1、 1 全等三角形的判定题型 类型一、全等三角形的判定 1 “边边边” 例题 、 已知：如图， AD BC， AC BD.试证明： CAD DBC. (答案）证明：连接 DC， 在 ACD与 BDC中 A D B CA C B DC D D C 公 共 边 ACD BDC（ SSS） CAD DBC（全等三角形对应角相等） 类型二、 全等三角形的判定 2 “边角边” 例题 、 已知，如图，在四边形 ABCD中， AC平分 BAD， CE AB于 E，并且 AE 12（ AB AD），求证： B D 180 . (答案）证明：在线段 AE上，截取 EF EB，连接 FC， CE AB， CEB C
2、EF 90 在 CBE和 CFE中， C E B C E FE C = E CE B E F CBE和 CFE（ SAS） B CFE AE 12（ AB AD）， 2AE AB AD AD 2AE AB AE AF EF， AD 2（ AF EF） AB 2AF 2EF AB AF AF EF EB AB AF AB AB，即 AD AF 在 AFC和 ADC中 (A F A DF A C D A CA C A C 角 平 分 线 定 义 ） AFC ADC（ SAS） AFC D AFC CFE 180， B CFE. AFC B 180， B D 180 . 类型三、全等三角形的判定 3
3、 “角边角” 例题、 已知：如图，在 MPN 中， H是高 MQ和 NR的交点，且 MQ NQ 求证： HN PM. 证明： MQ和 NR是 MPN 的高， MQN MRN 90， 又 1 3 2 4 90， 3 4 1 2 在 MPQ和 NHQ中， 12M Q N QM Q P N Q H MPQ NHQ（ ASA） PM HN 2 类型四、全等三角形的判定 4 “角角边” 例题 、 已知 Rt ABC 中， AC BC， C 90， D 为 AB 边的中点， EDF 90， EDF 绕 D点旋转，它的两边分别交 AC、 CB于 E、 F当 EDF 绕 D点旋转到 DE AC于 E时（如图
4、1），易证 12D E F C E F A B CS S S ；当 EDF 绕 D 点旋转到 DE 和 AC 不垂直时，在图 2 情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明 . 解：图 2成立； 证明图 2：过点 D 作 D M A C D N B C， 则 90D M E D N F M D N 在 AMD和 DNB中， A M D = D N B = 9 0ABA D B D AMD DNB（ AAS） DM DN MDE EDN NDF EDN 90， MDE NDF 在 DME与 DNF中， 90E M D F D ND M D NM D E N
5、D F DME DNF（ ASA）DM E DNFSS D E F C E FD M C N D E C FS = S = S S . 四 边 形 四 边 形可知A B CD M C N 1S = S2 四 边 形， 12D E F C E F A B CS S S 类型五、直角三角形全等的判定 “ HL” 下列说法中，正确的画“”；错误的画“”，并举出反例画出图形 . （ 1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等（ ） （ 2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等（ ） （ 3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等（ ） (答案） （ 1）；（ 2）；在 AB
6、C和 DBC 中， AB DB， AE和 DF是其中一边上的高，AE DF （ 3） . 在 ABC和 ABD中， AB AB， AD AC， AH为第三边上的高， 如下图： 1、 已知：如图， DE AC， BF AC， AD BC， DE BF.求证： AB DC. (答案与解析） 证明： DE AC， BF AC， 3 在 Rt ADE与 Rt CBF中.AD BCDE BF ， Rt ADE Rt CBF （ HL） AE CF， DE BF AE EF CF EF，即 AF CE 在 Rt CDE与 Rt ABF 中， D E B FD E C B F AE C F A Rt CDE
7、 Rt ABF（ SAS） DCE BAF AB DC. (点评） 从已知条件只能先证出 Rt ADE Rt CBF，从结论又需证 Rt CDE Rt ABF.我们可以从已知和结论向中间推进，证出题目 . 2、 如图， ABC中， ACB 90， AC BC， AE是 BC边上的中线， 过 C作 CF AE，垂足为 F，过 B作 BD BC交 CF 的延长线于 D. （ 1）求证： AE CD； （ 2）若 AC 12cm ，求 BD 的长 . (答案与解析） （ 1）证明： DB BC， CF AE， DCB D DCB AEC 90 D AEC 又 DBC ECA 90，且 BC CA，
8、DBC ECA（ AAS） AE CD （ 2）解：由（ 1）得 AE CD， AC BC， CDB AEC（ HL） BD EC 12BC 12AC，且AC 12 BD 6cm (点评） 三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件 三角形角平分线的性质 三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相 等 . 三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点 .这点叫做三角形的旁心 .三角形有三个旁心 .所以到三
9、角形三边所在 直线距离相等的点共有4 个 .如图所示： ABC 的内心为1P，旁心为2 3 4,P P P，这四个点到 ABC 三边所在直线距离相等 . 角的平分线的性质及判定 1、 如图， AD是 BAC的平分线， DE AB，交 AB的延长线于点 E， DF AC于点 F，且 DB DC.求证： BE CF. (答案） 证明： DE AE， DF AC， AD是 BAC的平分线， DE DF， BED DFC 90 在 Rt BDE与 Rt CDF中 ， DB DCDE DF， Rt BDE Rt CDF（ HL） BE CF 4 2、如图， AC=DB， PAC与 PBD的面积相等求证：
10、 OP平分 AOB (答案与解析） 证明：作 PM OA于 M， PN OB于 N 12PACS A C P M， 12PBDS B D P N，且PACS PBDS 12 AC PM 12 BD PN又 AC BD PM PN 又 PM OA， PN OB OP平分 AOB (点评） 观察已知条件中提到的三角形 PAC 与 PBD，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得 .跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果 . 3、 如图， DC AB， BAD 和 ADC的平分线相交于 E，过 E的 直线 分别交 DC、
11、AB于 C、 B两点 . 求证： AD AB DC. (答案） 证明：在线段 AD 上取 AF AB，连接 EF， AE是 BAD的角平分线， 1 2， AF AB AE AE， ABE AFE， B AFE 由 CD AB又可得 C B 180， AFE C 180， 又 DFE AFE 180， C DFE， DE是 ADC的平分线， 3 4， 又 DE DE， CDE FDE， DF DC， AD DF AF， AD AB DC 类型一、全等三角 形的性质和判定 如图，已知： AE AB， AD AC， AB AC， B C， 求证： BD CE. (答案 )证明： AE AB， AD
12、AC， EAB DAC 90 EAB DAE DAC DAE ，即 DAB EAC. 在 DAB与 EAC中， D A B E A CA B A CBC DAB EAC （ SAS） BD CE. 类型二、巧引辅助线构造全等三角形 (1)作公共边可构造全等三角形： 1、在 ABC中， AB AC.求证： B C (答案 )证明：过点 A作 AD BC在 Rt ABD与 Rt ACD中 AB ACAD AD Rt ABD Rt ACD（ HL） B C. 5 (2)倍长中线法： 1、 已知：如图所示， CE、 CB 分别是 ABC与 ADC的中线，且 ACB ABC 求证： CD 2CE (答案
13、） 证明： 延长 CE 至 F使 EF CE，连接 BF EC为中线， AE BE 在 AEC与 BEF中， , ,A E B EA E C B E FC E E F AEC BEF（ SAS） AC BF， A FBE（全等三角形对应边、角相等） 又 ACB ABC， DBC ACB A， FBC ABC A AC AB， DBC FBC AB BF 又 BC为 ADC的中线， AB BD即 BF BD 在 FCB与 DCB中， , ,B F B DF B C D B CB C B C FCB DCB（ SAS） CF CD即 CD 2CE 2、 若三角形的两边长分别为 5和 7, 则第三边
14、的中线长 x 的取值范围是 ( ) A.1 x 6 B.5 x 7 C.2 x 12 D.无法确定 (答案 )A ；提示：倍长中线构造全等三角形， 7 5 2x 7 5，所以选 A 选项 . (3).作以角平分线为对称轴的翻折变换构造全等三角形： 如图， AD是 ABC 的角平分线， H， G分别在 AC， AB上，且 HD BD. (1)求证： B与 AHD 互补； (2)若 B 2 DGA 180，请探究线段 AG与线段 AH、 HD之间满足的等量关系，并加以证明 . (答案） 证明：（ 1） 在 AB上取一点 M, 使得 AM AH, 连接 DM. CAD BAD, AD AD, AHD
15、 AMD. HD MD, AHD AMD. HD DB, DB MD. DMB B. AMD DMB 180, AHD B 180. 即 B与 AHD互补 . （ 2）由（ 1） AHD AMD, HD MD, AHD B 180. B 2 DGA 180, AHD 2 DGA. AMD 2 DGM. AMD DGM GDM. 2 DGM DGM GDM. DGM GDM. MD MG. HD MG. AG AM MG, AG AH HD. （ 3） .利用截长 (或补短 )法作构造全等三角形： 1、 如图， AD是 ABC的角平分线， AB AC,求证： AB AC BD DC (答案） 证
16、明：在 AB上截取 AE AC,连结 DE AD是 ABC的角平分线， BAD CAD M GH DCBAED CBA6 在 AED与 ACD中ADADCADBADACAE AED ADC（ SAS） DE DC 在 BED中， BE BD DC 即 AB AE BD DC AB AC BD DC 2、 如图所示，已知 ABC 中 AB AC， AD是 BAC的平分线， M是 AD上任意一点，求证： MB MC AB AC (答案与解析 ) 证明： AB AC，则在 AB 上截取 AE AC，连接 ME在 MBE 中， MB ME BE（三角形两边之差小于第三边） 在 AMC和 AME中， (
17、) ()()A C A EC A M E A MA M A M 所 作 ，角 平 分 线 的 定 义 ，公 共 边 ， AMC AME（ SAS） MC ME（全等三角形的对应边相等） 又 BE AB AE， BE AB AC， MB MC AB AC (点评 )因为 AB AC，所以可在 AB上截取线段 AE AC，这时 BE AB AC，如果连接 EM，在BME中，显然 有 MB ME BE这表明只要证明 ME MC，则结论成立充分利用角平分线的对称性，截长补短是关键 . （ 4） .在角的平分线上取一点向角的两边作垂线段 . 1、 如图所示，已知 E为正方形 ABCD的边 CD的中点，点
18、 F在 BC上，且 DAE FAE 求证： AF AD CF (答案与解析） 证明： 作 ME AF于 M，连接 EF 四边形 ABCD为正方形， C D EMA 90 又 DAE FAE， AE为 FAD的平分线， ME DE 在 Rt AME与 Rt ADE中， ()()A E A ED E M E公 用 边 ，已 证 ， Rt AME Rt ADE(HL) AD AM(全等三角形对应边相等 ) 又 E为 CD中点， DE EC ME EC 在 Rt EMF与 Rt ECF中， ()(M E C EE F E F已 证 ，公 用 边 ) ， Rt EMF Rt ECF(HL) MF FC(
19、全等三角形对应边相等 ) 由图可知： AF AM MF， AF AD FC(等量代换 ) (点评） 与角平分线有关的辅助线： 在角两边截取相等的线段，构造全等三角 形；在角的平7 分线上取一点向角的两边作垂线段 . 四边形 ABCD为正方形，则 D 90而 DAE FAE说明 AE 为 FAD的平分线，按常规过角平分线上的点作出到角两边的距离，而 E 到 AD 的距离已有，只需作 E 到 AF 的距离 EM 即可，由角平分线性质可知 MEDE AE AE Rt AME 与 Rt ADE全等有 AD AM而题中要证 AF AD CF根据图知 AF AM MF故只需证 MF FC即可从而把证 AF
20、 AD CF转化为证两条线段相等的问题 2、 如图所示，在 ABC中， AC=BC， ACB=90， D是 AC上一点， 且 AE垂直 BD的延长线于 E， 12AE BD，求证： BD是 ABC的平分线 (答案与解析） 证明：延长 AE和 BC，交于点 F， AC BC， BE AE， ADE= BDC（对顶角相等）， EAD+ ADE= CBD+ BDC即 EAD= CBD 在 Rt ACF和 Rt BCD中 所以 Rt ACF Rt BCD（ ASA） 则 AF=BD（全等三角形对应边相等） AE= BD， AE= AF，即 AE=EF 在 Rt BEA和 Rt BEF中， 则 Rt B
21、EA Rt BEF（ SAS） 所以 ABE= FBE（全等三角形对应角相等），即 BD 是 ABC的平分线 (点评） 如果由题目已知无法直接得到三角形全等，不妨试着添加辅助线构造出三角形全等的条件，使问题得以解决平时练习中多积累一些辅助线的添加方法 . 类型三、全等三角形动态型问题 解决动态几何问题时要善于抓住以下几点： (1) 变化前的结论及说理过程对变化后的结论及说理过程起 着至关重要的作用； (2) 图形在变化过程中，哪些关系发生了变化，哪些关系没有发生变化；原来的线段 之间、角之间的位置与数量关系是否还存在是解题的关键； (3) 几种变化图形之间，证明思路存在内在联系，都可模仿与借鉴
22、原有的结论与过程， 其结论有时变化，有时不发生变化 1、已知：在 ABC中， BAC 90， AB AC，点 D为射线 BC上一动点，连结 AD，以 AD为一边且在 AD的右侧作正方形 ADEF （ 1）当点 D在线段 BC上时（与点 B不重合），如图 1， 求证： CF BD （ 2）当点 D运动到线段 BC 的延长线上时，如图 2， 第（ 1）问中的结论是否仍然成立，并说明理由 . 8 (答案） 证明：（ 1）正方形 ADEF AD AF， DAF 90 DAF DAC BAC DAC，即 BAD CAF 在 ABD和 ACF 中， A B A CB A D C A FA D A F AB
23、D ACF（ SAS） BD CF （ 2） 当点 D运动到线段 BC的延长线上时，仍有 BD CF 此时 DAF DAC BAC DAC，即 BAD CAF 在 ABD和 ACF中， A B A CB A D C A FA D A F ABD ACF（ SAS） BD CF 2、如图 (1)， ABC中， BC AC， CDE中， CE CD，现把两个三角形的 C点重合，且使 BCA ECD，连接 BE， AD求证： BE AD若将 DEC 绕点 C旋转至图 (2)， (3)所示的情况时，其余条件不变， BE与 AD还相等吗 ?为什么 ? (答案 )证明： BCA ECD， BCA ECA ECD ECA，即 BCE ACD 在 ADC与 BEC中 A C D = B C EA C B CC D C E ADC BEC(SAS) BE AD 若将 DEC绕点 C 旋转至图 (2)， (3)所示的情况时，其余条件不变， BE与 AD还相等，因为还是可以通过 SAS证明 ADC BEC.
