1、 1 双曲线知识点及题型总结 1新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆双曲线 定义： 到两个定点 F1 与 F2 的 距 离 之 差 的 绝 对 值 等 于 定 长 （ |F1F2| ）的点的轨迹（2121 2 FFaPFPF （ a 为常数）新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆这两个定点叫双
2、曲线的焦点 要注意两点：（ 1）距离之差的绝对值 .（ 2） 2a |F1F2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同 . 当 |MF1| |MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支； 当 |MF1| |MF2|= 2a 时，曲线仅表示焦点 F1所对应的一支； 当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以 F1、 F2 为端点向外的两条射线； 当 2a |F1F2|时，动点轨迹不存在 . 动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e 1)时，这个动点的轨迹是双曲线新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwx
3、ckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆这定点叫做双曲线的焦点，定直线 l 叫做双曲线的准线新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆2.双曲线的标准方程： 12222 byax和 12222 bxay（ a 0， b 0） .这里 222 acb ，其中 | 1F 2F |=2c.要注意这里的 a、 b、 c及它们之间的关系与椭圆中的异同 . 3.双曲线的标准方程判别方法是： 如果 2x 项的系数
4、是正数，则焦点在 x 轴上；如果 2y 项的系数是正数，则焦点在 y轴上 .对于双曲线， a不一定大于 b，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上 . 4.求双曲线的标准方程 ，应注意两个问题： 正确判断焦点的位置； 设出标准方程后，运用待定系数法求解 . 5.曲线的简单几何性质 22ax22by=1（ a 0， b 0） 范围： |x| a， y R 对称性：关于 x、 y 轴均对称，关于原点中心对称 顶点：轴端点 A1（ a， 0）， A2（ a， 0） 渐近线： 若双曲线方程为 12222 byax 渐近线方程 02222byax xaby 若渐近线方程为 xa
5、by 0 byax 双曲线可设为 2222byax若双曲线与 12222 byax有公共渐近线，可设为 2222byax（ 0 ，焦点在 x 轴上， 0 ，焦点在 y轴上） 特别地当 时ba 离心率 2e 两渐近线互相垂直，分别为 y= x ，此时双曲线为等轴双曲线，可设为 22 yx ； y=abx， y=abx (什么是共轭双曲线 ?) 准线： l1： x=ca2 ， l2： x=ca2 ，两准线之距为 212 2aKK c M 2M 1 PK 2K 1A1 A2 F2F1 oyx2 焦半径： 21 ()aP F e x e x ac ，（点 P在双曲线的右支上 xa ）； 22 ()aP
6、 F e x e x ac ，（点 P在双曲线的右支上 xa ）； 当焦点在 y轴上时，标准方程及相应性质（略）新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆与双曲线 12222 byax共渐近线的双曲线系方程是 2222byax )0( 新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆与双曲线 12222 by
7、ax共焦点的双曲线系方程是 12222 kb yka x6 曲 线 的内外部 (1)点00( , )P x y在双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的内部 22001xyab . (2)点00( , )P x y在双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的外部 22001xyab . 7 曲 线 的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为 12222 byax 渐近线方程： 220xyab xaby . (2)若渐近线方程为 xaby 0 byax 双曲线可设为 2222byax. (3)若双曲线与 12222 byax有公共渐近线，可设为 2222byax（
8、0 ，焦点在 x轴上， 0 ，焦点在 y轴上） . 8 双曲线的切线方程 (1)双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 上一点00( , )P x y处的切线方程是 00221x x y yab. （ 2）过双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 外一点00( , )P x y所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y yab. （ 3）双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 与直线 0A x B y C 相切的条件是 2 2 2 2 2A a B b c. 9 线与椭圆相交的弦长公式 221 2 1 2( ) ( )A B x x y y 若斜率为
9、k 的直线被圆锥曲线所截得的弦为 AB， A、 B 两点分别为 A(x1， y1)、 B(x2,y2)，则弦长 4) (1(1 212212122 xxxxkxxkAB 4)()11(11 212212122 yyyykyyk ,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； 3 高考题型解析 题型一：双曲线定义问题 1.“ ab0,b0， b0)的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、 B 两点，若 ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是 ( ) A (1， ) B (1,2) C (1,1 2) D (2,1 2) 9.设 P为
10、双曲线42x y2 1上一动点， O为坐标原点， M为线段 OP的中点，则点 M的轨迹方程是 10.求与圆 A：（ x+5） 2+y2=49 和圆 B：（ x 5） 2+y2=1 都外切的圆的圆心 P 的轨迹方程为 _新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆11.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为（ 2， 0），右顶点为 )0,3( （ 1）求双曲线 C 的方程； （ 2）若直线 2: kxyl 与双曲线 C 恒有两个不同的交点 A 和 B，且 2 OBOA （其中 O 为原点） . 求k 的取值范围 . 8 12.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为 ( 3， 0) (1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线： y kx m(k 0， m 0)与双曲线 C交于不同的两点 M、 N，且线段 MN的垂直平分线过点 A(0， 1)，求实数 m的取值范围
