1、 1 2012 高考 数学 （理科） 知识点总结 1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。 如：集合 ， ， ， 、 、A x y x B y y x C x y y x A B C | lg | lg ( , )| lg中元素各表示什么？ 2. 进行集合的交、并、补 运算时，不要忘记集合 本身和空集 的特殊情况。 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 如：集合 ，A x x x B x ax | |2 2 3 0 1 若 ，则实数 的值构成的集合为B A a （答： ， ， ） 1 0 133. 注意下列性质
2、： （ ）集合 ， ， 的所有子集的个数是 ；1 21 2a a a n n（ ）若 ， ；2 A B A B A A B B （ 3）德摩根定律： C C C C C CU U U U U UA B A B A B A B ，4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法） 如：已知关于 的不等式 的解集为 ，若 且 ，求实数x axx a M M M a 5 0 3 52的取值范围。 ），（259351055550353322aaaMaaM5. 可以判断真假的语句叫 做命题，逻辑连接词有 “或” ，“且” 和( ) ( ) “非” ( ). 若 为真，当且仅当 、 均为真p q p q
3、至少有一个为真、为真，当且仅当若 qpqp 若 为真，当且仅当 为假 p p 6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？ （互为逆否关系的命题是等价命题。） 原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。 7. 对映射的概念了解吗？映射 f： A B，是否注意到 A 中元素的任意性和 B 中与之对应元素的唯一性，哪几种对应能构成映射？ （一对一，多对一，允许 B中有元素无原象。） 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？ （定义域、对应法则、值域） 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ 例：函数 的定义域是yx xx43 2lg （答： ， ， ， ）0 2 2 3 3 4 1
4、0. 如何求复合函数的定义域？ 如：函数 的定义域是 ， ， ，则函数 的定f x a b b a F( x f x f x( ) ) ( ) ( ) 0义域是 _。 （答： ， ）a a 11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域了吗？ 如： ，求f x e x f xx 1 ( ). 令 ，则t x t 1 0 x t 2 1 f t e tt( ) 2 1 2 1 f x e x xx( ) 2 1 2 1 0 12. 反函数存在的条件是什么？ （一一对应函数） 求反函数的步骤掌握了吗？ （反解 x；互换 x、 y；注明定义域） 如：求函数 的反函数f x x xx
5、 x( ) 1 002 （答： ）f xx xx x 1 1 1 0( )13. 反函数的性质有哪些？ 互为反函数的图象关于直线 y x对称 ； 保存了原来函数的单调性、奇函数性； 设 的定义域为 ，值域为 ， ， ，则y f ( x ) A C a A b C f ( a ) = b f 1 ( )b a f f a f b a f f b f a b1 1 1( ) ( ) ( ) ( )， 14. 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负） 如何判断复合函数的单调性？ 2 （内层）（外层），则，（ )()()( xfyxuufy 当内、外层函数单调性 相同时 为增函数，否则 为
6、减函数。）f x f x ( ) ( ) 如：求 的单调区间y x x l o g 122 2（设 ，由 则u x x u x 2 2 0 0 2 且 ， ，如图：l o g 1221 1u u x 当 ， 时， ，又 ，x u u y ( l o g0 1 12当 ， 时， ，又 ，x u u y ) l o g1 2 12） 15. 如何利用导数判断函数的单调性？ 在区间 ， 内，若总有 则 为增函数。（在个别点 上导数等于a b f x f x ( ) ( ) 0 零，不影响函数的单调 性），反之也对，若 呢？f x ( ) 0 如：已知 ，函数 在 ， 上是单调增函数，则 的最大a f
7、 x x ax a 0 13( ) 值是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 f x x a x a x a ( ) 3 3 3 3 02 则 或x a x a 3 3 由已知 在 ， 上为增函数，则 ，即f x a a( ) )13 1 3 a的最大值为 3） 16. 函数 f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （ f(x)定义域关于原点对称） 若 总成立 为奇函数 函数图象关于原点对称f x f x f x( ) ( ) ( ) 若 总成立 为偶函数 函数图象关于 轴对称f x f x f x y( ) ( ) ( ) 注意如下结论： （ 1）在公共定义域内：两个
8、奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。 （ ）若 是奇函数且定义域中有 原点，则 。2 f ( x ) f ( 0 ) 0 如：若 为奇函数，则实数f x a a axx( ) 2 22 1 （ 为奇函数， ，又 ，f x x R R f( ) ( ) 0 0 0 即 ， ）a a a2 22 1 0 100 又如： 为定义在 ， 上的奇函数，当 ， 时， ，f x x f x xx( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 124 1 求 在 ， 上的解析式。f x( ) 1 1 （令 ， ，则 ， ，x x f x xx 1 0 0 1 24 1
9、( ) 又 为奇函数，f x f x xxxx( ) ( ) 24 1 21 4 又 ，）f f xxxxxxxx( ) ( )( )0 024 11 0024 10 1 17. 你熟悉周期函数的定义吗？ （若存在实数 （ ），在定义域内总有 ，则 为周期T T f x T f x f x 0 ( ) ( ) 函数， T是一个周期。） 如：若 ，则f x a f x ( ) （答： 是周期函数， 为 的一个周期）f x T a f x( ) ( ) 2 又如：若 图象有两条对称轴 ，f x x a x b( ) 即 ，f a x f a x f b x f x( ) ( ) ( ) ( ) 则
10、 是周期函数， 为一个周期f x a b( ) 2 如： u O 1 2 x 3 18. 你掌握常用的图象变换了吗？ f x f x y( ) ( )与 的图象关于 轴 对称 f x f x x( ) ( )与 的图象关于 轴 对称 f x f x( ) ( )与 的图象关于 原点 对称 f x f x y x( ) ( )与 的图象关于 直线 对称 1 f x f a x x a( ) ( )与 的图象关于 直线 对称2 f x f a x a( ) ( ) ( )与 的图象关于 点 ， 对称 2 0 将 图象 左移 个单位右移 个单位y f x a aa a y f x ay f x a
11、( ) ( )( ) ( )( )00上移 个单位下移 个单位b bb by f x a by f x a b( )( )( )( ) 00注意如下“翻折”变换： f x f xf x f x( ) ( )( ) (| | ) 如： f x x( ) l o g 2 1 作出 及 的图象y x y x l o g l o g2 21 119. 你熟练掌 握常用函数的图象和性质了吗？ （ ）一次函数：1 0y kx b k （ ）反比例函数： 推广为 是中心 ，2 0 0y kx k y b kx a k O a b ( )的双曲线。 （ ）二次函数 图象为抛物线3 0 2 4 42 2 2y
12、ax bx c a a x b a ac ba 顶点坐标为 ， ，对称轴 baac ba xba244 22 开口方向： ，向上，函数a y ac ba 0 4 42m i na y ac ba 0 4 42，向下，m a x应用：“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系 二次方程 ax bx c x x y ax bx c x2 1 2 20 0 ， 时，两根 、 为二次函数 的图象与 轴 的两个交点，也是二次 不等式 解集的端点值。ax bx c2 0 0 ( ) 求闭区间 m， n上的最值。 求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。 一元二次方程根的分布问题。 如：二次方程
13、 的两根都大于ax bx c k bakf k2 0020 ( )y ( a 0 ) O k x 1 x 2 x y y = l og 2 x O 1 x ( k 0) y = b O (a,b ) O x x = a 4 一根大于 ，一根小于k k f k ( ) 0 又如：若 f(a+x)= -f(a-x), f(b+x)= f(b-x)， 则， f(x+2a-2b)=fa+(x+a-2b) (恒等变形） = -fa-(x+a-2b) f(a+x)=-f(a-x) = - f(-x+2b) (恒等变形） = -fb+(-x+b) (恒等变形） =-fb-(-x+b) f(b+x)=f(b-
14、x) =-f(x) 2a-2b 为半周期 （ ）指数函数： ，4 0 1y a a ax （ ）对数函数 ，5 0 1y x a aa l o g由图象记性质！ （注意底数的限定！） （ ）“对勾函数”6 0y x kx k 利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么？ 20. 你在基本运算上常出现错误吗？ 指数运算： ，a a aa ap p0 1 0 1 0 ( () )a a a aa amn mnmnmn ( (0 1 0) )， 对数运算： ，l o g l o g l o ga a aM N M N M N 0 0l o g l o g l o g l o g l o
15、ga a a a n aMN M N M n M ， 1对数恒等式： a xa xl o g 对数换底公式： l o g l o gl o g l o g l o ga cc an ab ba b nm bm 21. 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） 如：（ ） ， 满足 ，证明 为奇函数。1 x R f x f x y f x f y f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （先令 再令 ，）x y f y x 0 0 0( ) （ ） ， 满足 ，证明 是偶函数。2 x R f x f xy f x f y f x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) （先令 x y
16、 t f t t f t t ( )( ) ( ) f t f t f t f t( ) ( ) ( ( ) ）f t f t( ) ( （ ）证明单调性： 32 2 1 2f x f x x x( ) 22. 掌握求函数值域的常用方法了吗？ （二次函数法（配方法），反函数法，换元法，均值定理法，判别式法，利用函数单调性法，导数法等。） 如求下列函数的最值： （ ）1 2 3 13 4y x x （ ）2 2 43yxx（ ） ，3 3 232x y xx （ ） 设 ， ，4 4 9 3 02y x x x c o s （ ） ， ，5 4 9 0 1y x x x ( 23. 你记得弧度的
17、定义吗？能写出圆心角为，半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？ （ ， ）扇l l R S R R12 12 2 y y = ax( a 1) ( 0 1) 1 O 1 x ( 01 e= 1 0e 1 P y P ( x 0 ,y 0 ) K F 1 O F 2 x l y A P 2 O F x P 1 B 18 72. 有关中点弦问题可考虑用“代点法”。 如：椭圆 与直线 交于 、 两点，原点与 中点连mx ny y x M N MN2 2 1 1 线的斜率为 ，则 的值为22 mn 答案： mn 22 73. 如何求解“对称”问题？ （ 1）证明曲线 C： F（ x， y） 0 关于
18、点 M（ a， b）成中心对称，设 A（ x， y）为曲线 C上任意一点，设 A（ x， y）为 A关于点 M的对称点。 （由 ， ， ）a x x b y y x a x y b y 2 2 2 2 只要证明 ， 也在曲线 上，即A a x b y C f x y ( ) 2 2 （ ）点 、 关于直线 对称 中点在 上2 A A AAAA l l l k kAAAA 中点坐标满足 方程l l174 2 2 2. c o ss i n圆 的参数方程为 （ 为参数）x y r x ry r 椭圆 的参数方程为 （ 为参数）xa yb x ay b22 22 1 c o ss i n 75. 求轨迹方程的常用方法有哪些？注意讨论范围。 （直接法、定义法、转移法、参数法） 76. 对线性规划问题：作出可行域，作出以目标函数为截距的直线，在可行域内平移直线，求出目标函数的最值。
