1、高中数学常用公式 精华总结 1. 元素与集合的关系 Ux A x C A ,Ux C A x A . 2.德摩根公式 ( ) ; ( )U U U U U UC A B C A C B C A B C A C B. 3集合12 , , , na a a的子集个数共有 2n 个；真子集有 2n 1个；非空子集有 2n 1个；非空的真子集有 2n 2个 . 4.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 2( ) ( 0 )f x a x b x c a ; (2)顶点式 2( ) ( ) ( 0 )f x a x h k a ; (3)零点式12( ) ( ) ( ) ( 0 )f x a x x
2、 x x a . 5.方程 0)( xf 在 ),( 21 kk 上有且只有一个实根 ,与 0)()( 21 kfkf 不等价 ,前者是 后者的一个必要而不是充分条件 .特别地 , 方程 )0(02 acbxax 有且只有一个实根在 ),( 21 kk 内 ,等价于0)()( 21 kfkf ,或 0)( 1 kf 且 22 211 kkabk ,或 0)( 2 kf 且 221 22 kabkk . 6.闭区间上的二次函数的最值 二次函数 )0()( 2 acbxaxxf 在闭区间 qp, 上的最值只能在abx 2处及区间的两端点处取得，具体如下： （可画图解决问题） (1)当 a0时，若
3、qpabx ,2 ，则 m i n m a x m a x( ) ( ) , ( ) ( ) , ( )2bf x f f x f p f qa ； qpabx ,2 ， m a x m a x( ) ( ) , ( )f x f p f q ， m i n m i n( ) ( ) , ( )f x f p f q . (2)当 a0) )()( axfxf ，则 )(xf 的周期 T=a； 16.分数指数幂 (1) 1mnn ma a（ 0, ,a m n N ，且 1n ） . (2) 1mn mnaa （ 0, ,a m n N ，且 1n ） . 17根式的性质 （ 1） ()nn
4、aa . （ 2）当 n 为奇数时， n naa ； 当 n 为偶数时， ,0|,0n naaaaaa. 18有理指数幂的运算性质 (1) ( 0 , , )r s r sa a a a r s Q . (2) ( ) ( 0 , , )r s r sa a a r s Q . (3) ( ) ( 0 , 0 , )r r ra b a b a b r Q . 注： 若 a 0， p是一个无理数，则 ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用 . 19.指数式与对数式的互化式 lo g ba N b a N ( 0 , 1, 0 )a a N . 20.对数的换底公
5、式 lo glo g lo gma mNN a ( 0a ,且 1a , 0m ,且 1m , 0N ). 推论 lo g lo gm n aanbbm ( 0a ,且 1a , ,0mn ,且 1m , 1n , 0N ). 21对数的四则运算法则 若 a 0， a 1， M 0， N 0，则 (1) l o g ( ) l o g l o ga a aM N M N; (2) l o g l o g l o ga a aM MNN ; (3) l o g l o g ( )naaM n M n R. 22.数列的同项公式与前 n项的和的关系 11,1,2n nnsnas s n ( 数列
6、na的前 n 项的和为12nns a a a ). 23.等差数列的通项公式 *11( 1 ) ( )na a n d d n a d n N ； 其前 n项和公式为 1()2 nn n a as 1 ( 1)2nnn a d 2 1 1()22d n a d n . 24.等比数列的通项公式1*11 ()nnn aa a q q n Nq ； 其前 n项的和公式为 11(1 ) ,11,1nnaq qs qn a q 或 11,11,1nna a q qqsn a q . 25.同角三角函数的基本关系式 22s in c o s 1， tan =cossin， 27.正弦、余弦的诱导公式 ：
7、 奇变偶不变，符号看象 限。 28.和角与差角公式 s i n ( ) s i n c o s c o s s i n ; c o s ( ) c o s c o s s i n s i n ; t a n t a nt a n ( ) 1 t a n t a n . sin cosab = 22s in ( )ab (辅助角 所在象限由点 ( , )ab 的象限决定 ,tan ba ). 29.二倍角 公式 s in 2 s in c o s . 2 2 2 2c o s 2 c o s s i n 2 c o s 1 1 2 s i n . 22 ta nta n 2 1 ta n . 3
8、0.三角函数的周期公式 函数 sin ( )yx， x R及函数 co s( )yx， x R(A, , 为常数，且 A 0， 0)的周期 2T ； 函数 tan ( )yx， ,2x k k Z (A, , 为常数，且 A 0， 0)的周期 T . 31.正弦定理 2s i n s i n s i na b c RA B C . 32.余弦定理 2 2 2 2 c o sa b c b c A ; 2 2 2 2 c o sb c a c a B ; 2 2 2 2 c o sc a b a b C . 33.面积定理 （ 1） 1 1 12 2 2a b cS a h b h c h （a
9、 b ch h h、 、分别表示 a、 b、 c边上的高） . （ 2） 1 1 1s i n s i n s i n2 2 2S a b C b c A c a B . 34.三角形内角和定理 在 ABC中，有 ()A B C C A B sinC=sin(A+B),cosC=-cos(A+B),tanC=-tan(A+B) 35.实数与向量的积的运算律 设、为实数，那么 (1) 结合律： ( a)=( )a; (2)第一分配律： ( + )a= a+ a; (3)第二分配律： (a+b)= a+ b. 36.向量的数量积的运算律： (1) a b= b a （交换律） ; (2)（ a）
10、b= （ a b） = a b= a（ b） ; (3)（ a+b） c= a c +b c. 37.平面向量基本定理 如果 e1、 e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数 1、 2，使得 a= 1e1+ 2e2 不共线的向量 e1、 e2叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底 38向量平行的坐标表示 设 a=11( , )xy,b=22( , )xy，且 b 0，则 a b(b 0)1 2 2 1 0x y x y . 39. a与 b的 数量积 (或内积 ) a b=|a|b|cos 40. a b的几何意义 数量积 a b等于 a的长度 |a|
11、与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos的乘积 41.平面向量的坐标运算 (1)设 a=11( , )xy,b=22( , )xy，则 a+b=1 2 1 2( , )x x y y. (2)设 a=11( , )xy,b=22( , )xy，则 a-b=1 2 1 2( , )x x y y. (3)设 A11( , )xy， B22( , )xy,则2 1 2 1( , )A B O B O A x x y y . (4)设 a=( , ),x y R ，则 a=( , )xy . (5)设 a=11( , )xy,b=22( , )xy，则 a b=1 2 1 2()x x y y.
12、 42.两向量的夹角公式 1 2 1 22 2 2 21 1 2 2c o sx x y yx y x y (a=11( , )xy,b=22( , )xy). 43.平面两点间的距离公式 ,ABd=|A B A B A B 222 1 2 1( ) ( )x x y y (A 11( , )xy ， B 22( , )xy ). 44.向量的平行与垂直 设 a=11( , )xy,b=22( , )xy，且 b 0，则 A|b b= a 1 2 2 1 0x y x y . a b(a 0) a b=01 2 1 2 0x x y y . 45.三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别
13、为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则 ABC的重心的坐标是1 2 3 1 2 3( , )33x x x y y yG . 46. 三角形 四 “心”向量形式的充要条件 设 O 为 ABC 所在平面上一点，角 ,ABC 所对边长分别为 ,abc，则 （ 1） O 为 ABC 的外心 2 2 2O A O B O C . （ 2） O 为 ABC 的重心 0O A O B O C . （ 3） O 为 ABC 的垂心 O A O B O B O C O C O A . （ 4） O 为 ABC 的内心 0a O A b O B c O C . 47.常用不等式：
14、 （ 1） ,ab R 222a b ab (当且仅当 a b时取 “=” 号 ) （ 2） ,a b R 2ab ab (当且仅当 a b时取 “=” 号 ) （ 3） 3 3 3 3 ( 0 , 0 , 0 ) .a b c a b c a b c （ 4） bababa . 48.均 值定理 已知 yx, 都是正数，则有 （ 1）若积 xy 是定值 p ，则当 yx 时和 yx 有最小值 p2 ； （ 2）若和 yx 是定值 s ，则当 yx 时积 xy 有最大值 241s. 49.一元二次不等式 2 0 ( 0 )a x b x c 或 2( 0 , 4 0 )a b a c ，如果
15、a 与 2ax bx c同号，则其解集在两根之外；如果 a 与 2ax bx c异号，则其解集在两根之间 .简言之：同号两根之外，异号两根之间 . 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 0 ( )x x x x x x x x x ； 1 2 1 2 1 2, ( ) ( ) 0 ( )x x x x x x x x x x 或. 50.含有绝对值的不等式 当 a 0 时，有 22x a x a a x a . 22x a x a x a 或 xa . 51.指数不等式与对数不等式 (1)当 1a 时 , ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x ; ( ) 0l o
16、 g ( ) l o g ( ) ( ) 0( ) ( )aafxf x g x g xf x g x . (2)当 01a时 , ( ) ( ) ( ) ( )f x g xa a f x g x ; ( ) 0l o g ( ) l o g ( ) ( ) 0( ) ( )aafxf x g x g xf x g x 52斜率公式 2121yyk xx （ 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ） . 53.直线的五种方程 （ 1） 点斜式 11()y y k x x (直线 l 过点1 1 1( , )P x y，且斜率为 k ) （ 2） 斜截式 y kx
17、 b(b 为直线 l 在 y轴上的截距 ). （ 3） 两点式 112 1 2 1y y x xy y x x ( 12yy )( 1 1 1( , )P x y 、 2 2 2( , )P x y ( 12xx ). (4)截距式 1xyab(ab、 分别为直线的横、纵截距， 0ab、 ) （ 5） 一般式 0A x B y C (其中 A、 B不同时为 0). 54.两条直线的 平行和垂直 (1)若1 1 1:l y k x b，2 2 2:l y k x b1 2 1 2 1 2| ,l l k k b b ; 1 2 1 2 1l l k k . (2)若1 1 1 1:0l A x
18、B y C ,2 2 2 2:0l A x B y C ,且 A1、 A2、 B1、 B2都不为零 , 1 1 1122 2 2| ABCll ； 1 2 1 2 1 2 0l l A A B B ； 55四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点0 0 0( , )P x y的直线系方程为00()y y k x x (除直线0xx),其中 k 是待定的系数 ; 经过定点0 0 0( , )P x y的直线系方程为00( ) ( ) 0A x x B y y ,其中 ,AB是待定的系数 (2)共点直线系方程：经过两直线1 1 1 1:0l A x B y C ,2 2 2 2:0l A
19、 x B y C 的交点的直线系方程为1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y C (除2l)，其中是待定的系数 (3)平行直线系方程：直线 y kx b中当斜率 k一定而 b变动时，表示平行直线系方程与直线0A x B y C 平行的直线系方程是 0Ax By ( 0 )，是参变量 (4)垂直直线系方程：与直线 0A x B y C (A 0， B 0)垂直的直线系方程是 0Bx Ay ,是参变量 56.点到直线的距离 0022|A x B y CdAB(点00( , )P x y,直线 l ： 0A x B y C ). 57. 0A x B y C 或
20、0 所表示的 平面区域 设直线 :0l A x B y C ，则 0A x B y C 或 0 所表示的 平面区域 是： 若 0B ，当 B 与 Ax By C同号时，表示 直线 l 的上方的 区域 ；当 B 与 Ax By C异号时，表示 直线 l 的下方的 区域 .简言之 ,同号在上 ,异号在下 . 若 0B ，当 A 与 Ax By C同号时，表示 直线 l 的右方的 区域 ；当 A 与 Ax By C异号时，表示 直线 l 的左方的 区域 . 简言之 ,同号在右 ,异号在左 . 58. 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y C 或 0 所表示的 平
21、面区域 设曲 线1 1 1 2 2 2: ( ) ( ) 0C A x B y C A x B y C （1 2 1 2 0A A B B ），则 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y C 或 0 所表示的 平面区域 是： 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y C 所表示的 平面区域 上下两部分； 1 1 1 2 2 2( ) ( ) 0A x B y C A x B y C 所表示的 平面区域 上下两部分 . 59. 圆的 四种 方程 （ 1） 圆的标准方程 2 2 2( ) ( )x a y b r . （ 2）
22、圆的一般方程 22 0x y D x E y F ( 224D E F 0). 60.点与圆的位置关系 点00( , )P x y与圆 222 )()( rbyax 的位置关系有三种 若 2200( ) ( )d a x b y ，则 dr点 P 在圆外 ;dr点 P 在圆上 ;dr点 P 在圆内 . 61.直线与圆的位置关系 直线 0 CByAx 与圆 222 )()( rbyax 的位置关系有三种 : 0 相离rd ; 0 相切rd ; 0 相交rd . 其中22 BACBbAad . 62.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1， O2，半径分别为 r1， r2， dOO 21条
23、公切线外离 421 rrd ; 条公切线外切 321 rrd ; 条公切线相交 22121 rrdrr ; 条公切线内切 121 rrd ; 无公切线内含 210 rrd . 63.椭圆的标准方程及简单的几何性质 64 椭圆的 的内外部 （ 1）点00( , )P x y在 椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 的内部 22001xyab . （ 2）点00( , )P x y在 椭圆 22 1 ( 0 )xy abab 的外部 22001xyab . 65.双曲 线 的内外部 (1)点00( , )P x y在双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的内部 22001xyab
24、 . (2)点00( , )P x y在双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的外部 22001xyab . 66.双曲 线 的方程与 渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 12222 byax 渐近线方程： 220xyab xaby . (2)若 渐近线方程为 xaby 0 byax 双曲线可设为 2222byax. (3)若 双曲线与 12222 byax有公共渐近线， 可设为 2222byax（ 0 ，焦点在 x轴上，0 ，焦点在 y轴上） . 67. 抛物线 pxy 22 的 焦半径公式 抛物线 2 2 ( 0 )y p x p焦半径0 2pCF x. 过焦点弦长 px
25、xpxpxCD 2121 22. 68.抛物线 pxy 22 上的动点可设为 P ),2(2 ypy 或 或)2,2( 2 ptptP P( , )xy ，其中 2 2y px . 69.抛物线 的内外部 (1)点00( , )P x y在抛物线 2 2 ( 0 )y p x p的内部 2 2 ( 0 )y p x p . 点00( , )P x y在抛物线 2 2 ( 0 )y p x p的外部 2 2 ( 0 )y p x p . (2)点00( , )P x y在抛物线 2 2 ( 0 )y p x p 的内部 2 2 ( 0 )y p x p . 点00( , )P x y在抛物线 2
26、 2 ( 0 )y p x p 的外部 2 2 ( 0 )y p x p . (3)点00( , )P x y在抛物线 2 2 ( 0 )x p y p的内部 2 2 ( 0 )x p y p . 点00( , )P x y在抛物线 2 2 ( 0 )x p y p的外部 2 2 ( 0 )x p y p . (4) 点00( , )P x y在抛物线 2 2 ( 0 )x p y p的内部 2 2 ( 0 )x p y p . 点00( , )P x y在抛物线 2 2 ( 0 )x p y p 的外部 2 2 ( 0 )x p y p . 70.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 221 2 1
27、 2( ) ( )A B x x y y 或AB=212212111 yykxxk （弦端点 A ),(),( 2211 yxByx ，由方程0)y,x(Fbkxy 消去 y得到 02 cbxax ， 0 , 为直线 AB 的倾斜角， k 为直线的斜率） . 71 证明直线与直线的平行的思考途径 （ 1）转化为判定共面二直线无交点； （ 2）转化为二直线同与第三条直线平行； （ 3）转化为线面 平行； （ 4）转化为线面垂直； （ 5）转化为面面平行 . 72证明直线与平面的平行的思考途径 （ 1）转化为直线与平面无公共点； （ 2）转化为线线平行； （ 3）转化为面面平行 . 73证明平面与
28、平面平行的思考途径 （ 1）转化为判定二平面无公共点； （ 2）转化为线面平行； （ 3）转化为线面垂直 . 74证明直线与直线的垂直的思考途径 （ 1）转化为相交垂直； （ 2）转化为线面垂直； （ 3）转化为线与另一线的射影垂直； （ 4）转化为线与形成射影的斜线垂直 . 113证明直线与平面垂直的思考途径 （ 1）转化为该直线与 平面内任一直线垂直； （ 2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （ 3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （ 4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （ 5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直 . 75证明平面与平面的垂直的思考途径 （ 1）转化为判断二
29、面角是直二面角； （ 2）转化为线面垂直 . 76.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律： a b=b a (2)加法结合律： (a b) c=a (b c) (3)数乘分配律： (a b)= a b 77.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、 b(b 0 )， a b 存在实数使 a= b P A B、 、 三点共线 |AP AB AP tAB (1 )O P t O A t O B . |AB CD AB 、 CD 共线且 AB CD、 不共线 AB tCD 且 AB CD、 不共线 . 78.球的半径是 R，则 其体积 343VR, 其表面积 24SR 79柱体、锥体
30、的体积 13V Sh柱 体（ S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高） . 13V Sh锥 体（ S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高） . 80.互斥 事件 A， B分别发生的概率的和 P(A B)=P(A) P(B) 81.n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 82.独立事件 A， B同时发生的概率 P(A B)= P(A) P(B). 83.n个独立事件同时发生的概率 P(A1 A2 An)=P(A1) P(A2) P(An) 84.回归直线方程 y a bx ，其中 112 2211nni i i iiinniiiix x y y
31、x y n x ybx x x n xa y b x . 85.相关系数 r |r| 1，且 |r|越接近于 1，相关程度越大； |r|越接近于 0，相关程度越小 . 86. 函数 )(xfy 在点0x处的导数的几何意义 函数 )(xfy 在点0x处的导数是曲线 )(xfy 在 )(,(00 xfxP处的切线的斜率 )(0xf，相应的切线方程是 )(000 xxxfyy . 87.几种常见函数的导数 (1) 0C （ C为常数） . (2) 1( ) ( )nnx n x n Q. (3) xx cos)(sin . (4) xx sin)(cos . (5) xx 1)(ln ； eax x
32、a log1)(log . (6) xx ee )( ; aaa xx ln)( . 88.导数的运算法则 （ 1） ()u v u v . （ 2） ()uv u v uv. （ 3） 2( ) ( 0 )u u v u v vvv. 89.判别 )(0xf是极大（小）值的方法 当函数 )(xf 在点0x处连续时， （ 1）如果在0x附近的左侧 0)( xf ，右侧 0)( xf ，则 )(0xf是极大值； （ 2）如果在0x附近的左侧 0)( xf ，右侧 0)( xf ，则 )(0xf是极小值 . 90.复数的相等 ,a b i c d i a c b d .（ , , ,a b c d R ） 91.复数 z a bi 的模（或绝对值） |z =|a bi = 22ab . 92.复数的四则运算法则 (1) ( ) ( ) ( ) ( )a b i c d i a c b d i ; (2) ( ) ( ) ( ) ( )a b i c d i a c b d i ; (3) ( ) ( ) ( ) ( )a b i c d i a c b d b c a d i ; (4)2 2 2 2( ) ( ) ( 0 )a c b d b c a da b i c d i i c d ic d c d .
