1、 2018 年北京市朝阳区高三一模 数学（理） 考试解析 第 I 卷 （选择题 爱 共 40 分） 一、选择题 :本大题共 8 小题 ,每小题 5 分 ,共 40 分 .在每小题列出的四个选项中 ,选出符合题目要求的一项 . 1. 已知全集为实数集 R ,集合 2 | 3 0 , | 2 1 xA x x x B x , 则 ()ABR （ A） ( , 0 3, ) （ B） (0,1 （ C） 3, ) （ D） 1, ) 【答案】 C 【解析】本题考查 集合的运算 . 集合 2 | 3 0 | ( 3 ) 0 | 0 3 A x x x x x x x x , 集合 0 | 2 1 |
2、2 2 | 0 xxB x x x x . 所以 | 0A x xR 或 3x , 所以 ( ) | 3A B x xR ,故选 C . 2. 复数 z 满足 (1 i) iz,则在复平面内复数 z 所对应的点位于 （ A） 第一象限 （ B） 第二象限 （ C） 第三象限 （ D） 第四象限 【答案】 A 【解析】本题考查 复数的运算与坐标表示 . 由 (1 i) iz得 i i (1 i ) 1 i1 i (1 i ) (1 i ) 2z ,在复平面内对应的点为11( , )22 ,在第一象限 ,故选 A . 3. 直线 l 的参数方程为 3,13xtyt (t 为参数 ),则 l 的倾斜
3、角大小为 （ A） 6 （ B） 3 （ C） 23 （ D） 56 【答案】 C 【解析】 本题考查 直线的参数方程及倾斜角 . 由 3,1 3 ,xtyt 可以得到直线的 方程 为 13yx . 所以直线的斜率为 3 ,倾斜角为 23 ,故选 C . 4. 已知 ,ab为非零向量 ,则“ 0ab ”是“ a 与 b 夹角为锐角”的 （ A） 充分而不必要条件 （ B） 必要而不充分条件 （ C） 充分必要条件 （ D） 既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】本题考查 平面向量数量积与夹角的关系 . ,ab为非零向量 0 c os , 0 , 0 , )2 a b a b a b ,a
4、b夹角为锐角 , (0, )2ab (0, ) 0, )22 故选 B . 5. 某单位安排甲、乙、丙、丁 4 名工作人员从周一到周五值班 ,每天有且只有 1人值班 ,每人至少安排一天且甲连续两天值班 ,则不同的安排方法种数为 （ A） 18 （ B） 24 （ C） 48 （ D） 96 【答案】 B 【解析】本题考查 排列组合 . 甲连续 2 天上班 ,共有（周一，周二） ,（周二 ,周三） ,（周三 ,周四） , （周四 ,周五）四种情况 ,剩下三个人进行全排列 ,有 33 6A 种排法 因此共有 4 6 24 种排法 ,故选 B . 6. 某四棱锥的三视图如图所示 ,则该四棱锥的体积等
5、于 （ A） 34 （ B） 23 （ C） 12 （ D） 13 【答案】 D 【解析】本题考查三视图还原 和 锥体体积 的 计算 抠点法 :在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中抠 点 , 1.由正视图可知 : 11CD上没有 点 ; 2.由侧视图可知 : 11BC 上没有点 ; 3.由俯视图可知 : 1CC 上没有点 ; 4.由正 （俯） 视图可知 : ,DE处有点 ,由虚线 可 知 ,BF处 有点 ,A 点排除 . 由上述可还原出四棱锥 1A BEDF ,如右图所示 , 1 1 1BEDFS 四 边 形 , 1 111133A B E D FV . 故选 D . 7. 庙
6、会是我国古老的传统民俗文化活动 ,又称 “庙市 ”或 “节场 ”.庙会大多在春节 、元宵节等节日举行 .庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动 ,如 “砸金蛋 ”（游玩者每次砸碎一颗金蛋 ,如 果 有奖品 ,则 “中奖 ”） .今年春节期间 ,某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会 ,每人均获得砸一颗金蛋的机会 .游戏开始前 ,甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测 ,预测结果如下 : 甲说 :“我或乙能中奖 ”; 乙说 :“丁能中奖 ”; 丙说 :“我或乙能中奖 ”; 丁说 :“甲不能中奖 ”. 游戏结束后 ,这四位同学 中 只有一位同学中奖 ,且只有一位同学的预测结果是正确的 ,则中奖的
7、同学是 （ A）甲 （ B）乙 （ C）丙 （ D）丁 【答案】 A 【解析】本题考查 学生的逻辑推理能力 . 由四人的预测可得下表 : 中奖人 预测结果 甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁 1. 若甲 中奖 ,仅有甲预测正确 ,符合题意 2. 若 乙中奖 ,甲、丙、丁预测正确 ,不符合题意 3. 若 丙中奖 ,丙、丁预测正确 ,不符合题意 4. 若 丁中奖 ,乙、丁预测正确 ,不符合题意 故只有当甲中奖时 ,仅有 甲 一人 预测正确 .选 A 8. 在平面直角坐标系 xOy 中 ,已知点 ( 3,0)A , (1,2)B ,动点 P 满足 OPOA OB ,其中 , 0 ,1 , 1 , 2 ,
8、则所有点 P 构成的图形面积为 （ A） 1 （ B） 2 （ C） 3 （ D） 23 【答案】 C 【解析】本题考查 向量坐标运算 ,线性规划 . 设 ( , )Pxy ,则 ( 3 , 2 ) ( , )O P O A O B x y 32xy 23 ()32yyx 01230 ( ) 13231 ( ) 22 3 2yyxyyx 020 2 2 32 3 2 ( 3 1 ) 4 3yxyxy 所有点 P 构成图形如图所示（阴影部分） 1 3 2 32S 故选 C 第 卷 （非选择题 爱 共 110 分） 二、填空题 :本大题共 6 小题 ,每小题 5 分 ,共 30 分 . 9. 执行
9、如图所示的程序框图 ,若输入 5,m 则输出 k的值为 _. 【答案】 4 【解析】本题考查 程序框图 . m k 初始 5 0 第一次 9 1 第二次 17 2 第三次 33 3 第四次 65 4 第四次时 ,65 50 ,所以 输出 4k 10. 若三个点 ( 2 ,1), ( 2 , 3 ), ( 2 , 1) 中 恰 有 两 个 点 在 双 曲 线2 22: 1( 0)xC y aa 上 ,则双曲线 C 的渐近线方程为 _ . 【答案】 22yx 【解析】本题考查 双曲线图象与渐近线方程 . 由于 双曲线关于原点对称 ,故 ( 2,1),(2, 1)在双曲线上 ,代入 方程解 得2a
10、,又因为 1b ,所以 渐近线 方程为 22yx 11.函数 ( ) s in ( )f x A x ( 0 , 0 , )2A 的部分图象如图所示 ,则 _; 函数 ()fx在区间 ,3 上的零点为 _. 【答案】 72, 12 【解析】本题考查 三角函数图象与性质 由图得 ()3 6 2 2T ,即 最小正周期 T 又因为 2|T ,且 0 ,解得 2 由图得 3x 时 , 2 2 ()32kk Z 又因为 |2 ,所以 6 ()fx的零点即 ( ) 2 sin( 2 )6f x x的图象 与 x 轴交点 的横坐标 则 2 ,6x k k Z,解得 ,12 2kxk Z 因为 ,3x ,得
11、到 712x 所以零点为 712 12.已知点 ( 2, 0), (0, 2),AB 若点 M 是圆 22 2 2 0x y x y 上的动点 ,则 ABM! 面积的最小值为 _ . 【答案】 2 【解析】本题考查 直线与圆位置关系 . 将圆 22: 2 2 0M x y x y 化简成标准方程 22( 1) ( 1) 2xy 圆心 (1, 1) ,半径 2r 因为 ( 2,0), (0, 2)AB ,所以 | | 2 2AB 要求 ABM! 面积最小值 ,即要使圆上的动点M 到直线 AB 的距离 d 最小 而圆心 (1, 1) 到直线 AB 的距离为 22 所以 m in 2 2 2 2 2
12、 2dr 所以 ABMS! 的最小值为m i n11| | 2 2 2 222AB d 13.等比数列 na 满足如下条件 : 1 0;a 数列 na 的前 n 项和 1nS .试写出满足上述所有条件的一个数列的通项公式 _. 【答案】 *1 ()2n nanN（答案不唯一） 【解析】本题考查 等比数列通项公式和前 n 项和 . 例 : 111( 1 )1 1 1220 , , 1 112 2 212nn na q S ,则 1n na 121( 1 )2 1 1330 , , 1 113 3 313nn na q S ,则 12 1 2()3 3 3nn na 131( 1 )3 1 144
13、0 , , 1 114 4 414nn na q S ,则 13 1 3()4 4 4nn na 14.已知 ,aR 函数211( 1 ) , 0() si n2 ,022xxx a xxfxx 当 0x 时 ,函数 ()fx 的最大值是 _; 若函数 ()fx的图象上有且只有两对点关于 y 轴对称 ,则 a 的取值范围是 _. 【答案】 11,( 1, )22 【解析】本题考查 函数综合应用 . (1) 当 0x 时 , 11sin2() 22xxxfx 令 1 1 11 11( ) 2 2 2 22x x x xfx ,当 1112 2x x ,即 1x 时取等号 即当 1x 时 , 1
14、min( ) 2fx 令2 ( ) si n 1,1 2xfx 又因为2 2 m a x(1 ) si n 1 ( )2f f x 则 1 m a xm a x 2 m in( ) 1() ( ) 2fxfx fx(2) ()fx图象仅有两对点关于 y 轴对称 即 ( )( 0)f x x 的图象关于 y 轴对称的函数图象与 ( )( 0)f x x 仅有两 个交点 当 0x 时 , 2( ) ( 1)f x x a .设其关于 y 轴对称的函数为 ()gx 2( ) ( ) ( 1 ) ( 0)g x f x x a x 11sin2( ) ( 0 )22xxxf x x 由（ 1） 可知
15、近似 图象如图所示 当 ()gx与 ()fx仅有两个交点时 , 11 2a 综上 ,a 的取值范围是 1( 1, )2 三、解答题（共 6 小题 ,共 80 分 ,解答应写出文字说明 ,演算步骤或证明过程） 15.（本小题满分 13 分） 在 ABC! 中 ,已知 5sin 5A , 2 cosb a A . （） 若 5ac ,求 ABC! 的 面积 ; （） 若 B 为锐角 ,求 sinC 的值 . 【解析】 （ ）由正弦定理得 sinsinaAbB ,因为 2 cosb a A , 所以 sin 2 sin co sB A A ,cos = 02bA a , 因为 5sin 5A ,所以
16、 25cos 5A , 所以 5 2 5 4sin 2 5 5 5B , 所以 1 1 4sin 5 22 2 5ABCS ac B !. （ ）由（ ）知 4sin 5B ,因为 B 为锐角 ,所以 3cos 5B . 所以 s i n = s i n ( ) s i n ( )C A B A B s i n c o s c o s s i nA B A B 5 3 2 5 45 5 5 5 11 5= 25 16.（本小题满分 14 分） 如图 1 ,在矩形 ABCD 中 , 2, 4AB BC,E 为 AD 的中点 ,O 为 BE的中点 .将 ABE! 沿 BE 折起到 ABE ,使得平
17、面 ABE 平面 BCDE （如图 2 ） . （） 求证 : AO CD ; （） 求直线 AC 与平面 ADE 所成角的正弦值 ; （） 在线段 AC 上是否存在点 P ,使得 /OP 平面 ADE ?若存在 ,求出APAC 的值 ;若不存在 ,请说明理由 . 【解析】 （ ） 如图 ,在矩形 ABCD 中 , 2, 4AB BC,E 为 AD 中点 , 2AB AE , O 为 BE 的中点 , AO BE 由题意可知 ,AO BE , 平面 ABE 平面 BCDE 平面 ABE 平面 BCDE BE ,AO 平面 ABE AO平面 BCDE CD 平面 BCDE , AO CD （ ）
18、 取 BC 中点为 F ,连结 OF 由矩形 ABCD 性质 , 2, 4AB BC,可知 OF BE 由 （ ） 可知 , ,A O B E A O O F 以 O 为原点 ,OA 为 z 轴 ,OF 为 x 轴 ,OE 为 y 轴建立坐标系 在 Rt BAE! 中 ,由 2, 2AB AE,则 2 2 , 2BE O A, 所以 ( 0 , 0 , 2 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) ,A E F ( 0 , 2 , 0 ) , ( 2 2 , 2 , 0 ) , ( 2 , 2 2 , 0 ) ,B C D ( 2 2 , 2 , 2 )AC , (
19、, 2 , 0)ED , (0 , 2 , 2 )AE 设平面 ADE 的 一个法向量为 ( , , )m x y z 则 00m AEm ED , 2 2 02 2 0yzxy 令 1yz,则 1x 所以 ( 1,1,1)m 设 直线 AC 与平面 ADE 所成角为 2si n c os ,3A C mA C mA C m 所以直线 AC 与平面 ADE 所成角的正弦值为 23 . （ ） 假设在线段 AC 上存在点 P ,满足 /OP 平面 ADE 设 ( 0 1 )A P A C 由 ( 2 2 , 2 , 2 )AC ,所以 ( 2 2 , 2 , 2 )AP ( 2 2 , 2 ,
20、2 2 )P , ( 2 2 , 2 , 2 2 )OP 若 /OP 平面 ADE ,则 0m OP 所以 2 2 2 2 2 0 ,解得 1 0,12 所以 12APAC . 17.（本小题满分 13 分） 某地区高考实行新方案 ,规定 :语文、数学 和 英语是考生的必考科目 ,考生还须从 物理 、化学、生物、历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目 ,若一名学生从六个科目中选出了三个科目作为选考科目 ,则称该学生的 选考 方案确定 ;否则 ,称该学生选考方案待确定 .例如 ,学生甲选择 “物理、化学和生物 ”三个选考科目 ,则学生甲的选考方案确定 ,“物理、化学和生物 ”为其选考
21、方案 . 某 学 校 为了了解高一年级 420 名学生选考科目的意向 ,随机选取30 名学生进行了一次调查 ,统计选考科目人数如下表 : 性别 选 考 方案确定情况 物理 化学 生物 历史 地理 政治 男生 选 考 方案确定的有 8 人 8 8 4 2 1 1 选 考 方案待确定的有 6 人 4 3 0 1 0 0 女生 选 考 方案确定的有 10 人 8 9 6 3 3 1 选 考 方案待确定的有 6 人 5 4 1 0 0 1 （） 估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考生物的学生有多少人？ （） 假设男生、女生选择选考科目是相互独立的 .从选考方案确定的 8 位男生随机选出 1 人
22、,从选考方案确定的 10 位女生中随机选出 1 人 ,试求该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概率 ; （） 从选考方案确定的 8 名男生随机选出 2 名 ,设随机变量1 , 22 , 2 名 男 生 选 考 方 案 相 同 ,名 男 生 选 考 方 案 不 同 ,求 的分布列及数学期望 E . 【解析】 （ ） 设该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为 ,x 8 1 0 6 4 3 54 2 0 4 2 0 1 4 08 6 1 0 6 8 1 0 5 9x （人） 所以该学校选考方案确定的学生中选考生物的学生为 140 人 . （ ） 该男生和该女生的选考方案中都含有历史科目的概
23、率为 11231110 8340CCCC （ ）由题意知 的所有可能取值为 1,2 2242286 1 1(,28 4CCP C 1 )= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 14 2 4 1 4 1 2 1 2 1 1 128(28 4 4 2 2 1 32 8 4C C C C C C C C C C C CPC )所以 的分布列为 1 2 P 14 34 期望 为 1 3 7( ) 1 24 4 4E . 18.（本小题满分 13 分） 已知函数 ln 1() xf x axx. （） 当 2a 时 ,（ i）求曲线 ()y f x 在点 (1, (1)f 处的切线方程 ; （
24、ii）求函数 ()fx的单调区间 ; （） 若 12a,求证 : ( ) 1fx . 【解析】 （）当 2a 时 , ln 1( ) 2xf x xx,定义域为 (0, ) 2222 l n 2 l n 2( ) 2 =x x xfx xx （ i） (1) 1 2 = 3f (1) 2 2=0f 所以切点坐标为 (1, 3) ,切线斜率为 0 所以切线方程为 3y （ ii）令 22 ln() 2xg xx , 1 4( 0)x xg x 所以 ()gx在 (0, ) 上单调递减 ,且 (1)=0g 所以当 (0,1)x 时 , ( ) 0gx 即 ( ) 0fx 所以当 (1,+ )x时
25、, ( ) 0gx 即 ( ) 0fx 综上所 述 , ()fx的单调递增区间是 (0,1) ,单调递减区间是 (1,+ ) . ( )方法一 : ( ) 1fx ,即 ln 1 1x axx 设 l n 1( ) 1 ( 0 )xh x a x xx 2222 l n l n 2() x ax xh x axx 设 2( ) ln 2x ax x 21 2 1( ) 2 0axx axxx 所以 ()x 在 (0, ) 小于零恒成立 即 ()hx 在 (0, ) 上单调递减 因为 12a 所以 (1) 2 0ha , 2( ) 0h e a 所以在 2(1, )e 上必存在一个 0x 使得
26、2000 20l n 2( ) = 0ax xhx x 即 200ln = 2x ax 所以当 0(0, )xx 时 , ( ) 0hx , ()hx 单调递增 当 0( ,+ )xx时 , ( ) 0hx , ()hx 单调递减 所以 0000l n 1( ) ( ) 1m a x xh x h x a xx 因为 200ln = 2x ax 所以 2000 021() ax xhx x 令 0( )=0hx 得0 1 1 84 ax a因为 12a,所以 1 1 8 04 aa ,1 1 8 14 aa 因为 20 (1, )xe ,所以 0( ) 0hx 恒成立 即 ( ) 0hx 恒成
27、立 综上所述 ,当 12a时 , ( ) 1fx 方法二 : ()fx定义域 (0, ) 为了证明 ( ) 1fx ,即 ln 1 1x axx 只需证明 2ln 1x ax x ,即 2ln 1x ax x 令 ( ) ln 1 ( 0 )m x x x x 则 1( ) 1mx x 令 ( ) 0mx ,得 01x 令 ( ) 0mx ,得 1x 所以 ()mx 在 (0,1) 上单调递增 ,在 (1, ) 上单调递减 所以 ( ) (1) 0m axm x m 即 ln 1 0xx ,则 ln 1xx 令 2( ) 2 2n x ax x 因为 12a,所以 =4 8 0a 所以 ( )
28、 0nx 恒成立 即 2 2 2 0ax x 所以 2 11ax x x 综上所 述 , 2ln 1x ax x 即当 12a时 , ( ) 1fx 19.（本小题满分 14 分） 已知椭圆 2222: 1 ( 0)xyC a bab 的离心率为 22 ,且过点 2(1, )2 . （）求椭圆 C 的方程 ; （） 过椭圆 C 的左焦点的直线 1l 与 椭圆 C 交于 ,AB两点 ,直线 2l 过坐标原点且与直线 1l 的斜率互为相反数 .若直线 2l 与椭圆交于,EF两点且均不与点 ,AB重合 ,设直线 AE 与 x 轴所成的锐角为 1 ,直线 BF 与 x 轴所成的锐角为 2 ,判断 1
29、与 2 的大小关系并加以证明 . 【解析】 （ ） 由题可得2222 2 2222()1 21caaba b c ,解得211abc . 所以 椭圆 C 的方程为 2 2 12x y. （ ）结论 : 12 ,理由如下 : 由题知直线 1l 斜率存在 , 设 1 1 1 2 2: ( 1 ) , ( , ) , ( , )l y k x A x y B x y . 联立22( 1)22y k xxy, 消去 y 得 2 2 2 2(1 2 ) 4 2 2 0k x k x k , 由题易知 0 恒成立 , 由韦达定理得 221 2 1 24 2 2,1 2 1 2kkx x x x , 因为
30、2l 与 1l 斜率相反 且过原点 , 设 2 :l y kx ,3 3 4 4( , ), ( , )E x y F x y, 联立2222y kxxy消去 y 得 22(1 2 ) 2 0kx , 由题易知 0 恒成立 , 由韦达定理得3 4 3 4 220, 12x x x x k , 因为 ,EF两点 不 与 ,AB重合 , 所以 直线 ,AEBF 存在斜率 ,AE BFkk, 则 1 3 2 41 3 2 4A E B Fy y y ykk x x x x 1 3 2 31 3 2 3( 1 ) ( 1 )k x k x k x k xx x x x 1 3 2 3 2 3 1 31
31、 3 2 3( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )( ) ( )x x x x x x x xk x x x x 21 2 3 1 21 3 2 322( ) ( )x x x x xk x x x x 222 2 21 3 2 32 ( 2 2 ) 2 2 41 2 1 2 1 2( ) ( )kkk k kk x x x x 0 所以 直线 ,AEBF 的倾斜角互补 , 所以 12 . 20.（本小题满分 13 分） 已知集合 1 2 8= , , , X x x x是集合 2 0 0 1 , 2 0 0 2 , 2 0 0 3 , , 2 0 1 6 ,S L2017 的一个含有 8 个
32、元素的子集 . （）当 2 0 0 1 , 2 0 0 2 , 2 0 0 5 , 2 0 0 7 , 2 0 1 1 , 2 0 1 3 , 2 0 1 6 , 2 0 1 7 X 时 , 设 , (1 , 8 ),ijx x X i j （ i）写出方程 2ijxx的解 ( , )ijxx ; （ ii）若方程 ( 0)ijx x k k 至少有三组不同的解 ,写出 k 的所有可能取值 . （）证明 :对任意一个 X ,存在正整数 ,k 使得方程 (1 ,ijx x k i 8)j 至少有三组不同的解 . 【解析】 （ ） （ i ）方程 2ijxx的解 有 : ( , ) ( 20 07
33、 , 20 05 ) , ( 20 13 , 20 11 )ijxx （ ii ） 以下规定两数的差均为正 ,则 : 列出集合 X 的从小到大 8 个数中相邻两数的差 :1,3,2,4,2,3,1; 中间隔一数的两数差（即上一列差数中相邻两数和） :4,5,6,6,5,4; 中间相隔二数的两数差 :6,9,8,9,6 ; 中间相隔三数的两数差 :10,11,11,10 ; 中间相隔四数的两数差 :12,14,12 ; 中间相隔五数的两数差 :15,15 ; 中间相隔六数的两数差 :16 . 这 28 个差数中 ,只有 4 出现 3 次 ,6 出现 4 次 ,其余都不超过 2 次 , 所以 k
34、的可能取值有 4,6 （） 证明 :不妨设 1 2 82 0 0 1 2 0 1 7x x x 记 1 ( 1 , 2 , , 7 )i i ia x x i , 1i i ib x x( 1,2, ,6)i ,共 13个 差 数 . 假设不存在满足条件的 k ,则这 13个数中至多两个 1、两个 2 、两个 3 、两个 4 、两个 5 、两个 6 ,从而 1 2 7 1 2 6( ) ( ) 2 ( 1 2 6 ) 7 4 9a a a b b b 1 2 7 1 2 6 8 1 8 7 2 18 1 7 2( ) ( ) ( ) ( )2( - ) ( )2 16 1a a a b b b x x x x x xx x x x 又4 4 6这与 矛盾 ,所以结论成立 .
