1、第2章 光纤,光纤结构 光纤传输原理单模光纤 多模光纤 光纤使用特性和产品介绍,光纤是光纤通信系统的传输介质，它具有传输损耗低、传输容量大的特点。对于光纤而言，其衰减和色散特性是影响系统性能的主要因素。当入射到光纤内的光功率较大时，光纤呈现的非线性效应对系统的传输会产生较大的影响。 随着技术的发展，光纤的性能也不断地得到改善，新的光纤品种不断出现，其价格也逐年下降，应用范围得到了进一步的扩展。为了对光纤通信系统有一个全面的了解，必须认识光纤的工作原理及其性能，以便根据实际使用环境选择光纤产品，保证光纤性能稳定、系统可靠地运行。 本章用几何光学和波动方程两种方法阐述了光纤中光的传输机理，在此基础
2、上，对单模光纤和多模光纤传输特性进行了分析，并介绍了光纤制作工艺、光纤产品及其光纤的使用特性。,2.1 光纤结构 按照光纤横截面上径向折射率的分布特点，我们把光纤分为阶跃折射率光纤和渐变折射率光纤两大类。 2.1.1 阶跃折射率光纤 阶跃折射率光纤的折射率分布如图2.1.1所示。图（a）、（b）分别为单模和多模阶跃折射率光纤示意图。 图2.1.1 阶跃折射率光纤示意图 图中，2a为纤芯直径，2b为包层直径，纤芯和包层的折射率都是常数，分别为n1和n2。为了满足光在纤芯内的全内反射条件，要求。在纤芯和包层分界面处，折射率呈阶跃式变化，用数学形式表示为 （2.1.1） 多模阶跃光纤由于存在着较大的
3、模间色散，使用受到了很大限制。,2.1.2 渐变折射率光纤 渐变折射率光纤纤芯中折射率不是常数，而是在纤芯中心最大，为n1，沿径向（r方向）按一定的规律逐渐减小至n2，包层中折射率不变仍为 n2。其折射率分布是： （2.1.2） 式中，r是光纤的径向半径，参数决定折射率形式。为相对折射率差。值越大，把能量束缚在纤芯中传输的能力越强，对渐变多模光纤而言，其典型值为0.015。 图2.1.2示出了多模渐变折射率光纤中折射率分布和光线传输示意图，与阶跃型光纤不同的是，光线传播的路径是连续的弯曲线。 表2.1列出了阶跃型单模光纤、阶跃型多模光纤和渐变型多模光纤的典型参数。,2.2 光纤传输原理 由物理
4、学可知，光具有粒子性和波动性，对其分析也有两种方法：一是几何光学分析法，二是波动方程分析法。 2.2.1 几何光学分析法 几何光学分析法是用射线光学理论分析光纤中光传输特性的方法。这种分析方法的前提条件是光的波长要远小于光纤尺寸，用这种方法可以得到一些基本概念：全内反射、数值孔径等，其特点是直观、简单。 1. 全内反射 光在不同介质中的传播速度不同，描述介质对光这种作用的参数就是折射率，折射率与光之间的关系为 （2.2.1） 式中，c是光在真空中的传播速度，c3108m/s，是光在介质中的传播速度，n是介质的折射率。空气的折射率近似为1。折射率越高，介质材料密度越大，光在其中传播的速度越慢。
5、在均匀介质中，光是直线传播的，当光由一种折射率介质向另一种折射率介质传播时，在介质分界面上会产生反射和折射现象，见图2.2.1。,图2.2.1 光由光密介质向光疏介质的入射,由斯涅尔定理可知，入射光、反射光以及折射光与界面垂线间的角度满足下列关系 （2.2.2） 式中，1、2和3分别称为入射角、折射角和反射角。我们将折射率较大的介质称为光密介质，折射率较小的称为光疏介质，由（2.2.2）式可知，当光由光疏介质进入光密介质时，折射角小于入射角；反之，光由光密介质进入光疏介质时，折射角大于入射角。在这种情况下（n1n2），随着入射角的增大，折射角也增大，当 时，折射光将沿着分界面传播，此时对应的入
6、射角称为临界入射角，记为 。 图2.2.1 光由光密介质向光疏介质的入射 由（2.2.2）式可求得临界入射角： ，即 （2.2.3）,如果入射光的入射角，所有的光将被反射回入射介质，这种现象称之为全反射，光纤就是利用这种折射率安排来传导光的：光纤纤芯的折射率高于包层折射率，在纤芯与包层的分界面上，光发生全内反射，沿着光纤轴线曲折前进，如图2.2.2所示。我们将光纤内的光线分成两类：一类是子午光线，见图2.2.2（a）。另一类是斜光线，见图2.2.2（b）。子午光线是在与光纤轴线构成的平面（子午面）内传输，斜光线则在传播的过程中不固定在一个平面内。,图2.2.2 子午光线和斜光线,2. 数值孔径
7、 数值孔径是光纤一个非常重要的参数，它体现了光纤与光源之间的耦合效率。图2.2.3示出了光源发出的光进入光纤的情况。,图2.2.3 光源出射光与光纤的耦合,光源与光纤端面之间存在着空气缝隙，入射到光纤端面上的光，一部分是不能进入光纤的，而能进入光纤端面内的光也不一定能在光纤中传输，只有符合特定条件的光才能在光纤中发生全内反射而传播到远方。由图2.2.3可知，只有从空气缝隙到光纤端面光的入射角小于o，入射到光纤里的光线才能传播。实际上o是个空间角，也就是说如果光从一个限制在2o的锥形区域中入射到光纤端面上，则光可被光纤捕捉。 设空气的折射率为no，在空气与光纤端面上运用斯涅尔定律，有 （2.2.
8、4） 式中C与临界入射角C之间的关系为 （2.2.5） 由（2.2.4）式和（2.2.5）式可得 对空气，有n01，故有 （2.2.6） 显然，0越大，即纤芯与包层的折射率之差越大，光纤捕捉光线的能力越强，而参数直接反映了这种能力，我们称为光纤的数值孔径NA(Numerical Aperture) (2.2.7) 称0为最大接收角，c为临界传播角。,例2.2.1 n11.48、n21.46的阶跃光纤的数值孔径是多少？最大接收角是多少？ 解： 数值孔径还可以表示成 （2.2.8）,相对折射率差大一些，光纤与光源之间的耦合效率就高一些，但是过大，色散影响就会严重，实际光纤总有1。 对于渐变折射率光
9、纤，数值孔径有着类似的定义，n1和n2分别为处（轴线）和处（包层）的折射率。 用几何光学分析法也可以解释渐变折射率光纤中光线的传播方式。渐变折射率光纤的纤芯折射率不是常数，在中心轴线处最高，然后沿径向逐渐减小。我们可以将光纤纤芯分成若干个同心圆柱层，每层的折射率看作常数，为简单起见，在图2.2.4中只画出了三层同心圆柱，它们的折射率满足： 。显然，光线由第一层向第二层入射时，也即由光密介质向光疏介质入射时，有 ，同理 。与阶跃型光纤不同的是，光在每层传输后，方向都要发生变化，这样就不难解释为什么渐变折射率光纤中光线会向轴线方向发生弯曲现象，而且越靠近轴线弯曲程度就越高，渐变折射率光纤对光的这种
10、作用也称为自聚焦。,图2.2.4 渐变折射率光纤中光线的传播方式,3. 传播时延和时延差 光线在纤芯中的传输速度。对于子午光线而言，它在纤芯中按锯齿状路径传播，设Lp为光线路径在包层和纤芯界面交点P、Q间的距离，如图2.2.5所示，为光线与z轴的夹角，则光线在z方向行进的距离为 需要时间,图2.2.5 子午光线在光纤中的传播,定义沿z轴方向传播单位距离的时间为光线的传播时延，用表示，则有 （2.2.9） 可见，光线的传播时延在纤芯折射率n1一定时，仅与光线与z轴的夹角有关，如果在纤芯中有两条束缚光线，与z轴的夹角分别为1和2，显然，它们沿z轴方向传输单位距离时，在纤芯中走过的路径是不一样的，因
11、而传播时延也不相同，用表示两条路径光线传播的时延差，有 （2.2.10） 在所有可能存在的子午光线中，路径最短的一条光线是沿z轴方向直线传播的光线，其0。路径最长的一条光线则是沿全内反射临界角行进的光线，其arccos-1(n1/n2)，它们的时延差为最大值 （2.2.11） 上式常用来估算阶跃光纤中多径传输所导致的光脉冲展宽。对于渐变折射率光纤，光折射率分布为抛物线时，最大时延差的计算公式为 （2.2.12）,4. 通信容量 光纤通信系统的通信容量用比特率距离积来表示，它是系统的一个极限参数。某个系统设计完成以后，通信容量则是一个定值。其意义是：数据速率和传输距离可以变化，但必须满足两者的乘
12、积为常数。设系统的比特率为B，距离为L，我们可以通过这样的方法来估算比特率距离积：光脉冲传输距离L后的展宽不超过系统比特周期的四分之一 由上式可得通信容量 （2.2.13） 对于抛物线型渐变折射率光纤，通信容量为 （2.2.14） 因为是远小于1的数，比较（2.2.13）式和（2.2.14）式可以发现，渐变折射率光纤大大降低了模式色散，提高了通信容量。,2.2.2 波动方程分析法 当光纤的尺寸与光的波长相当时，用几何光学分析法分析光纤中光的特性便受到了限制，这时须用波动方程分析法。波动方程法是基于电磁场理论，在麦克斯韦方程的基础上，运用光纤纤芯与包层分界面的边界条件，从而导出光纤中光场的分布形
13、式，得到光在光纤中的传播特性。 1. 光波基本理论 在这里，我们要学习一些光波的基本概念和基本理论。我们已经知道，光波是电磁波，它的电场和磁场随着时间不断地变化，其形式是多样的，最简单的形式是正弦波，下式是一个沿着z方向传播的行波表达式 （2.2.15） 式中，E0是振幅，是光波的角频率， k是传播常数或波数，k=2/，为介质中光波的波长，0是初始相位常数。记0为光在真空中的波长，k0为光在真空中的波数，那么有 （2.2.16） 电场是个有方向的量，（2.2.15）式表示电场的指向是在x方向上，大小是在x方向上随着时间t和传输距离z变化，如果将电场写成一般表达式，设它沿r方向传播，则有 （2.
14、2.17） 在直角坐标系中，kx、ky和kz称为传播常数在直角坐标系中的分量。,实际上，随时间变化的电场会产生同频率的磁场，反之，磁场也会产生电场。所以电场和磁场总是同时存在，它们频率相同，方向相互垂直，如图2.2.6所示。从图中可以看出Ex场量总是在x方向，Hy场量总在y方向，两者矢量乘的方向是z方向，即光波能量的传播方向。电磁波功率流密度的表达式是 （2.2.18） 电场与磁场在数量上满足关系 （2.2.19） 式中称为波阻抗，量纲为欧姆，、分别是介质的磁导率和介电常数，在真空中，04107特斯拉米/安培，08.851012库仑/牛顿米2。一般介质中，0，r0n20，r为相对介电常数，n为
15、折射率。 （2.2.15）式所描述的电磁波称为平面波，平面波的定义是指在与波传播方向垂直的无限大平面内，电场、磁场的方向和振幅以及相位都保持不变的波。为方便起见，常用指数形式表示平面波 （2.2.20） 式中， 显然（2.2.15）式为（2.2.20）式的实数部分。,下面讨论几个基本概念 （1）相速度、群速度 相速度是电磁波等相位点的传播速度。在（2.2.15）式中，记相位 （2.2.21） 如果将观察点固定于波形的某个点，可以看到此点以匀速向+z方向传播，因为该点对应的相位为常数，我们就将波传播的速度称为相速。根据常数 可求得 （2.2.22） 可见，相速度与介质的折射率有关。在光密介质中，
16、光传输得慢些。在各向同性介质中，折射率n为一常数，不随介质方向而改变。在各向异性介质中，n随介质方向的不同而改变，例如，沿x方向上的折射率与沿y方向上的折射率不同，nxny，造成电磁波在两个方向上传播的速度不一样，许多光器件的工作就基于该机理。 光源发出的光波并不是单一频率的电磁波，其光谱具有一定的宽度，从形式上看是一光包络，该包络向前传播的速度称为群速度，它的表达式是 （2.2.23） 群速度也是能量以及信息传输的速度。由（2.2.22）式得， 对于色散介质 ,代入（2.2.23）式中，得 （2.2.24） 式中 称为群折射率。,（2）偏振 偏振是电磁理论的一个重要概念，它反映了在空间给定点
17、上电场强度矢量的取向随时间变化的特性。我们用电场强度矢量端点在空间描绘出的轨迹来表示，如果该轨迹是直线，称电磁波为线极化；如果轨迹是圆，则称为圆极化；如果轨迹是椭圆，则称为椭圆极化。 在前面的分析中，我们把电场固定在x方向，磁场固定在y方向，其实这只是一个特例。在一般情况下，沿z方向传播的均匀平面波，Ex、Ey两个分量都存在，这两个分量的振幅和相位不一定相同，将它们分别表示为 （2.2.25） 为分析方便起见，在上式中设Ex分量的初相为零。我们分三种情况讨论。 线偏振 为分析简单起见，取z=0（xoy平面）。线偏振的条件是：Ex、Ey相位相同或相反，即00或01800，此时合成电场 （2.2.
18、26） 合成电场与x轴的夹角 （2.2.27） 虽然合成电场的大小随时间变化，但其矢量端轨迹始终与x轴保持恒定的夹角，见图2.2.7（a）。,圆偏振 圆偏振的条件是Ex与Ey振幅相等，相位差为900。由（2.2.25）式得 此时的合成电场 （2.2.28） 合成电场与x轴的夹角 (2.2.29) 即合成电场的幅度为常数，而与x轴的夹角随时间改变，见图2.2.7（b）。,图2.2.8 光的几种偏振方式,椭圆偏振 椭圆偏振发生在Ex与Ey振幅和相位都不相等的情况下，此时有 （2.2.30） （2.2.30）式为一椭圆方程，合成矢量的矢量端在一椭圆上旋转，见图2.2.7（c）。 例2.2.1 试将线
19、极化波分解成圆极化波的叠加。 解：这里电场用了矢量形式来表示， 为x方向的单位矢量。将 分解成和两个圆极化波的叠加，它们是,2. 光纤中的光波 （1）麦克斯韦方程 麦克斯韦方程是分析光纤中光特性的基础，其形式为 （2.2.31） 式中为E电场强度矢量，D为电位移矢量，H为磁场强度矢量，B为磁感应强度矢量，对于简谐电磁场， 。 在没有电荷或电流分布的介质分界面上，电场强度和磁场强度的切向分量连续，电位移矢量和磁感应强度的法向分量应连续，用下标t和n分别表示介质分界面上的切向分量和法向分量，则边界条件可以写成 （2.2.32）,（2）波动方程及其解 对光纤中电磁场的分析，宜采用圆柱坐标，设电磁场沿
20、z方向传播，有 （2.2.33a） (2.2.33b) 式中是电磁波传播常数 的z分量。一般而言，场既有横向分量，又有纵向分量，它们都是时间和坐标的简谐函数，横向分量是 ，纵向分量是 ，电场强度和磁场强度可以表示成 （2.2.34a） (2.2.34b) 将上式代入麦克斯韦方程，利用圆柱坐标，可以得到光纤中场的纵向分量所满足的方程 （2.2.35） （2.2.36） 上式即为波动方程。场的纵向分量解出后，所有的横向分量就可以通过下列关系得到确定 （2.2.37a） (2.2.37b) (2.2.37c) (2.2.37d),光纤中波动方程解的步骤如下：首先将纵向分量写成三个单变量函数（分别是函
21、数 ）的乘积，代回到波动方程中去，然后利用边界条件，可以求出阶跃光纤中电场的解 （2.2.38） (2.2.39) 上述表达式中忽略了时间因子。式中m为整数，U称为导波模的径向归一化相位常数，W称为导波模的径向归一化衰减常数， 它们的表达式为 （2.2.40） （2.2.41） 定义 （2.2.42） 称V为光纤的归一化频率，它与光纤的结构参数和工作波长有关。 为第一类贝塞尔(Bessel)函数， 为第二类贝塞尔函数。图2.2.8画出了这两类贝塞尔函数的曲线。,（a）第一类贝塞尔函数曲线 （b）第二类贝塞尔函数曲线 图2.2.8 贝塞尔函数曲线,(2.2.38) 式和(2.2.39) 式表明，
22、电磁场的纵向分量Ez和Hz在纤芯内沿半径方向用第一类贝塞尔函数描述，其场量在径向呈驻波分布，在圆周方向，场量按 或 规律变化，也呈驻波分布，m是贝塞尔函数的阶数，也是场量沿圆周方向出现最大值的对数。电磁场沿z轴方向呈行波状态，其传播常数（也称相位常数）为。包层中场量沿圆周方向以及轴向分布规律与纤芯一样，这样可以保证包层与纤芯界面上的边界条件得到满足。与纤芯中场不同的是，包层中场量用第二类贝塞尔函数描述，它随r的增长呈现指数迅速衰减的特性。这样，电磁波能量主要集中在纤芯之内传播。从波动方程解的结果分析，它并不象几何光学分析法形容的那样，光线完全在纤芯内反射传播，在包层内，电磁场同样存在，只不过能
23、量较小而已，这也是在纤芯与包层分界面上，电磁场须满足边界条件的结果。,3光波的模式 光纤中光波的模式可以简单地分为导波模和辐射模。 导波模是指电磁场作纤芯中按简谐函数变化，在包层中按指数规律衰减的模式。由方程(2.2.38)和(2.2.39)中 的性质可知，若要电磁场按简谐规律变化，纤芯中U值必须为实数，也即 ；另外由 的性质可知，对于导波模来说，当 时， 必须为零，也即要求W0， 。综合而论，导波模存在的条件是W0，U0，也即传播常数要满足 （ 2.2.43） 辐射模是指电磁波能量在向z轴方向传播的同时又在包层中形成径向的辐射。这类模式同样要满足麦克斯韦方程，满足边界条件。实际上它们是由于光
24、源入射到光纤端面光线的入射空间角大于最大接收角0，导致光进入纤芯后在纤芯与包层的分界面上产生折射的结果。显然这类模式的光波不可能沿z轴方向长距离传输。由方程（2.2.38）和（2.2.39）中 的性质可知，若W0，k0n2，则不能满足 时 的条件，光场不再受约束在纤芯中传输，能量将沿径向辐射出来。产生辐射模的条件是 （2.2.44） 对辐射模而言，的取值在满足（2.2.44）式的范围内是连续的，而导波模只能取离散值。,下面我们对导波模作进一步的分析。 导波模式是指在光纤中的光波的分布模式，即电磁场分布形式，通过对它的讨论，可以深入了解光纤中光的传播机理。而它的讨论，又是建立在特征方程基础上的。
25、特征方程是反映导波模涉及到的参数U、W和之间相互关系的方程，求解的详细过程在这里不作赘述，其基本思路是利用在纤芯与包层分界面上（处），电场与磁场的切向分量（分量）应连续的边界条件，由（2.2.38）式或（2.2.39）式先求出场切向分量的表达式，代入边界条件。对于弱导光纤则可得到特征方程 （2.2.45） （2.2.45）式是弱导光纤的特征方程，它是分析弱导光纤传输特性的基础，由于该方程是一个复杂的超越方程，一般情况下只能用数值解。通过对特征方程的求解，可以发现传播常数为一系列的离散值，通常，对于每个整数m，都存在多个解，记为，n=1,2,3。每一个值都对应着由（2.2.38）(2.2.42)
26、 式确定的、能在光纤中传播的光场的一个空间分布，这种空间分布在传播的过程中只有相位的变化，没有形态的变化，且始终满足边界条件，这种空间分布称为导波模的模式，简称模式。 除了m0的情况外，光纤中导波模的模式分布中，电场和磁场的纵向分量都存在，我们将这种情况称之为混合模，根据或哪一个相对作用大些，又可将混合模 分成模EH (EzHz)和模（HzEz）；当m0时，将模HE0n和模EH0n分别记为TE0n和TH0n，它们分别对应于场的纵向分量Ez0和 Hz0的模式，简称TE模和TM模。,（1）TE模和TM模 对于TE模，有Ez0，也即（2.2.38）式中的常数A0。根据边界条件，可以求得m=0，由 (
27、2.2.45) 式得到 （2.2.46） 利用贝塞尔函数的递推公式，又可将（2.2.46）式写成 （2.2.47） 这就是TE模特征方程的一般表达式。 对于TM模，有Hz0，同样可求得须m=0时边界条件才成立，此时得TM模的特征方程为 （2.2.48） 在弱导条件下（2.2.48）式与（2.2.47）式一致，也就是说，此时TE模和TM模有着共同的特征方程。m=0，意味着光场与无关，即场分量在光纤中呈轴对称分布。 （2）EH模和HE模 如果 ，场量沿圆周方向按或函数分布，要使边界条件得到满足，则A和B都不得为0，也就是说Hz和Ez同时存在，此时对应同一m值，有两组不同的解，分别对应着两类不同的模
28、式，（2.2.45）式右边取正号时所解的一组模式称为EH模，取负号时所解的一组模式称为HE模。 根据（2.2.45）式，并利用贝塞尔函数的递推公式，得EH波和HE波的特征方程为 EH模 （2.2.49） HE模 （2.2.50a） 利用贝塞尔函数的递推公式，不难得到该公式的另一种表达式 （2.2.50b）,图2.2.9 阶跃折射率光纤四个最低阶模式的横向电场截面分布,（3）LP模 LP模称为线偏振模（Linear Polarization Mode）。在相对折射差很小，也即在弱导光纤条件下光纤中的HE和EH模具有十分相似的电磁场分布和几乎相等的传播常数，同样 和 和 模也具有相似的特性，如果我
29、们定义一个新的参量 （2.2.51） 则可将（2.2.47）式（2.2.50）式表示成同一形式： （2.2.52） （2.2.51）式和（2.2.52）式表明，所有具有相同下标的模式具有相同的特征方程，我们把这些模式称为简并模，如 和 是简并模，这些简并模的组合就可以构成光纤中的导波模，我们用线偏振模 来表示它们。在弱导条件下，光纤内传播的导波尽管仍然可以区别为 、 和 等模式，但可以证明这些模式场的纵向分量比横向分量小的多，组合后的场的横向分量在传播过程中保持偏振状态不定，这样可以使问题的分析变得较为简化，我们可以将简并模与线偏振模的关系归纳如下：（a） 模由 模决定。（b） 模由 、 和
30、模构成。（c） （2）由 模和 构成。图2.2.10示出了简并模构成线偏振模的一个例子。,4. 导波模截止 一个导波模的特性可以用三个参数 U、W和 来表达，U表示导波模场在纤芯内部的横向分布规律，W表示它在包层中的横向分布规律，两者结合起来，就可以完整地描述导波模的横向分布规律， 是轴向的相位传播常数，表明导模的纵向传输特性，要得到特征方程的精确解，须用数值法求解。在此为了简化分析，只考虑两种极端情况下特征方程的解，这两种情况分别是导波模在截止和远离截止时的特性。 导波模截止是指电磁能量已经不能集中在纤芯中传播而向包层弥散的临界状态，此时的导波模径向归一化衰减常数0，将此时的归一化频率和归一
31、化相位常数分别记为U、V 。 通过由特征方程对、的求解，可以知道相应模式的截止条件，即光纤参数与工作波长的制约条件。 (1)TE、TM模的截止条件 由TE、TM模的特性方程（2.2.47）式和（2.2.48）式，在模式截止时，且由贝塞尔函数的渐近公式 可得 (2.2.53) 截止状态时的归一化相位常数（等于归一化频率）是零阶贝塞尔函数的零点，零阶贝塞尔函数有几穷多个零点：2.405，5.520，8.654 ,它们分别对应着 、 、模式的截止频率。 光波在光纤中传播时，如果工作波长、光纤参数a、n1、n2都是确定的，则归一化频率 是一个完全确定的数。如果大于某个模式的归一化频率，则有W0，该模式
32、可以在光纤中传播；反之，如果小于某个模式的归一化截止频率，则W2.408，则模就能在光纤中存在，所有和模中，和模的归一化截止频率最低、截止波长最大。,（2）HE模的截止条件 由于当 0时， 在m1和m 1时的渐近关系不同，所以分成两种情况来讨论： m1 根据模的特征方程（2.2.50a）式，有 (2.2.55) 在模式截止时， 0，模的特征方程可化为 (2.2.55) 零点有0，3.832,7.016,。它们依次对应着 HE11 、HE12、HE13 等模式的截止频率。 我们可以从上面的分析中得到一个重要结论，即HE11模的截止频率为零，或者说截止波长为无穷大，也即HE11模不会截止，它可以以
33、任意低的频率在光纤中传输。 HE11称为光纤中的基模或主模。当然，实际上如基模HE11的工作波长过长，其携带的能量将向包层转移，传输损耗将加大。 m 1 W=0时， 的渐近式为 ，将其代入HE模的特征方程（2.2.50a）式，并利用贝塞尔函数的递推公式 ，可得 (2.2.56) 这就是模HEnm（m1）在截止时的特征方程，表2.2.1示出了当m2和 m3时模对应的截止频率。,（3）EH模的截止条件 根据EH模的特征方程（2.2.49）式，在 时应用贝赛尔函数的渐近式，得到 模在截止条件下的特征方程为 (2.2.57) 归一化截止频率也就是阶贝赛尔函数的根。,5导波模远离截止 所谓远离截止时的导
34、波模是指归一化频率远大于归一化截止频率、能量几乎完全集中在纤芯中的模式状态。为了简化分析，我们将远离截止的状态看成极限情况，由于 ，当它趋于无穷时，等效于 趋于无穷大，此时电磁波的传输特性与平面波在折射率为n的无限介质中传播相似，其纵向相位常数 ，故（2.2.41）式可表示成 即 是模式远离截止的条件， 的渐近式为 (2.2.60) 利用上式，分别代入各模式的特征方程，可得远离截止时的特征方程为 模 (2.2.61) 模 (2.2.62) 模 (2.2.63) 对于 、 模，U值是一阶贝塞尔函数的根，它们分别是3.832，7.016，10.173，其中3.832是 和 模远离截止时的值，依此类
35、推。与前述截止时的值联系起来可以看出， 、 模的U值是限制在零阶贝塞尔函数的第个根与一阶贝赛尔函数的第个根之间的，对于一个确定的模，知道了U值的范围，在用数值法求解时可以大大加快求解过程的收敛速度。同样，我们可以知道，对于 模，U值的范围在 与 之间，表示m阶贝赛尔方程的第n个根。 模的 值的范围在 与 之间。 上述模式分析讨论的方法仅适用于阶跃型折射率的光纤，对于渐变折射率光纤并不适用。,2.3 单模光纤 2.3.1 单模传输条件及模场分布 根据上节的分析可以知道，HE11模是光纤的主模。如果光纤的归一化频率 ，TE01、TM01、HE21等低阶模就不会出现，光纤中只有HE11模传输，因此
36、或 (2.3.1) 就是阶跃型折射率光纤单模传输的条件，单模光纤的截止波长 （2.3.2） 当单模光纤中的光波长满足 ，即可实现单模传输。,通常单模光纤的纤芯半径在几个微米之内，这是从物理尺寸上保证单模传输的必要条件。单模阶跃光纤中，在弱导条件下，传输的基模HE11模可用线偏振模LP01来描述，即由方程(2.2.49)表征。将l=0代入 (2.2.52) 式，并利用递推公式，可得 (2.3.3) 其中 ，利用数值解，可求得在V=2.405时，U=1.645, W=1.753。 LP01模的横向电场可以表示为 (2.3.4) (2.3.5) 纤芯和包层传输的功率分别为P纤芯和P包层，则 (2.3
37、.6) (2.3.7) 将数值解代入（2.3.6）式和 (2.3.7) 式，可以算得纤芯中功率占总传输功率的84，包层中功率占16。V越小，包层中的功率就越多，例如，V=1时，纤芯和包层的功率比例分别是30和70。所以实际的单模光纤，归一化频率选在2.02.35之间，以保证单模传输的同时，大部分光功率集中在纤芯中传播。 在很多实际情况，LP01模的场分布可以用高斯函数来逼近，高斯函数同样可以描述抛物型折射率分布光纤中的主模LP00，其场分布为下列形式 (2.3.8a) (2.3.8b) 式中w称为模的半径，2w称为模场直径（MFD），MFD是单模光纤的一个重要参数，用它可以估算连接损耗、弯曲损耗及微弯损耗，当两根具有不同模场直径的光纤相连接时，插入损耗可由下面的公式估算 （2.3.9） 式中，w1、w2分别为两根光纤的模场半径。,
