1、 第 1 页（共 19 页） 初一实数所有知识点总结和常考题 知识点： 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 整数包括正整数、零、负整数。 正整数又叫自然 数。 正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 2、无理数 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （ 1）开方开不尽的数，如 3 2,7 等； （ 2）有特定意义的数，如圆周率 ，或化简后含有 的数，如3+8 等； （ 3）有特定结构的数，如 0.1010010001等； 二、实数的倒数、相反数和绝对值
2、 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零）， 从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有 a+b=0， a= b，反之亦成立。 2、绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离， |a|0。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数，若 |a|=a，则 a0；若 |a|=-a，则 a0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、倒数 如果 a 与 b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1 和 -1。零没有倒数。 4. 实数与数轴上点的关系
3、： 每一个无理数都可以用数轴上的一个点表 示出来， 数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数， 实数与数轴上的点就是一一对应的，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都是表示一个实数。 三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根 （ 1） 平方根的定义：如果 一个数 x 的 平方 等于 a， 那么这个数 x 就叫做 a 的 平方根 即：如果 ax 2 ， 那么 x 叫做 a 的 平方根 第 2 页（共 19 页） （ 2） 开平方的定义：求一个数的 平方根 的运算 ， 叫做 开平方 开平方 运算的 被开方数必须是 非负数 才 有意义。 （ 3） 平方与 开平方 互为
4、逆运算 ： 3 的平方等于 9， 9 的平方根是 3 （ 4） 一个 正数 有 两个 平方根， 即 正数 进行 开平方 运算有 两个 结果 ； 一个 负数 没有 平方根， 即 负数不能 进行 开平方 运算 （ 5） 符号： 正数 a 的 正 的 平方根 可用 a 表示， a 也是 a 的 算术平方根； 正数 a 的 负 的 平方根 可用 - a 表示 （ 6） ax 2 ax a 是 x 的平方 x 的平方是 a x 是 a 的平方根 a 的平方根是 x 2、算术平方根 （ 1） 算术平方根的定义 ： 一般地，如果 一个正数 x 的 平方 等于 a， 即 ax 2 ，那么这个 正数 x 叫做
5、a 的算术平方根 a 的算术平方根记为 a ，读作 “根号a”， a 叫做 被开方数 规定： 0 的算术平方根是 0. 也就是，在等式 ax 2 (x0)中，规定 ax 。 （ 2） a 的结果有 两种情况： 当 a 是 完全平方数 时 ， a 是一个 有限数； 当 a 不是一个完全平方数 时， a 是一个 无限不循环小数。 （ 3） 当 被开方数 扩大 时，它的 算术平方根 也 扩大； 当 被开方数 缩小 时与它的算术平方根也 缩小 。 （ 4） 夹值法 及估计一个（无理）数的大小 （ 5） ax 2 (x0) ax a 是 x 的平方 x 的平方是 a x 是 a 的算术平方根 a 的算术
6、平方根是 x （ 6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 a （ a 0） 0a aa 2 ；注意 a 的双重非负性： -a （ a 3 ax a 是 x 的立方 x 的立方是 a x 是 a 的立方根 a 的立方根是 x （ 6） 33 aa ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 四、科学记数法和近似数 1、有效数字 一个近似数四 舍五入到哪一位，就说它精确到哪一位，这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字，都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法 把一个数写做 na 10 的形式，其中 101 a ， n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 五、
7、实数大小的比较 1、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 2、实数大小比较的 几种常用方法 （ 1）数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 （ 2）求差比较：设 a、 b 是实数， ,0 baba ,0 baba baba 0 （ 3）求商比较法：设 a、 b 是两正实数， ;1;1;1 babababababa （ 4）绝对值比较法：设 a、 b 是两负实数，则 baba 。 （ 5）平方法：设 a、 b 是两负实数，则 baba 22 。 六、实
8、数的运算 第 4 页（共 19 页） 1、加法交换律 abba 2、加法结合律 )()( cbacba 3、乘法交换律 baab 4、乘法结合律 )()( bcacab 5、乘法对加法的分配律 acabcba )( 6、 实 数混合运算时，对于运算顺序有什么规定？ 实 数混合运算时，将运算分为三级，加减为一 级运算，乘除为二能为运算，乘方为三级运算。同级运算时，从左到右依次进行；不是同级的混合运算，先算乘方，再算乘除，而后才算加减；运算中如有括号时，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序进行。 7、 有理数除法运算法则就什么？ 两 有 理数除法运算法则可用两种方式来表述：第一，除以一
9、个不等于零的数，等于乘以这个数的倒数；第二，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任何一个不为零的数，商都是零。 8、什么叫有理数的乘方？幂？底数？指数？ 相同因数相乘积的运算叫乘方，乘方的结果叫幂，相同因 数的个数叫指数，这个因数叫底数。记作 : an 9、有理数乘方运算的法则是什么？ 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数。零的任何正整数幂都是零。 10、加括号和去括号时各项的符号的变化规律是什么？ 去（加）括号时如果括号外的因数是正数，去（加）括号后式子各项的符号与原括号内的式子相应各项的符号相同；括号外的因数是负数去（加）括号后式子各项的符号与原括
10、号内式子相应各项的符号相反。 常考题： 一选择题（共 13 小题） 1 9 的平方根为（ ） A 3 B 3 C 3 D 2 的算术平方根是（ ） A 2 B 2 C D 3下列各组数中，互为相反数的一组是（ ） A 2 与 B 2 与 C 2 与 D | 2|与 2 4如图，数轴上 A， B 两点分别对应实数 a， b，则下列结论正确的是（ ） A a+b 0 B ab 0 C a b 0 D |a| |b| 0 5估算 2 的值（ ） A在 1 到 2 之间 B在 2 到 3 之间 C在 3 到 4 之间 D在 4 到 5 之间 6估计 的值（ ） A在 3 到 4 之间 B在 4 到 5
11、 之间 C在 5 到 6 之间 D在 6 到 7 之间 第 5 页（共 19 页） 7估计 +3 的值（ ） A在 5 和 6 之间 B在 6 和 7 之间 C在 7 和 8 之间 D在 8 和 9 之间 8一个正方形的面积是 15，估计它的边长大小在（ ） A 2 与 3 之间 B 3 与 4 之间 C 4 与 5 之间 D 5 与 6 之间 9如图，在数轴上表示实数 的点可能是（ ） A点 P B点 Q C点 M D点 N 10数轴上表示 1， 的对应点分别为 A， B，点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 所表示的数是（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 11下列说法不正确的是
12、（ ） A 1 的平 方根是 1 B 1 的立方根是 1 C 是 2 的平方根 D 3 是 的平方根 12下列各数中， 3.14159， ， 0.131131113（相邻两个 3 之间 1 的个数逐次加 1 个）， ， ， ，无理数的个数有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 13实数 a， b， c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A ac bc B |a b|=a b C a b c D a c b c 二填空题（共 13 小题） 14 的平方根是 15 8 的立方根是 16 的算术平方根是 17（ ） 2= 18已知 a、 b 为两个连续的整数，且
13、 ，则 a+b= 19已知一个正数的平方根是 3x 2 和 5x+6，则这个数是 20若实数 a、 b 满足 |a+2| ，则 = 21比较大小： 3 2 22 = 23 5 的小数部分是 24比较大小： （填 “ ”“ ”“=”） 25若 x， y 为实数，且 ，则（ x+y） 2010 的值为 第 6 页（共 19 页） 26若将三个数 表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 三解答题（共 14 小题） 27计算：（ 2） 2+（ 3） 2 28计算：（ 2） 2+| 1| 29求值： +（ ） 2+（ 1） 2015 30阅读下面的文字，解答问题： 大家知道 是无理数，而无理数是
14、无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为 的整数部分是 1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 又例如： ， 即 ， 的整数部分为 2，小数部分为 请解答：（ 1）如果 的小数部分为 a， 的整数部分为 b，求 的值； （ 2）已知： ，其中 x 是整数，且 0 y 1，求 x y 的相反数 31已知： x 2 的平方根是 2， 2x+y+7 的立方根是 3，求 x2+y2 的算术平方根 32已知， a、 b 互为倒数， c、 d 互为相反数，求 的值 33设 2+ 的整数部分和小
15、数部分分别是 x、 y，试求 x、 y 的值与 x 1 的算术平方根 34计算：（ 2） 2（ 3 5） +2 （ 3） 35（ 1）有这样一个问题： 与下列哪些数相乘，结果 是有理数？ A、 ； B、 ； C、 ； D、 ； E、 0，问题的答案是（只需填字母）： ； （ 2）如果一个数与 相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示） 36求值：已知 y=x2 5，且 y 的算术平方根是 2，求 x 的值 37画一条数轴，把 1 ， ， 2 各数和它们的相反数在数轴上表示出来，并比较它们的大小，用 “ ”号连接 38求 x 的值： （ 1） 4x2=25； （ 2）（ x 0
16、.7） 3=0.027 39已知 2a 1 的平方根是 3， 3a+b 1 的算术平方根是 4，求 12a+2b 的立方根 40已知 M= 是 m+3 的算术平方根， N= 是 n 2 的立方根，试第 7 页（共 19 页） 求 M N 的值 第 8 页（共 19 页） 初一实数所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析 ) 参考答案与试题解析 一选择题（共 13 小题） 1（ 2017武汉模拟） 9 的平方根为（ ） A 3 B 3 C 3 D 【分析】 根据平方根的定义求解即可，注意一个正数的平方根有两个 【解答】 解： 9 的平方根有： = 3 故选 C 【点评】 此题考查了平
17、方根的知识，属于基础题，解答本题关键是掌握一个正数的平方根有两个，且互为相反数 2 （ 2015日照） 的算术平方根是（ ） A 2 B 2 C D 【分析】 先求得 的值，再继续求所求数的算术平方根即可 【解答】 解： =2， 而 2 的算术平方根是 ， 的算术平方根是 ， 故选： C 【点评】 此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选 A 的错误 3（ 2002杭州）下列各组数中，互为相反数的一组是（ ） A 2 与 B 2 与 C 2 与 D | 2|与 2 【分析】 根据相反数的概念、性质及根式的性质化简即可判定选择 项 【解答】 解： A、
18、 =2， 2 与 2 互为相反数，故选项正确； B、 = 2， 2 与 2 不互为相反数，故选项错误； C、 2 与 不互为相反数，故选项错误； D、 | 2|=2， 2 与 2 不互为相反数，故选项错误 故选 A 【点评】 本题考查的是相反数的概念，只有符号不同的两个数叫互为相反数如果两数互为相反数，它们的和为 0 4（ 2009江苏）如图，数轴上 A， B 两点分别对应实数 a， b，则下列结论正确的是（ ） 第 9 页（共 19 页） A a+b 0 B ab 0 C a b 0 D |a| |b| 0 【分析】 本题要先观察 a， b 在数轴上的位置，得 b 1 0 a 1，然后对四个
19、选项逐一分析 【解答】 解： A、 b 1 0 a 1， |b| |a|， a+b 0，故选项 A 错误； B、 b 1 0 a 1， ab 0，故选项 B 错误； C、 b 1 0 a 1， a b 0，故选项 C 正确； D、 b 1 0 a 1， |a| |b| 0，故选项 D 错误 故选： C 【点评】 本题考查了实数与数轴的对应关系，数轴上右边的数总是大于左边的数 5（ 2015新疆）估算 2 的值（ ） A在 1 到 2 之间 B在 2 到 3 之间 C在 3 到 4 之间 D在 4 到 5 之间 【分析】 先估计 的整数部分，然后即可判断 2 的近似值 【解答】 解： 5 6，
20、3 2 4 故选 C 【点评】 此题主要考查了无理数的估算能力，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力， “夹逼法 ”是估算的一般方法，也是常用方法 6（ 2014营口）估计 的值（ ） A在 3 到 4 之间 B在 4 到 5 之间 C在 5 到 6 之间 D在 6 到 7 之间 【分析】 应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围 【解答】 解： 5 6， 在 5 到 6 之间 故选： C 【点评】 此题主要考查了估算无理数的那就， “夹逼法 ”是估算的一般方法，也是常用方法 7（ 2006沈阳）估计 +3 的值（ ） A在 5 和 6 之间
21、B在 6 和 7 之间 C在 7 和 8 之间 D在 8 和 9 之间 【分析】 先估计 的整数部分，然后即可判断 +3 的近似值 【解答】 解： 42=16， 52=25， 所以 ， 所以 +3 在 7 到 8 之间 故选： C 【点评】 此题主要考查了估算无理数的大小的能力，理解无理数性质，估算其数值现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力， “夹逼法 ”是估算的一般方法，也是常用方法 8（ 2012义乌市）一个正方形的面积是 15，估计它的边长大小在（ ） 第 10 页（共 19 页） A 2 与 3 之间 B 3 与 4 之间 C 4 与 5 之间 D 5 与 6 之间 【分
22、析】 先根据正方形的面积是 15 计算出其边长，在估算出该数的大小即可 【解答】 解： 一个正方形的面积是 15， 该正方形的边长为 ， 9 15 16， 3 4 故选 B 【点评】 本题考查的是估算 无理数的大小及正方形的性质，根据题意估算出的取值范围是解答此题的关键 9（ 2008遵义）如图，在数轴上表示实数 的点可能是（ ） A点 P B点 Q C点 M D点 N 【分析】 先对 进行估算，再确定 是在哪两个相邻的整数之间，然后确定对应的点即可解决问题 【解答】 解： 3.87， 3 4， 对应的点是 M 故选 C 【点评】 本题考查实数与数轴上的点的对应关系，应先看这个无理数在哪两个有
23、理数之间，进而求解 10（ 2006西岗区）数轴上表示 1， 的对应点分别为 A， B， 点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 所表示的数是（ ） A 1 B 1 C 2 D 2 【分析】 首先根据数轴上表示 1， 的对应点分别为 A， B 可以求出线段 AB 的长度，然后由 AB=AC 利用两点间的距离公式便可解答 【解答】 解： 数轴上表示 1， 的对应点分别为 A， B， AB= 1， 点 B 关于点 A 的对称点为 C， AC=AB 点 C 的坐标为： 1（ 1） =2 故选： C 【点评】 本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数知道两点间的距离，求较
24、小的数，就用较 大的数减去两点间的距离 11（ 2012 秋 安新县期末）下列说法不正确的是（ ） A 1 的平方根是 1 B 1 的立方根是 1 C 是 2 的平方根 D 3 是 的平方根 【分析】 A、根据平方根的定义即可判定； 第 11 页（共 19 页） B、根据立方根的定义即可判定； C、根据平方根的定义即可判定； D、根据平方根的定义即可判定 【解答】 解： A、 1 的平方根是 1，故 A 选项正确； B、 1 的立方根是 1，故 B 选项正确； C、 是 2 的平方根，故 C 选项正确； D、 =3， 3 的平方根是 ，故 D 选项错误 故选： D 【点评】 本题考 查了平方根
25、的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0；负数没有平方根 12（ 2013安顺）下列各数中， 3.14159， ， 0.131131113（相邻两个 3 之间 1 的个数逐次加 1 个）， ， ， ，无理数的个数有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【分析】 无限不循环小数为无理数，由此可得出无理数的个数 【解答】 解：由定义可知无理数有： 0.131131113， ，共两个 故选： B 【点评】 此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有： ， 2等；开方开不尽的数；以及像 0.1010010001，等有这样规律的数 13（ 20
26、15枣庄）实数 a， b， c 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（ ） A ac bc B |a b|=a b C a b c D a c b c 【分析】 先根据各点在数轴上的位置比较出其大小，再对各选项进行分析即可 【解答】 解： 由图可知， a b 0 c， A、 ac bc，故 A 选项错误； B、 a b， a b 0， |a b|=b a，故 B 选项错误； C、 a b 0， a b， 故 C 选项错误； D、 a b， c 0， a c b c，故 D 选项正确 故选： D 【点评】 本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键 二填
27、空题（共 13 小题） 14（ 2015庆阳） 的平方根是 2 第 12 页（共 19 页） 【分析】 根据平方根的定义，求数 a 的平方根，也就是求一个数 x，使得 x2=a，则 x 就是 a 的平方根，由此即可解决问题 【解答】 解： 的平方根是 2 故答案为： 2 【点评】 本题考查了平方根的定义注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0；负 数没有平方根 15（ 2015茂名） 8 的立方根是 2 【分析】 利用立方根的定义即可求解 【解答】 解： （ 2） 3= 8， 8 的立方根是 2 故答案为： 2 【点评】 本题主要考查了平方根和立方根的概念如果一个数 x
28、的立方等于 a，即 x 的三次方等于 a（ x3=a），那么这个数 x 就叫做 a 的立方根，也叫做三次方根读作 “三次根号 a”其中， a 叫做被开方数， 3 叫做根指数 16（ 2009峨边县模拟） 的算术平方根是 3 【分析】 首先根据算术平方根的定义求出 的值，然后即可求出其算术平方 根 【解答】 解： =9， 又 （ 3） 2=9， 9 的平方根是 3， 9 的算术平方根是 3 即 的算术平方根是 3 故答案为： 3 【点评】 此题主要考查了算术平方根的定义，解题的关键是知道 ，实际上这个题是求 9 的算术平方根是 3注意这里的双重概念 17（ 2009江苏）（ ） 2= 3 【分析
29、】 直接根据平方的定义求解即可 【解答】 解： （ ） 2=3， （ ） 2= 3 【点评】 本题考查了数的平方运算，是基本的计算能力 18（ 2012枣庄）已知 a、 b 为两个连续的整数，且 ， 则 a+b= 11 【分析】 根据无理数的性质，得出接近无理数的整数，即可得出 a， b 的值，即可得出答案 【解答】 解： ， a、 b 为两个连续的整数， ， a=5， b=6， a+b=11 故答案为： 11 【点评】 此题主要考查了无理数的大小，得出比较无理数的方法是解决问题的关第 13 页（共 19 页） 键 19（ 2009凉山州）已知一个正数的平方根是 3x 2 和 5x+6，则这个
30、数是 【分析】 由于一个非负数的平方根有 2 个，它们互为相反数依此列出方程求解即可 【解答】 解：根据题意可知： 3x 2+5x+6=0，解得 x= ， 所以 3x 2= ， 5x+6= ， （ ） 2= 故答案为： 【点评】 本题主要考查了平方根的逆运算，平时注意训练逆向思维 20（ 2013东莞市）若实数 a、 b 满足 |a+2| ，则 = 1 【分析】 根据非负数的性质列出方程求出 a、 b 的值，代入所求代数式计算即可 【解答】 解：根据题意得： ， 解得： ， 则原式 = =1 故答案是： 1 【点评】 本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为 0 时，这几个非负数都为0 21（
31、 2014射阳县三模）比较大小： 3 2 【分析】 先把两数平方，再根据实数比较大小的方法即可比较大小 【解答】 解： （ 3 ） 2=18，（ 2 ） 2=12， 3 2 故答案为： 【点评】 此题主要考查了实数的大小的比较，实数大小比较法则： （ 1）正数大于 0， 0 大于负数，正数大于负数； （ 2）两个负数，绝对值大的反而小 22（ 2013南平） = 3 【分析】 33=27，根据立方根的定义即可求出结果 【解答】 解： 33=27， ； 第 14 页（共 19 页） 故答案为： 3 【点评】 本题考查了立方根的定义；掌握开立方和立方互为逆运算是解题的 关键 23（ 2014辽阳）
32、 5 的小数部分是 2 【分析】 根据 1 2，不等式的性质 3，可得 的取值范围，再根据不等式的性质 1，可得答案 【解答】 解：由 1 2，得 2 1 不等式的两边都加 5，得 5 2 5 5 1， 即 3 5 4， 5 的小数部分是（ 5 ） 3=2 ， 故答案为： 2 【点评】 本题考查了估算无理数的大小，利用了不等式的性质：不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，不等式的两边都加同一个数，不等号的方向不变 24 （ 2014岳麓区校级自主招生）比较大小： （填 “ ”“ ”“=”） 【分析】 因为分母相同所以比较分子的大小即可，可以估算 的整数部分，然后根据整数部分即可
33、解决问题 【解答】 解： 1 1， 故填空结果为： 【点评】 此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、取近似值法、比较 n 次方的方法等当分母相同时比较分子的大小即可 25（ 2010成都）若 x， y 为实数，且 ，则（ x+y） 2010 的值为 1 【分析】 先根据非负数的性质列出方程组，求出 x、 y 的值，然后代入（ x+y） 2010中求解即可 【解答】 解：由题意，得： x+2=0， y 3=0， 解得 x= 2， y=3； 因此（ x+y） 2010=1 故答案为： 1 【点评】 本题考查了非负数的性质：有限个非负数的和为零，那么每一个加数也必为零
34、26（ 2010河南）若将三个数 表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是 【分析】 首先利用估算的方法分别得到 ， ， 前后的整数（即它们分第 15 页（共 19 页） 别在那两个整数之间），从而可判断出被覆盖的数 【解答】 解： 2 1， 2 3， 3 4，且墨迹覆盖的范围是 1 3， 能被墨迹覆盖的数是 【点评】 本题考查了实数与数轴的对应关系，以及估算无理数大小的能力 三解答题（共 14 小题） 27（ 2014钦州）计算：（ 2） 2+（ 3） 2 【分析】 原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用异号两数相乘的法则计算，最后一项利用平方根定义化简，计算即可得到结果 【解答】
35、解：原式 =4 6 3= 5 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 28（ 2015乌鲁木齐）计算：（ 2） 2+| 1| 【分 析】 原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用立方根定义计算即可得到结果 【解答】 解：原式 =4+ 1 3= 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 29（ 2015大庆）求值： +（ ） 2+（ 1） 2015 【分析】 原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用乘方的意义化简，第三项利用乘方的意义化简，计算即可得到结果 【解答】 解：原式 = + 1= 【点评】 此题考查了实
36、数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 30（ 2014 春 嘉祥县期末）阅读下面的文字，解答问题： 大家知道 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 来表示 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？ 事实上，小明的表示方法是有道理，因为 的整数部分是 1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分 又例如： ，即 ， 的整数部分为 2，小数部分为 请解答：（ 1）如果 的小数部分为 a， 的整数部分为 b，求 的值； （ 2）已知： ，其中 x 是整数，且 0 y 1，求 x y 的相反数 【分析】 （ 1）先估计 、 的近似值， 然后判断 的小数部
37、分 a， 的整数部分 b，最后将 a、 b 的值代入 并求值； （ 2）先估计 的近似值，然后判断 的整数部分并求得 x、 y 的值，最后求 x y 的相反数 【解答】 解： 4 5 9， 第 16 页（共 19 页） 2 3， 的小数部分 a= 2 9 13 16， 3 4， 的整数部分为 b=3 把 代入 ，得 2+3 =1，即 （ 2） 1 3 9， 1 3， 的整数部分是 1、小数部分是 ， 10+ =10+1+（ =11+（ ）， 又 ， 11+（ ） =x+y， 又 x 是整数，且 0 y 1， x=11， y= ； x y=11（ ） =12 ， x y 的相反数 y x=（ x
38、 y） = 【点评】 此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算无理数的值，再根据不等式的性质进行计算现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力， “夹逼法 ”是估算的一般方法，也是常用方法 31（ 2015 秋 偃师市期中）已知： x 2 的平方根是 2， 2x+y+7 的立方根是 3，求 x2+y2 的算术平方根 【分析】 根据平方根、立方根的定义和已知条件可知 x 2=4， 2x+y+7=27， 列方程解出 x、 y，最后代入代数式求解即可 【解答】 解： x 2 的平方根是 2， x 2=4， x=6， 2x+y+7 的立方根是 3 2x+y+7=27 把 x 的值代入解得：
39、 y=8， x2+y2 的算术平方根为 10 【点评】 本题主要考查了平方根、立方根的概念，难易程度适中 32（ 2013 秋 滨湖区校级期末）已知， a、 b 互为倒数， c、 d 互为相反数，求的值 【分析】 由 a、 b 互为倒数可得 ab=1，由 c、 d 互为相反数可得 c+d=0，然后将以上两个代数式整体代入所求代数式求值即可 【解答】 解：依 题意得， ab=1， c+d=0； = 第 17 页（共 19 页） = 1+0+1 =0 【点评】 本题主要考查实数的运算，解题关键是运用整体代入法求代数式的值，涉及到倒数、相反数的定义，要求学生灵活掌握各知识点 33（ 2015 秋 吉
40、安校级期末）设 2+ 的整数部分和小数部分分别是 x、 y，试求x、 y 的值与 x 1 的算术平方根 【分析】 先找到 介于哪两个整数之间，从而找到整数部分，小数部分让原数减去整数部分，然后代入求值即可 【解答】 解：因为 4 6 9，所以 2 3， 即 的整数部分是 2， 所以 2+ 的整数部分是 4，小数部 分是 2+ 4= 2， 即 x=4， y= 2，所以 = = 【点评】 此题主要考查了无理数的估算能力，解题关键是估算出整数部分后，然后即可得到小数部分 34（ 2009江西）计算：（ 2） 2（ 3 5） +2 （ 3） 【分析】 根据实数的运算顺序计算即可求解注意实数混合运算的顺
41、序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，遇有括号，先算括号内的 【解答】 解：原式 =4（ 2） 2 6= 2 【点评】 此题主要考查了实数的运算，解题要注意实数的混合运算顺序 35（ 2009佛山）（ 1）有 这样一个问题： 与下列哪些数相乘，结果是有理数？ A、 ； B、 ； C、 ； D、 ； E、 0，问题的答案是（只需填字母）： A、 D、 E ； （ 2）如果一个数与 相乘的结果是有理数，则这个数的一般形式是什么（用代数式表示） 【分析】 （ 1）根据实数的乘法法则和有理数、无理数的定义即可求解； （ 2）根据（ 1）的结果可以得到规律 【解答】 解：（ 1） A、 D、 E；
42、（ 2）设这个数为 x，则 x =a（ a 为有理数），所以 x= （ a 为有理数） 【点评】 此题主要考查了实数的运算，也考查了有理数、无理数的定义，文字阅读比较多 ，解题时要注意审题，正确理解题意 36（ 2010 秋 西盟县期末）求值：已知 y=x2 5，且 y 的算术平方根是 2，求 x的值 【分析】 由于被开方数应等于它算术平方根的平方那么由此可求得 y，然后即可求出 x 【解答】 解： y 的算术平方根是 2， y=4； 第 18 页（共 19 页） 又 y=x2 5 4=x2 5 x2=9 x= 3 【点评】 此题主要考查了 平方根的性质：被开方数应等于它算术平方根的平方正数的
43、平方根有 2 个 37（ 2012 秋 上虞市校级期中）画一条数轴，把 1 ， ， 2 各数和它们的相反数在数轴 上表示出来，并比较它们的大小，用 “ ”号连接 【分析】 根据相反数的定义写出各数的相反数，再画出数轴即可解决问题 【解答】 解： 1 的相反数是 1 ； 的相反数是 ； 2 的相反数是 2； 2 2 【点评】 此题主要考查了实数的大小的比较，比较简单，解答此题的关键是熟知相反数的概念，只有符号不同的两个数叫互为相反数 38（ 2015 春 定州市期中）求 x 的值： （ 1） 4x2=25； （ 2）（ x 0.7） 3=0.027 【分析】 （ 1）可用直接开平方法进行解答；
44、（ 2）可用直 接开立方法进行解答 【解答】 解：（ 1） x2= = ， x= （ 2）（ x 0.7） 3=0.027=（ 0.3） 3， x 0.7=0.3， 故 x=1 【点评】 本题考查了平方根和立方根的概念注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数； 0 的平方根是 0；负数没有平方根立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数， 0 的立方根是 0 39（ 2010 秋 荷塘区校级期末）已知 2a 1 的平方根是 3， 3a+b 1 的算术平方根是 4，求 12a+2b 的立方根 【分析】 分别根据 2a 1 的平方根是 3， 3a+b 1 的算术平方根是 4，求出
45、 a、b 的值，再求出 12a+2b 的值，求出其立方根即可 【解答】 解： 2a 1 的平方根是 3， 第 19 页（共 19 页） 2a 1=（ 3） 2，解得 a=5； 3a+b 1 的算术平方根是 4， 3a+b 1=16，把 a=5 代入得， 3 5+b 1=16，解得 b=2， 12a+2b=12 5+4=64， =4， 即 12a+2b 的立方根是 4 【点评】 本题考查的是立方根、平方根及算术平方根的定义，根据题意列出关于a、 b 的方程，求出 a、 b 的值是解答此题的关键 40（ 2016 春 黄冈期中 ）已知 M= 是 m+3 的算术平方根， N= 是n 2 的立方根，试求 M N 的值 【分析】 根据算术平方根及立方根的
