1、 1 / 8 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。 一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1已知集合 | 1 0A x x ， 0 1 2B ， ， ，则 AB A 0 B 1 C 12， D 0 1 2， ， 2 1 i 2
2、i A 3i B 3i C 3i D 3i 3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 4若 1sin3，则 cos2 A 89B 79C 79D 895若某群体中的成员只用现金支付的概率为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为 A 0.3 B 0.4 C 0.6 D 0.7 6函数 2tan1 tanxfx x 的最小正周期为 A 4B 2C D 2 7下列函数中，其图像与函数 lnyx 的图像关于直
3、线 1x 对称的是 A ln 1yx B ln 2yx C ln 1yx D ln 2yx 8直线 20xy 分别与 x 轴， y 轴交于 A ， B 两点，点 P 在圆 2 222xy 上，则 ABP 面积的取值范围是 A 26， B 48， C 2 3 2， D 2 2 3 2， 2 / 8 9函数 422y x x 的图像大致为 10已知双曲线 221xyCab：（ 00ab， ）的离心率为 2 ，则点 40， 到 C 的渐近线的距离为 A 2 B 2 C 322D 22 11 ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c 若 ABC 的面积为 2 2 24a b
4、 c，则 C A 2B 3C 4D 612设 A ， B ， C ， D 是同一个半径为 4的球的球面上四点， ABC 为等边三角形且其面积为 93，则三棱锥 D ABC 体积的最大值为 A 123 B 183 C 243 D 543 二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。 13 已知向量 =1,2a ， = 2, 2b ， =1,c 若 2c a+b ，则 _ 14某公司有大量客户，且不同龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是 _ 15若变量 xy， 满足约束条件 2
5、 3 02 4 02 0.xyxyx ， ，则 13z x y的最大值是 _ 16已知函数 2ln 1 1f x x x ， 4fa ，则 fa_ 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、 23为选考题。考生根据要求作答。 17（ 12分） 等比数列 na 中， 1 5 314a a a， （ 1）求 na 的通项公式； （ 2）记 nS 为 na 的前 n 项和若 63mS ，求 m 3 / 8 18（ 12分） 某工厂为 提高 生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式 为比较
6、两种生产方式的效率，选取 40名工人，将他们随机分成两组，每组 20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位： min）绘制了如下茎叶图： （ 1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由； （ 2）求 40名工人 完成 生产任务所需时间的中位数 m ，并将完成生产任务所需时间超过 m 和不超过 m 的工人数填入下 面的列联表： 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 第二种生产方式 （ 3）根据（ 2）中的列表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？ 附： 22 n a d b cKa b c d a c b d ， 2
7、 0 .0 5 0 0 .0 1 0 0 .0 0 13 .8 4 1 6 .6 3 5 1 0 .8 2 8P K kk 19（ 12分） 如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 CD所在平面垂直， M 是 CD上异于 C ， D 的点 （ 1）证明： 平面 AMD 平面 BMC ； （ 2）在线段 AM 上 是否 存在点 P ， 使得 MC 平面 PBD ？说明理由 4 / 8 20（ 12分） 已知斜率为 k 的 直线 l 与椭圆 22143xyC ：交于 A ， B 两点线段 AB 的中点为 10M m m ， （ 1）证明： 12k； （ 2）设 F 为 C 的右 焦点 ， P 为
8、C 上一点 ,且 0FP FA FB 证明 ： 2 FP FA FB 21（ 12分） 已知函数 2 1exax xfx （ 1）求由线 y f x 在点 01， 处的切线方程； （ 2）证明：当 1a 时， e0fx （二）选考题：共 10分。请考生在第 22、 23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 22 选修 4 4：坐标系与参数方程 （ 10分） 在平面直角坐标系 xOy 中， O 的参数方程为 cossinxy ，（ 为参数），过点 02， 且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 AB， 两点 （ 1）求 的 取值 范围； （ 2）求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程
9、23 选修 4 5：不等式选讲 （ 10分） 设函数 2 1 1f x x x （ 1）画出 y f x 的图像； （ 2）当 0x ， ， f x ax b ，求 ab 的最小值 5 / 8 绝密 启用前 2018年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题参考答案 一、选择题 1 C 2 D 3 A 4 B 5 B 6 C 7 B 8 A 9 D 10 D 11 C 12 B 二、填空题 13 1214分层抽样 15 3 16 2 三、解答题 17 解： （ 1）设 na 的公比为 q ，由题设得 1nnaq 由已知得 424qq ，解得 0q （舍去）， 2q 或 2q 故 1( 2)n
10、na 或 12nna （ 2）若 1( 2)nna ，则 1 ( 2)3 nnS 由 63mS 得 ( 2) 188m ，此方程没有正整数解 若 12nna ，则 21nnS 由 63mS 得 2 64m ，解得 6m 综上， 6m 18 解： （ 1）第二种生产方式的效率更高理由如下： （ i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至少 80分钟，用第二种生产方式的工人中，有 75%的工人完成生产任务所需时间至多 79分钟因此第二种生产方式的效率更高 （ ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 85.5分钟，用第二种生产
11、方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为 73.5分钟因此第二种生产方式的效率更高 （ iii）由茎叶图 可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于 80 分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于 80分钟，因此第二种生产方式的效率更高 （ iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 8上的最多，关于茎 8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎 7上的最多， 关于茎 7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为6 / 8 用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一
12、种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二 种生产方式的效率更高 以上给出了 4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分 （ 2）由茎叶图知 79 81 802m 列联表如下： 超过 m 不超过 m 第一种生产方式 15 5 第二种生产方式 5 15 （ 3） 由于 22 4 0 (1 5 1 5 5 5 ) 1 0 6 . 6 3 52 0 2 0 2 0 2 0K ，所以有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异 19 解： （ 1）由题设知，平面 CMD 平面 ABCD，交线为 CD 因为 BC CD， BC 平面 ABCD，所以 BC 平面 CMD，故 BC DM 因为
13、 M为 CD上异于 C， D的点，且 DC为直径，所以 DM CM 又 BCCM=C，所以 DM 平面 BMC 而 DM 平面 AMD，故平面 AMD 平面 BMC （ 2）当 P为 AM的中点时， MC 平面 PBD 证明如下：连结 AC交 BD于 O因为 ABCD为矩形，所以 O为 AC中点 连结 OP，因为 P为 AM 中点，所以 MC OP MC 平面 PBD， OP 平面 PBD，所以 MC 平面 PBD 20 解： （ 1）设 11()Ax y， ， 22()Bx y， ，则 2211143xy， 22143xy 两式相减，并由 1212=yykxx 得 1 2 1 2 043x
14、x y y k 由题设知 1212xx ， 122yym ，于是 34k m 由题设得 302m，故 12k （ 2）由题意得 F（ 1， 0）设 33()Px y， ，则 3 3 1 1 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 0 0 )x y x y x y ， ， ， ， 7 / 8 由（ 1）及 题设得 3 1 23 ( ) 1x x x ， 3 1 2( ) 2 0y y y m 又点 P在 C上，所以 34m，从而 3(1 )2P ， 3| |=2FP 于是 22 2 2 111 1 1| | ( 1 ) ( 1 ) 3 ( 1 ) 242xxF A x y x 同理 2|
15、|=22xFB 所以1214 ( ) 32F A F B x x 故 2| |=| |+| |FP FA FB 21 解： （ 1） 2 ( 2 1) 2()e xax a xfx ， (0) 2f 因此曲线 ()y f x 在点 (0, 1) 处的切线方程是 2 1 0xy （ 2）当 1a 时， 21( ) e ( 1 e ) exxf x x x 令 21( ) 1 e xg x x x ，则 1( ) 2 1 exg x x 当 1x 时， ( ) 0gx ， ()gx单调递减；当 1x 时， ( ) 0gx ， ()gx单调递增； 所以 ()gx ( 1)=0g 因此 ( ) e 0
16、fx 22 解： （ 1） O 的直角坐标方程为 221xy 当 2 时， l 与 O 交于两点 当 2 时，记 tan k ，则 l 的方程为 2y kx l 与 O 交于两点当且仅当22| | 11 k ，解得 1k 或 1k ，即 ( , )42 或 ( , )24 综上 ， 的取值范围是 ( , )44 （ 2） l 的参数方程为 cos , (2 sinxt tyt 为参数， 44 ) 设 A ， B ， P 对应的参数分别为 At ， Bt ， Pt ，则 2ABP ttt ，且 At ， Bt 满足 2 2 2 sin 1 0tt 于是 2 2 sinABtt ， 2sinPt 又点 P 的 坐标 (, )xy 满足 cos ,2 sin .P Pxtyt 8 / 8 所以点 P 的轨迹的参数方程是2 sin 2 ,222co s 222xy ( 为参数， 44 ) 23 解： （ 1）13 , ,21( ) 2 , 1,23 , 1.xxf x x xxx ()y f x 的图像如图所示 （ 2）由（ 1）知， ()y f x 的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2 ，且各部分所在直线斜率的最大值为 3 ，故当且仅当 3a 且 2b 时， ()f x ax b在 0, ) 成立，因此 ab 的最小值为 5
