1、 第 1 页 共 13 页 七年级数轴经典题型总结 (含答案 ) 【 1、 数轴 与实际问题 】 例 1 5 个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如下，那么北京时间 2006 年 6 月 17 日上午 9 时应是（ ） A、 伦敦时间 2006 年 6 月 17 日凌晨 1 时 B、 纽约时间 2006 年 6 月 17 日晚上 22 时 C、 多伦多时间 2006 年 6 月 16 日晚上 20 时 D、 首尔时间 2006 年 6 月 17 日上午 8 时 解： 观察数轴很容易看出各城市 与北京 的时差 例 2 在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所。已知
2、青少年宫在学校东 300 米处，商场在学校西 200 米处，医院在学校东 500 米处。将马路近似地看成一条直线，以学校为原点，以正东方向为正方向，用 1 个单位长度表示 100米。 在数轴上表 示出四家公共场所的位置。 计算青少年宫与商场之间的距离。 解： （ 1） （ 2） 青少年宫与商场相距： 3 ( 2)=5 个单位长度 所以：青少年宫与商场之间的距离 =5100=500(米 ) 城市名称 时差 北京时间 当地时间 纽约 5 8=13 17 日上午 9 时 9 13= 4， 24 4=20， 17 日晚上 20 时 多伦多 4 8=12 17 日上午 9 时 9 12= 3， 24 3
3、=21， 17 日晚上 21 时 伦敦 0 8= 8 17 日上午 9 时 9 8=1， 16 日 凌晨 1 时 首尔 9 8= 1 17 日上午 9 时 9+1=10， 16 日 上午 10 时 国际标准时间 （ 时 ）98- 5 - 4 0首尔北京伦敦多伦多纽约x商场 医院青少年宫学校第 2 页 共 13 页 练习 1、如图，数轴上的点 P、 O、 Q、 R、 S 表示某城市一条大街上的五个公交车站点，有一辆公交车距 P 站点 3km，距 Q 站点 0.7km，则这辆公交车的位置在（ ） A、 R 站点与 S 站点之间 B、 P 站点与 O 站点之间 C、 O 站点与 Q 站点之间 D、
4、Q 站点与 R 站点之间 解：判断公交车在 P 点右侧，距离 P： ( 1.3)+3=1.7(km)，即在原点 O 右侧 1.7 处 ， 位于Q、 R 间 而公交车 距 Q 站点 0.7km， 距离 Q： 0.7+1=1.7(km)，验证了， 这辆公交车的位置在 Q、R 间 2、 如图，在一条数轴上有依次排列的 5 台机床在工作，现要设置一个零件供应站 P ，使这 5 台机床到供应站 P 的距离总和最小，点 P 建在哪？最小值为多少？ 解： （此题是实际问题，涉及绝对值表示距离， 后面会有更深入的理解 ） 此题揭示了，问题过于复杂时，要“以退为进”，回到问题 的起点，找出规律。 后面你还会遇到
5、这种处理问题的办法。 （ 1）假设数轴上只有 A、 B 二 台机床时，很明显，供应站 P 应该是设在 A 和 B 之间的任何地方都行， 反正 P 到 A 和 P 到 B 的距离之和就是 A 到 B 的距离 ，值为 ： 1 ( 1)=2； （ 2）假设数轴上有 A、 B、 C 三台机床时， 我们不难想到，供应站设在中间一台机床 B 处最合适，因为如果 P 放在 B 处， P 到 A 和 P 到 C 的 距离 之和恰好为 A 到 C 的距离，而如果把P 放在别处，如 原点 处， P 到 A 和 P 到 C 的距离之和 仍是 A 到 B 的距离 ，可是 B 机床 到原点 还有一段 距离 ，这是多出来
6、的，所以， P 设在 B 处 时， P 到 A、 B、 C 的距离总和最小，值为 ： 2 ( 1)=3； （ 3） 如果 数轴 上有 A、 B、 C、 D 四 台机床， 经过分析， P 应设 BC 之间任何地方 ，此时 P 到 A、B、 C、 D 的距离总和最小，值为： 4 ( 1)+BC 距离 =5+1=6； （ 4）如果数轴上有 有 5 台机床呢 ，经过分析， P 应设在 C 处，此时 P 到 5 台机床的距离总和最小，值为： AE距离 +BC 距离 +CD 距离 =9+1+2=12； （ 5）扩展：如果数轴上有 n 台机床，要找一点 P，使得 P 到各机床距离之和最小 如果 n 为奇数，
7、 P 应设在第 12n台的位置 8421- 1EDCBA第 3 页 共 13 页 如果 n 为偶数， P 可设在 第2n台和第 ( 12n)台之间任意位置 规律探索无处不在，你体会到了吗？ 此题可变为： A、当 x 为何值时，式子 | 1 | | 1 | | 2 | | 4 | | 8 |x x x x x 有最小值，最小值为多少？ B、 求 | 1 | | 2 | | 3 | . . . . . . | 6 1 7 |x x x x 的最小值。 3、 老师在黑板上画数轴，取了原点 O 后，用一个铁丝做的圆环作为工具，以圆环的直径在数轴上画出单位长 1，再将圆环拉直成一线段，在 数轴的正方向
8、上以此线段长自原点 O 起截得 A点，则 A 点表示的数是 _。 解：由题知：直径为 1 个单位长度，那么半径为 12的单位长度，圆的周长为： 122个单位长度 圆从原点沿着 数轴的正方向 拉直， 那么点 A 表示的数就是 要注意审题，此题告诉我们无理数也可以在数轴上表示出来 。 【 2、 数轴 与 比较有理数的大小 】 例 3 已知 a、 b、 c在数轴上的位置如图。则在 1a， a ， cb ， ca 中，最大的一个是（ ） A a B cb C ca D 1a解： 应试法： 设数代入计算下最快速，如设 a= 45， b=12， C=45，一下就可以得出答案 D 正式的做法就是分析， a
9、是负数且介于 0 和 1 之间，那么 1a是正数且大于 1， a 是 a的相反数，应该在 C 附近， cb 显然也是小于 1， ca 由图知趋近于 0，综上，答案还是 D 例 4 三个有理数 a、 b、 c在数轴上的位置如图所示，则（ ） A 1 1 1c a c b a b B 1 1 1b c c a b a C 1 1 1c a b a b cD 1 1 1a b a c b c 解： 应试法：设数代入计算下最快速，如设 c=1， b=2， c=4， 代入计算， 可以得出答案 B 正式的做法就是 逐个分析，采取排除法，跳出正确选项。 A 中， 0 , 0 , 0c a c b a b ，
10、显然错误； B 中， 0 , 0 , 0b c c a b a ， 11| | | | , ,c a b a c a b ac a b a ，因 此 B 对 1cb0a- 1c b a第 4 页 共 13 页 ca 与 ba 都是负数，绝对值大的，反而小，取倒数，分母大的，反而小 C、 D 为什么错自己试一试 分析 。 练习 1、 己知 a ， b 两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）。 A ab B 0ab C 0ba D 0ab 解： 由题知 0ba，因此 A 对 。 2 个负数之积大于 0，故 B 错，数轴左边的数比右边的数小，所以 C 错， 2 个负数之和还是负数，则
11、D 错。 2、 如图，数轴上 A、 B两点分别对应实数 a 、 b 则下列结论正确的是（ ） A 0ab B ba C 0ab D 0ab 解： 由题知， 1 0 1ba ， 故 B 错 | | | |ba ， ba ，则 0ab ，故 A、 D 错； 0, 0ab 0ab ，故 C 对 3、 若两个非零的有理数 a、 b，满足： |a|=a， |b|=-b， a+b 0，则在数轴上表示数 a、 b 的点 正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 解： |a|=a，说明 0a ， |b|=-b，则 0b ， a+b 0，说明 | | | |ab ，即 b 离原点更远 故 C 是对的 【 3、 寻
12、找 、判断 数轴 上的点 】 例 5 如图，数轴上的 A、 B、 C 三点所表示的数分别是 a、 b、 c，其中 AB=BC，如果 |a| |b| |c|，那么该数轴的原点 O 的位置应该在（ ） A、 点 A 的左边 B、 点 A 与点 B 之 间 C、 点 B 与点 C 之间 D、 点 B 与点 C 之间或点 C 的右边 解： 答案 D，用排除法 0b aB Aab - 1 10第 5 页 共 13 页 例 6 如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点 A、 B、 C、 D 对应的数分别为整数 a、 b、 c、 d，且 24da。试问：数轴上的原点在哪一点上？ 解： 由于
13、每相邻的两点相距一个单位长度 所以有： 3da ，代入式子 24da 则 1a ，所以原点在 B 处 练习 1、 在数轴上，坐标是整数的点称为 “ 整点 ” 。设数轴的单位长度是 1 厘米，若在这个数轴上随意画出一条 长 2008 厘米的线段 AB， 则线段 AB盖住的整点至少有 _个，至多有 个。 解： 2008 太大，以退为进 ，假设线段 AB 长为 1，易知 AB盖住的整点至少有 1 个，至多有 2个 假设线段 AB 长为 2，易知 AB盖住的整点至少有 2 个，至多有 3 个，所以： 本题， 线段 AB盖住的整点至少有 2008 个，至多有 2009 个。 2、 如图，数轴上标出若干个
14、点，每相邻两点相 距 1 个单位，点 A、 B、 C、 D对应的整数 a、 b、c、 d， 且 29ba，那么数轴的原点对应点是（ ）。 A、 A点 B、 B点 C、 C点 D、 D点 解： 由题知， 4ba ，代入 29ba 则 5, 1ab ，所以原点是 C 点 3、 如图所示，圆的周长为 4 个单位长度，在圆的 4 等分点处标上字母 A， B， C， D，先将圆周上的字母 A 对应的点与数轴的数字 1 所对应的点重合，若将圆沿着数轴向左滚动 ， 那么数轴上的 2010 所对应的点将与圆周上字母所对应的点（ ）重合 解： 2010 到 1 之间有： 1（ 2010） +1=2012 个数
15、A 对应 1， B 对应 0， C 对应 1， D 对应 2，以此类推， 4 个数为 1 循环节 而 20124=303 余数 0，正好循环完，所以数轴上 的 2010 所对应的点是 D A B C D M N a b c d DCBA第 6 页 共 13 页 【 4、与 数轴 有关的计算 】 例 7 如图所示，在数轴上有六个点，点 F 所表示的数是 8 ， 4AF 且A B B C C D D E E F ， 则与点 C 所表示的数最接近的整数是 。 解： 可用方程来做，没学就这么做 因为 4AF ， A B B C C D D E E F 易知： A B B C C D D E E F =
16、0.8 ，则 C 到 F： 0.83=2.4， 因为 点 F 所表示的数是 8 所以点 C 表示的数： 8 2.4=5.6， 那么与 5.6 最接近的整数是 6 例 8 上午 8 点，某人驾驶一辆汽车从 A 地出发，向东记为正，向西记为负。记录前 4 次行驶过程如下： -15 公里， +25 公里， -20 公里， +30 公里，若要汽车最后回到 A 地，则最后一次如何行驶？已知汽车行驶的速度为 55 千米 /小时，在这期间他办事花去 2 小时，问他回到 A 地的时间？ 解： 前 4 次行驶完成后，汽车 位于： 1 5 2 5 2 0 3 0 2 0 A 点东边 20 公里处 若要汽车最后回到
17、 A 地，则最后一次： 20 ，即向西行进 20 公里 总共路程： | 1 5 | 2 5 | 2 0 | 3 0 | 2 0 | 1 1 0 ，路上花费时间： 11055=2 小时 期间他办事花去 2 小时，所以总共耗时 4 小时，他回到 A 地的时间： 8+4=12 练习 1、 如图，数轴上有 6 个点，且相邻两点间的距离都相等，则与 D 点所表示的数最接近的整数是 _。 解： AF= 7 ( 5) 12 , A B B C C D D E E F 则 A B B C C D D E E F =125=2.4 则 A 到 C 距离： 2.42=4.8， 因为 点 A 所表示的数是 5 ，所
18、以点 C 表示的数是 ：5 4.8 0.2 故 与 0.2 最接近的整数是 0 2、 某一电子昆虫落在数轴上的某点0k，从0k点开始跳动，第 1 次向左跳 1 个单位长度到1k，第 2 次由1k向右跳 2 个单位长度到2k，第 3 次由2k向左跳 3 个单位长度到3k，第 4 次由3k向右跳 4 个单位长度到4k，依此规律跳下去，当它跳第 100 次落下时，电子昆虫在数轴上的落点FEDCBA第 7 页 共 13 页 100k表示的数恰好是 2010，则电子昆虫的初始位置0k所表示的数是 _。 解： 向左为负，向右为正，电子昆虫所走过的路程 S 为： S= 1 2 3 4 . . . . . .
19、 9 9 1 0 0 = ( 2 4 6 . . . . 1 0 0 ) ( 1 3 5 . . . . . . 9 9 ) 其中 2+4+6+100=(2 100) 502=2550 1+3+5+99=(1 99) 502=2500 故 S=2550 2500=50 由题知：0k+50=2010，故0k=1960 3、 一青蛙要从 A 点跳到 B 点，以平均每分钟 2 米的速度跳跃 。 它先前进 1 米，再后退 2 米，又前进 3 米，再后退 4 米， （每次跳跃都在 A、 B 两点所在的直线上） （ 1） 5 分钟后它离 A 点多远？ （ 2）若 A、 B 两点相距 100 米，它可能到达
20、 B 点吗？如果能，它第一次到达 B 点需要多长时间？如果不能，请说明理由 。 解： （ 1） 5 分钟青蛙走过路程 S=52=10 米，路程 S 还 可表示为： S=1 | 2 | 3 | 4 | 1 0 设 A 点为数轴原点， 记前进为正，后退为负， 5 分钟 后 青蛙 在 ： 1 2 3 4 2 ，即 5 分钟后它离 A 点 2 米 （ 2） 由第一问我们可以看出，青蛙每跳 2 次，从 A 点向 B 点前进 1 米， 因为 AB 两点相 距 100 米，所以青蛙要跳 200 次才可以到达 B 点， 所以青蛙青蛙跳跃的总路程为 1+2+3+ +199+200=（ 1+200） 200 2=
21、20100（米）， 则需要 20100 2=10050（分钟） 三、利用数轴，深入认识绝对值 例 9 观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与 2， 3 与 5， 2 与 6， 4 与 3。 并回答下列各题： （ 1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？ _ （ 2） |x |的几何意义是数轴上表示 _的点与 _之间的距离； 按照 （ 1） 的理解， |x |_|x 0|（ ， ， |c 时，有 2ac ，故 20ac 故 cabacbca 2= 24a c b c a b a c a c 当 2| |a |c 时，有 2ac ，故 20ac 故 cabacbca 2=
22、23a c b c a b a c c c 0 b a 第 12 页 共 13 页 练习 1、 如图所示，根据数轴上给出的 a、 b、 c 的条件，试说明 a b b c a c 的值与 c 无关。 解： 由题知 0b a c 把握一条数轴上左边的数小于右边的数 则 0 , 0 , 0a b b c a c 故 a b b c a c = 22a b c b a c a b 小心去括号错误 结果与 C 无关 2、 已知有理数 cba , 在数轴上的对应的位置如下图：则 bacac 1 化简后的结果是（ ） A、 1b B、 12 ba C、 cba 221 D、 bc21 解：由题知 1 0
23、, 0 , 0c a c a b bacac 1 =1 1 2c a c b a c b 3、 已知 dcba , 为有理数，在数轴上的位置如图所示： 且 ,64366 dcba 求 cbabda 22323 的值。 解： 由图知， 0d b a c 因为 ,64366 dcba 所以 3| | 1 , | | 1 , | | 2 , | |2a b c d ，那么： 31 , 1 , 2 ,2a b c d 所以 cbabda 22323 3| 3 1 2 ( ) | | 3 ( 1 ) 2 1 | | 2 ( 1 ) 2 |2 cbabda 22323 =5 【 3、 编外： 非负性解题
24、】 （ 1） 若有 x， y 满足 22 0 0 2 ( 1 ) 1 2 1 0x x y ，则 22xy 的 值 为 多 少 ？ 解： 2( 1 ) 0 , | 1 2 1 | 0x x y ，故要使 22 0 0 2 ( 1 ) 1 2 1 0x x y ，则必有 2( 1 ) 0 , | 1 2 1 | 0x x y ，所以 11,6xyO a b- 1 cO abd cab c0第 13 页 共 13 页 2 2 2 21 3 71 ( )6 3 6xy （ 2） 已知 |ab 2|与 |a 1|互为相互数，试求下式的值 1 1 1 11 1 2 2 2 0 0 7 2 0 0 7a b a b a b a b 解： |ab 2|与 |a 1|互为相互数 ，即 | - 2 | | - 1 | 0a b a 故 1, 2ab， 1 1 1 11 1 2 2 2 0 0 7 2 0 0 7a b a b a b a b = 1 1 1 11 2 2 3 3 4 2 0 0 8 2 0 0 9 = 1 1 1 1 1 1 11 . . . . . .2 2 3 3 4 2 0 0 8 2 0 0 9 = 1 200812009 2009
