 . 解析 不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也
6、不是向量； 不正确，若 a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； 理科数学 平面向量 - 3 - 正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小 . 答案 考点二 平面向量的线性运算 【例 2】 (2017 潍坊模拟 )在 ABC 中， P， Q 分别是 AB， BC 的三等分点，且 AP 13AB， BQ13BC.若 AB a， AC b，则 PQ ( ) A.13a 13b B. 13a 13b C.13a 13b D. 13a 13b 【训练 2】 (1)如图， 正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F
7、 是 BC 的一个靠近 B 点的三等分点，那么 EF 等于 ( ) A.12AB 13AD B.14AB 12AD C.13AB 12DA D.12AB 23AD 考点三 共线向量定理及其应用 【例 3】 设两个非零向量 a 与 b 不共线 . (1)若 AB a b， BC 2a 8b， CD 3(a b).求证： A， B， D 三点共线； (2)试确定实数 k，使 ka b 和 a kb 共线 . 【训练 3】已知向量 AB a 3b， BC 5a 3b， CD 3a 3b，则 ( ) A.A， B， C 三点共线 B.A， B， D 三点共线 C.A， C， D 三点共线 D.B， C
8、， D 三点共线 第 二部分 平面向量基本定理与 坐标表示 1.平面向量的基本定理 如果 e1， e2是同一平面内的两个 不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向量 a， 有且只有 一对实数 1， 2，使 a 1e1 2e2. 其中，不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底 . 2.平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 互相垂直 的向量，叫做把向量正交分解 . 3.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 理科数学 平面向量 - 4 - a b (x1 x2， y1 y2)， a b (x1
9、x2， y1 y2)， a (x 1， y 1)， |a| x21 y21. (2)向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标 . 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 AB (x2 x1， y2 y1)， |AB | （ x2 x1） 2（ y2 y1） 2. 4.平面向量共线的坐标表示 设 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a bx1y2 x2y1 0. 【基础练习】 1.(2017 东阳月考 )已知向量 a (2， 4)， b ( 1， 1)，则 2a b 等于 ( ) A.(5， 7) B.(5， 9) C.(3， 7) D.(3， 9
10、) 2.(2015 全国 卷 )已知点 A(0， 1)， B(3， 2)，向量 AC ( 4， 3)，则向量 BC ( ) A.( 7， 4) B.(7， 4) C.( 1， 4) D.(1， 4) 3.(2016 全国 卷 )已知向量 a (m， 4)， b (3， 2)，且 a b，则 m _. 4.(必修 4P101A3 改编 )已知 ABCD 的顶点 A( 1， 2)， B(3， 1)， C(5， 6)，则顶点 D 的坐标为 _. 考点一 平面向量基本定理及其应用 【例 1】 (2014 全国 卷 )设 D， E， F 分别为 ABC 的三边 BC， CA， AB 的中点，则 EB F
11、C ( ) A.AD B.12AD C.12BC D.BC 【训练 1】如图，已知 AB a， AC b， BD 3DC ，用 a， b 表示 AD ，则 AD _. 考点二 平面向量的坐标 运算 【例 2】 (1)已知向量 a (5， 2)， b ( 4， 3)， c (x， y)，若 3a 2b c 0，则 c ( ) A.( 23， 12) B.(23， 12) C.(7， 0) D.( 7， 0) 【训练 2】 (1)已知点 A( 1， 5)和向量 a (2， 3)，若 AB 3a，则点 B 的 坐标为 ( ) A.(7， 4) B.(7， 14) C.(5， 4) D.(5， 14)
12、 (2)(2015 江苏卷 )已知向量 a (2， 1)， b (1， 2).若 ma nb (9， 8)(m， n R)，则 m n 的值为 _. 考点三 平面向 量共线的坐标表示 【例 3】 (1)已知平面向量 a (1， 2)， b ( 2， m)，且 a b，则 2a 3b _. 理科数学 平面向量 - 5 - (2)(必修 4P101 练习 7 改编 )已知 A(2， 3)， B(4， 3)，点 P 在线段 AB 的延长线上，且 |AP| 32|BP|，则点 P 的坐标为 _. 【训练 3】 (1)(2017 浙江三市十二校联考 )已知点 A(1， 3)， B(4， 1)，则与 AB
13、 同方向的单位向量是 ( ) A. 35， 45 B. 45， 35 C. 35， 45 D. 45， 35 (2)若三点 A(1， 5)， B(a， 2)， C( 2， 1)共线，则实数 a 的值为 _. 第三部分 平面向量的数量积及其应用 1.平面向量数量 积的有关概念 (1)向量的夹角：已知两个非零向量 a 和 b，记 OA a， OB b，则 AOB (0 180)叫做向量 a 与 b 的夹角 . (2)数量积的定义：已知 两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ，则数量 |a|b|cos_ 叫做a 与 b 的数量积 (或内积 )，记作 a b，即 a b |a|b|cos_ ，规定零
14、向量与任一向量的数量积为 0，即 0 a 0. (3)数量积几何意义：数量积 a b等于 a的长度 |a|与 b在 a的方向上的投影 |b|cos 的乘积 . 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量 a (x1， y1)， b (x2， y2)， 为向量 a， b 的夹角 . (1)数量积 ： a b |a|b|cos x1x2 y1y2. (2)模： |a| a a x21 y21. (3)夹角： cos a b|a|b| x1x2 y1y2x21 y21 x22 y22. (4)两非零向量 a b 的充要条件： a b 0x1x2 y1y2 0. (5)|a b| a|b|(当且仅当
15、 a b 时等号成立 )|x1x2 y1y2| x21 y21 x22 y22. 3.平面向量数量积的运算律 ： (1)a b b a(交换律 ).(2) a b (a b) a( b)(结合律 ).(3)(a b) c a c b c(分配律 ). 【基础练习】 1.(2015 全国 卷 )向量 a (1， 1)， b ( 1， 2)，则 (2a b) a 等于 ( ) A. 1 B.0 C.1 D.2 2.(2017 湖州模拟 )已知向量 a， b，其中 |a| 3， |b| 2，且 (a b) a，则向量 a 和 b 的夹角是 _. 3.(2016 石家庄模拟 )已知平面向量 a， b
16、的夹角为 23 ， |a| 2， |b| 1，则 |a b| _. 5.(必修 4P104 例 1 改编 )已知 |a| 5， |b| 4， a 与 b 的夹角 120 ，则向量 b 在向量 a理科数学 平面向量 - 6 - 方向上的投影为 _. 6.(2017 瑞 安一中检测 )已知 a， b， c 是同一平面内的三个向量，其中 a (1， 2)， |b| 1，且 a b 与 a 2b 垂直，则向量 a b _； a 与 b 的夹角 的余弦值为 _. 【考点突破】 考点一 平面向量的数量积及在平面几何中的应用 （用已知表示未知） 【例 1】 (1)(2015 四川卷 )设四边形 ABCD 为
17、平行四边形， |AB | 6， |AD | 4，若点 M， N 满足 BM 3MC ， DN 2NC ，则 AM NM 等于 ( ) A.20 B. 15 C.9 D.6 (2)(2016 天津卷 )已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形，点 D， E 分别是边 AB， BC 的中点，连接 DE 并延长到点 F，使得 DE 2EF，则 AF BC 的值为 ( ) A. 58 B.18 C.14 D.118 【训练 1】 (1)(2017 义乌市调研 )在 Rt ABC 中， A 90 ， AB AC 2，点 D 为 AC 的中点，点 E 满足 BE 13BC ，则 AE BD _. (2)(
18、2017 宁波质检 )已有正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点，则 DE CB 的值为_； DE DC 的最大值为 _. 考 点二 平面向量的夹角与垂直 【例 2】 (1)(2016 全国 卷 )已知向量 a (1， m)， b (3， 2)，且 (a b) b，则 m ( ) A. 8 B. 6 C.6 D.8 (2)若向量 a (k， 3)， b (1， 4)， c (2， 1)，已知 2a 3b 与 c 的夹角为钝角，则 k 的取值范围是 _. 【训练 2】 (1)(2016 全国 卷 )已知向量 BA 12， 32 ， BC 32 ， 12 ，则 ABC ( ) A.30 B.45 C.60 D.120 (2)(2016 全国 卷 )设向量 a (m， 1)， b (1， 2)，且 |a b|2 |a|2 |b|2，则 m _. 考点三 平面向量的模及其应用 【例 3】 (2017 云南统一检测 )已知平面向量 a 与 b 的夹角等于 3 ，若 |a| 2， |b| 3，则|2a 3b| ( )
