1、和倍问题 专题简析： 已知两个数的和与两个数间的倍数关系，求这两个数分别是多少，像这样的应用题，通常叫做和倍问题。要想顺利地解答和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确列式解答。 解答和倍应用题，关键是要找出两数的和以及与其对应的倍数和，从而先求出 1 倍数，再求出几倍数。数量关系可以这样表示： 两数和（倍数 1） =小数（ 1 倍数） 小数倍数 =大数（几倍数） 两数和小数 =大数 例题 1 学校将 360 本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级的 2 倍，问 二、三两个年级各分得多少本图书？ 思路导航：将二年级所得图书的本数看作 1 倍
2、数，则三年级所得本数是这样的 2 倍。如图所示： 共 360 本？ 本？ 本1 倍数三年级二年级由图可知，二、三年级所得图书本数的和 360 本相当于二年级的（ 1 2）倍，则二年级所得图书本数的 360 （ 1 2） =120 本，三年级为 120 2=240本。 练 习 一 1，小红和小明共有压岁钱 800元，小红的钱数是小明的 3倍。小红和小明各有压岁钱多少元？ 2，学校将 360 本图书分给二、三年级，已知三年级所得本数比二年级的2倍还多 60本。二、三年级各得图书多少本？ 3，甲桶有 油 25 千克，乙桶有油 17 千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶油是乙桶的 5倍？ 例题 2
3、小宁有圆珠笔芯 30枝，小青有圆珠笔芯 15枝，问小青给小宁多少枝后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的 8倍？ 思路导航：我们把变化后小青的圆珠笔芯枝数看作 1 倍数，那么小宁与小青圆珠笔芯的枝数和相当于变化后小青枝数的 9倍，所以变化后小青的枝数为（ 30 15）（ 1 8） =5枝，再用 15 5=10 枝，则表示小青给小宁的枝数。 练 习 二 1，红红有邮票 80张，佳佳有邮票 60张，要使红红的邮票张数是佳佳的4倍，那么佳佳 必须给红红多少张邮票？ 2，甲水池有水 69吨，乙水池有水 36吨，如果甲水池中的水以每分钟 2吨的速度流入乙水池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的 2倍？ 3，甲
4、书架有图书 18 本，乙书架有图书 8 本，班图书管理员又买来图书16本，怎样分配才能使甲书架图书的本数是乙书架的 2倍？ 例题 3 被除数与除数的和为 320，商是 7，被除数和除数各是多少？ 思路导航：由商是 7 可知，被除数是除数的 7 倍，把除数看作 1 份数，被除数就有这样的 7份，一共 7 1=8份。 除数： 320 8=40 被除数： 40 7=280 练 习 三 1，被除数和除数和为 120，商是 7，被除数和除数各是多少？ 2，被除数、除数、商的和为 79，商是 4，被除数、除数各是多少？ 3，两个整数相除商是 21，余数为 1，已知被除数、除数、商、余数的和一共是 441。
5、被除数、除数各是多少？ 例题 4 两数相除商为 17余 6，被除数、除数、商和余数的和是 479。被除数和除数分别为多少？ 思路导航：被除数、除数、商和余数的和是 479，减去商 17 和余数 6，得到被除数与除数的和为 479 17 6=456；又因为被除数比除数的 17倍多 6，所以 456 6=450 就相当于除数的（ 17 1）倍，因此除数为 450（ 17 1）=25，被除数为 25 17 6=431。 练 习 四 1，两个整数相除商 14余 2，被除数、除数、商和余数的和是 243，被除数比除数大多少？ 2，在一个减法算式里，被减数、减数与差的和等于 240，而减数是差的5倍。差是
6、多少？ 3，学校买来 83 本书，其中科技书是故事书的 2 倍，故事书比文艺书多5本，这三种书各多少本？ 例题 5 两个数之和是 792，其中一个数的最后一位数数字是 0，如果把 0 去掉，就与另一个数相同。 这两个数分别是多少？ 思路导航：把一个数的最后一位数字 0 去掉，就与另一个数相同，说明这两个数中大数是小数的 10 倍。又已知两个数之和是 792，那我们就可以求出这两个数分别是多少了。 小数： 792（ 10 1） =72 大数： 72 10=720 练 习 五 1，两个数之和是 253，其中一个数的最后一位数字是 0，如果把 0去掉，就与另一个数相同。这两个数分别是多少？ 2，师徒
7、两人加工一批零件共 693个，师傅加工零件个数的末位数字是 0，如果去掉这个 0，加工的个数就与徒弟一样多。师徒二人分别加工零件多少个？ 3，甲、乙两数的和是 209，甲数缩小 10 倍就和乙数同样大，甲、乙两数分别是多少？ 第二十六周 差倍问题（一） 专题简析： 前面我们已经初步掌握了“和倍问题”的特征和解题方法。如果知道了两个数的差与两个数间的倍数关系，要求两个数各是多少，这一类题，我们则把它称为“差倍问题”。小朋友，你们有没有想到用解答和倍问题的类似方法解答差倍问题呢？ 解答差倍问题与解答和倍问题相类似，要先找出差所对应的倍数，先求1 倍数，再求出几倍数。此外，还要充分利用线段图帮助分析
8、数量关 系。 用关系式可以这样表示： 两数差（倍数 1） =较小的数（ 1 倍数） 较小的数倍数 =较大的数（几倍数） 例题 1 小明到市场去买水果，他买的苹果个数是梨的 3 倍，苹果比梨多 18个。小明买苹果和梨各多少个？ 思路导航：将梨的个数看作 1 倍数，则苹果的个数是这样的 3 倍。如下图： 苹果梨？ 个多 18 个？ 个1 倍从线段图上可以看出，苹果的个数比梨多了 3 1=2 倍，梨的 2 倍是 18个，所以梨有 18 2=9个，苹果有： 9 3=27个。 练 习 一 1，学校合唱组，女同学人数是男同学的 4倍，女同学比男同学多 42人。合唱组有男、女同 学各多少人？ 2，一件皮衣价
9、钱是一件羽绒服价钱的 5倍，又已知一件皮衣比一件羽绒服贵 960元。皮衣与羽绒服各多少元？ 3，甲筐苹果是乙筐苹果的 3 倍，如果从甲筐取出 60 千克放入乙筐，那么两筐苹果重量就相等。两筐原来各有苹果多少千克？ 例题 2 被除数比除数大 252，商是 7，被除数、除数各是多少？ 思路导航：根据“商是 7”可知，被除数是除数的 7 倍，把除数看作 1倍数，被除数就是这样的 7份，比除数多 6份。 所以除数是： 252（ 7 1） =42 被除数是： 42 252=294 练 习 二 1，被除数比除数大 168，商是 22，被除数、除数各是多少？ 2，除数比被除数小 212，商是 5，被除数、除
10、数各是多少？ 3，被除数比商大 144，除数是 7，被除数、商各是多少？ 例题 3 水果店有两筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的 5倍，如果从第一筐中取出 300 个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多 60 个。原来两筐橘子各有多少个？ 思路导航：根据“如果从第一筐中取出 300 个放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多 60 个”，说明原来第一筐比第二筐橘子多 300 2 60=660个。把第 二筐的橘子重量看作 1倍数，第一筐橘子是这样的 5倍，比第二筐多4 倍，第二筐橘子的 4 倍正好是 660 个，所以第二筐原有橘子： 660 4=165个，第一筐橘子原来有： 165 5=825个
11、。 练 习 三 1，同学们捐助残，六年级捐款钱数是三年级的 3倍。如果从六年级捐款钱数中取出 160 元放入三年级，那么六年级捐款的钱数还比三年级多 40 元。两个年级分别捐款多少元？ 2，人民公园的杜鹃花盆数是长春园的 4倍，如果从人民公园搬出 188盆杜鹃花放入长春园，则人民公园的杜鹃花盆数就比长春园的少 25 盆。原来两个公 园各有杜鹃花多少盆？ 3，两堆煤重量相等，现从甲堆中运走 24 吨到乙堆，而乙堆煤中又运入8吨，这时乙堆煤的重量正好是甲堆煤重量的 3倍。问两堆煤原来各有多少吨？ 例题 4 甲、乙两个数，如果甲数加上 280就等于乙数，如果乙数加上 320就等于甲数的 3倍。两个数
12、各是多少？ 思路导航：根据题意，画出线段图： ？ 320280？乙甲“甲数加上 280 就等于乙数”，说明乙数比甲数大 280；如果乙数再加上320，甲、乙就相差 320+280=600，把甲数看作 1 倍数，从图上可以看出， 600就相当于甲数的 3 1=2倍。所以，甲数为 600 2=300，乙数为 300 280=580。 练 习 四 1，甲、乙两人的存款相等，甲取出 60元，乙存入 20 元后，乙的存款是甲的 3倍。甲、乙两人原有存款各多少元？ 2，小明和小华的连环画本数相等，若小明借给小华 6 本，小华的本数是小明的 4倍。原来两人各有连环画多少本？ 3，两筐千克数相同的苹果，甲筐卖
13、出 7 千克，乙筐卖出 19 千克后，甲筐余下的苹果是乙筐的 3倍。两筐苹果原来各有多少千克？ 例题 5 两个书架所存书的本数相等，如果从第一个书架里取 出 200本书，而第二个书架再放入 40 本书，那么第二个书架的本数是第一个书架的 3 倍。问两个书架原来各存书多少本？ 思路导航：根据题意，画出线段图。 第二个书架第一个书架？ 本40 本？ 本取出 200 本1 倍数从线段图上可以看出，第一个书架取出 200 本，第二个书架放进 40 本书后，两个书架就相差 200+40=240 本，把变化后的第一个书架看作 1 倍数，两个书架相差的 240 本就相当于变化后第一个书架的（ 3 1）倍。所
14、以，变化后第一个书架有书： （ 200 40）（ 3 1） =120本 两个书架原来各有： 120 200=320 本。 练 习 五 1，两个仓库所存粮食重量 相等，如果从第一个仓库里取出 2000 千克，而第二个仓库再存入 400千克，那么第二个仓库的粮食重量就是第一个仓库的7倍。两个仓库原来各存粮食多少千克？ 2，小红和小明的铅笔枝数相等，如果奶奶再给小红 16 枝铅笔，给小明2枝铅笔，那么小红的铅笔枝数就是小明的 3倍。原来小红和小明各有铅笔多少枝？ 3，商店有数量相等的英语本和算术本，英语本卖出 160 本，算术本卖出420本后，余下的英语本数是算术本的 3倍。两种本子原来各有多少本？
15、 第二十七周 差倍问题（二） 专题简析： 有些差倍问题比较复杂， 不能直接利用公式进行解答，这时需要我们小朋友仔细审题，尤其注意一些隐含条件，同时借助线段图帮助理解题意，从而找到解题方法。 较复杂的差倍应用题，数量关系比较隐蔽。先依题意画出线段图，数量关系就会比较清晰地展现出来，然后借助线段图找出两个数的差以及所对应的倍数，再利用公式进行解答。 例题 1 有两袋玉米，大袋比小袋多 56 千克，如果将小袋的玉米吃掉 4 千克，这时大袋的玉米重量是小袋的 4 倍。两袋玉米原来各重量多少千克？ 思路导航：根据题意，画出线段图。 大袋玉米小袋玉米？ 千克56 千克？ 千克4 千克从图上可以看出，小袋玉
16、为吃掉 4 千克后，大袋里的玉米就比小 袋现有玉米重 4+56=60 千克；又根据“这时大袋的玉米重量是小袋的 4 倍”，可知把小袋现有的玉米重量看作 1 倍数，大袋比小袋多的 60 千克正好相当于现有小袋的 4 1=3倍，所以小袋现有玉米 60 3=20千克，原有重量 20+4=24千克，大袋原有 20 4=80 千克。 练 习 一 1，有两箱玩具，第一盒比第二盒多 60 只。如果从第二盒中取出 3 只，这时第一盒的只数是第二盒的 8倍。求两箱玩具原来各有多少只？ 2，一个书架上放着一些书，第二层比第一层多 12 本。如果从第一层中拿走 6本，这时第二层的本数是第一层的 4倍。求第一、第二层
17、原来各有多少本书？ 3，甲、乙两桶油各有油若干千克，甲桶的油比乙桶少 20 千克，如果从甲桶倒出 5千克放入 5千克，这时乙桶内油的重量是甲桶的 4倍。甲、乙两桶原来各有油多少千克？ 例题 2 有甲、乙两桶色拉油，如果向甲桶中倒入 8千克，则两桶色拉油就一样重；如果向乙桶中倒入 12 千克，乙桶的色拉油就是甲桶的 5 倍。甲、乙两桶原来各有色拉油多少千克？ 思路导航：根据题意，画出线段图。 倒入 12 千克？ 千克乙桶甲桶？ 千克倒入 8 千克1 倍数从线段图上可以看出：如果向甲桶倒入 8 千克，两桶油重量相等，说明乙桶油比甲桶油多 8 千克；如果向乙桶倒入 12 千克，乙 桶油就比甲桶油多8
18、+12=20千克，与 20千克相对应的倍数差是 5 1=4倍。所以，甲桶原有：（ 8+12）（ 5 1） =5千克，乙桶原有 5+8=13千克。 练 习 二 1，有甲、乙两桶水，如果向甲桶中倒入 10 千克水，两桶水就一样多；如果向乙桶中倒入 4千克水，乙桶的水就是甲桶的 3倍。原来甲、乙两桶各有多少千克水？ 2，三（ 1）班同学参加英语比赛，如果男生少去 1 人，男、女参赛人数相等；如果女生少去 1 人，男生参赛人数是女生的 2 倍。三（ 1）班参加英语比赛的男、女生各几人？ 3，小敏和小文每人都 有一些玻璃球，如果小敏给小文 3粒，两人的玻璃球数就一样多；如果小文给小敏 1粒，小敏的玻璃球
19、数就是小文的 5倍。小敏、小文原有玻璃球各几粒？ 例题 3 甲的钱数是乙的 3 倍，甲买一套 180元的百科大全，乙买一套 30元的故事书后，两人余下的钱一样多。甲原来有多少钱？ 思路导航：根据题意，画出线段图。 ？ 元180 元30 元甲乙把乙原有的钱看作 1 份，甲原有的钱不是 3 份；甲买书用去 180 元，乙买书用去 30 元，甲比乙多用去 180 30=150 元。从图上可以看出，这多出的150元正好相当于乙原有钱数的 3 1=2 倍，所以乙原有钱： 150 2=75元，甲原有钱 75 3=225元。 练 习 三 1，甲的钱数是乙的 4 倍，甲买了一只 30 元的书包，乙买了一枝 6
20、 元的钢笔后，两人余下的钱一样多。甲原来有多少钱？ 2，丹丹的钱数是小敏的 5倍，丹丹买了一套 115元的衣服，小敏买了一双 15元的鞋子后，两人余下的钱一样多。丹丹原来有多少钱？ 3，云云的钱是小月的 4 倍，云云买了一套水彩笔用了 19 元钱，小月买了一块 1元钱的橡皮后，两人剩下的钱一样多。云云原来有多少钱？ 例题 4 学校里白粉笔的盒数是彩色粉笔的 4 倍，如果白粉笔和彩色粉笔各购进 12 盒，那么白粉笔的盒数是彩色粉笔的 3 倍。原来白粉笔和彩色粉笔各有多少盒？ 思路导航：根据题意，如果彩色粉笔购进 12盒，而白粉笔购进 12 4=48盒，那么现在白粉笔的盒数仍是彩色粉笔的 4倍，可
21、见 48 12=36盒就是彩色粉笔现有盒数的 4 3=1倍，所以彩色粉笔现有 36 1=36盒，原来有 36 12=24盒，白粉笔原有 24 4=96盒。 练 习 四 1，有甲、乙两筐苹果，甲筐苹果的千克数是乙筐的 3 倍，如果两筐苹果各增加 8千克，那么甲筐苹果的千克数就是乙筐的 2倍。甲、乙两筐原来各有多少千克苹果？ 2，小明和聪聪各有一些彩色笔，小明彩色笔的枝数是聪聪的 5倍。如果每人再买 4枝彩色笔，那么小明的枝数就是聪聪的 4倍。小明和聪聪原来各有彩色笔多少枝？ 3，有甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的 5倍。如果每桶分别倒入8千克的油，那么甲桶油的重量是乙桶油的 3倍。甲、乙两桶
22、原来各有多少千克油？ 例题 5 天天小学买来了一批篮球和足球，篮球的个数比足球的 4倍多 5个，篮球比足球多 26个。篮球和足球各多少个？ 思路导航：根据题意，画出线段图。 篮球足球? 个多 5 个多 26 个? 个从图上可以看出，如果把足球的个数看作 1 倍数，那么篮球减少 5 个就是足球个数的 4倍，所以足球有（ 26 5）（ 4 1） =7个，篮球有 7 4 5=33个。 练 习 五 1，商店里有一些红皮球和白皮球，红皮球的个数比白皮球的 3倍多 2个，红皮球比白皮球多 24个。红、白皮球各有多少个？ 2，有两袋面粉，甲袋面粉比乙袋面粉的 5 倍多 12 千克，乙袋比甲袋少132千克。甲、乙两袋面粉各多少千克？ 3，图书室里有一些故事书和连环画，故事书的本数比连环画的 4倍少 8本，故事书比连环画多 28本。图书室里有故事书和连环画各多少本？
