1、 双曲线知识点 指导教师：郑军 一、 双曲线的定义： 1. 第一定义： 到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长（ |F1F2|）的点的轨迹（2121 2 FFaPFPF （ a 为常数）新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆这两个定点叫双曲线的焦点 要注意两点：（ 1）距离之差的绝对值 .（ 2） 2a |F1F2|. 当 |MF1| |MF2|=2a时，曲线仅表示焦点 F2所对应的一支； 当 |MF1| |MF2|= 2a时，
2、曲线仅表示焦点 F1所对应的一支； 当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以 F1、 F2为端点向外的两条射线； 当 2a |F1F2|时，动点轨迹不存在 . 2. 第二定义： 动点到一定点 F的距离与它到一条定直线 l的距离之比是常数 e(e 1)时，这个动点的轨迹是双曲线新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆这定点叫做双曲线的焦点，定直线 l叫做双曲线的准线新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxck
3、t126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygcom/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆二、 双曲线的标准方程： 12222 byax（ a 0， b 0） (焦点在 x轴上 )； 12222 bxay（ a 0， b 0） (焦点在 y轴上 )； 1. 如果 2x 项的系数是正数，则焦点在 x轴上；如 果 2y 项的系数是正数，则焦点在 y轴上 . a不一定大于 b. 2. 与双曲线 12222 byax共焦点的双曲线系方程是 12222 kb yka x3. 双曲线方程也可设为： 22 1 ( 0 )xy mnmn 例题 ：已知双曲线 C 和椭圆 22116 9xy有相
4、同的焦点，且过 (3,4)P 点，求双曲 线 C 的轨迹方程。 三、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线： 点00( , )P x y在双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的内部 22001xyab 点00( , )P x y在双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的外部 22001xyab 点00( , )P x y在双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 上 220022- =1xyab 2 直线与双曲线： （ 代数法 ） 设直线 :l y kx m，双曲线 )0,0(12222 babyax联立解得 02)( 2222
5、22222 bamam k xaxkab 1) 0m 时， bbkaa 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； bka， bka，或 k 不存在时直线与双曲线没有交点； 2) 0m 时， k 存在时， 若 0222 kab abk ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 若 2 2 2 0b a k， 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) 4 ( ) ( )a m k b a k a m a b 2 2 2 2 2 24 ( )a b m b a k 0 时， 2 2 2 2 0m b a k ， 直线与双曲线相交于 两 点 ； 0 时， 2 2 2 2 0m b
6、a k ， 直线与双曲线相 离，没有交点； 0 时 2 2 2 2 0m b a k ， 2222mbk a 直线与双曲线有一个交点； 若 k 不存在， a m a 时，直线与双曲线没有交点； m a m a 或 直线与双曲线相交于 两 点 ； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系： 设直线 :l y kx m过定点00( , )P x y，双曲线 )0,0(12222 babyax1).当点00( , )P x y在双曲线内部时： bbkaa ，直线与双曲线两支各有一个交点； abk ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； bk a 或 bk a 或 k 不存在时直线与双曲线的一
7、支有两个交点； 2).当点00( , )P x y在双曲线上时： bk a 或 2 02 0bxkay，直线与双曲线只交于点00( , )P x y； bbkaa 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2 02 0bxkay（0 0y ） 或 2020bxb ka a y（0 0y ） 或 bka或 k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当0 0y 时， bk a 或 k 不存在，直线与双曲线只交于点 00( , )P x y ； bk a 或 bk a 时直线与双曲线的一支有两个交点； bbkaa 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00( , )P
8、x y在双曲线外部时： 当 0,0P 时， bbkaa ，直线与双曲线两支各有一个交点； bk a 或 bk a 或 k 不存在，直线与双曲线没有交点； 当点 0m 时， 222mbka 时， 过点 00( , )P x y 的直线与双曲线相切 bka时，直线与双曲线只交于一点； 几何法：直线与渐近线的位置关系 例 ：过点 (0,3)P 的直线 l 和双曲线 22:14yCx，仅有一个公共点，求直线 l 的方程。 四、 双曲线与渐近线的关系： 1. 若双曲线方程为 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 渐近线方程： 220xyab xaby 2. 若双曲线方程为 12222 bxay（
9、a 0， b 0） 渐近线方程： 220yxab ayxb3. 若渐近线方程为 xaby 0 byax 双曲线可设为 2222byax, 0 . 4. 若双曲线与 12222 byax有公共渐近线 则双曲线的方程 可设为 2222byax（ 0 ，焦点在 x轴上， 0 ，焦点在 y轴上） 五、 双曲线与切线方程： 1. 双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 上一点00( , )P x y处的切线方程是 00221x x y yab. 2. 过双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 外一点00( , )P x y所引两条切线的切点弦方程是00221x x y yab.
10、3. 双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 与直线 0A x B y C 相切的条件是 2 2 2 2 2A a B b c. 六、 双曲线的性质： 双曲线 标准方程（焦点在 x 轴） )0,0(12222 babyax 标准方程（焦点在 y 轴） )0,0(12222 babxay 定义 第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12FF）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 aMFMFM 221 212 FFa 第二定义：平面内与一个 定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ，当 1e 时，动点的轨迹是双曲线。
11、定点 F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （ 1e ）叫做双曲线的离心率。 范围 xa ， yR ya ， xR 对称轴 x 轴 ， y 轴；实轴长为 2a ,虚轴长为 2b 对称中心 原点 (0,0)O 焦点坐标 1( ,0)Fc2( ,0)Fc1(0, )Fc2(0, )Fc焦点在实轴上， 22c a b；焦距：122FF c顶点坐标 （ a ,0） (a ,0) (0, a ,) (0， a ) 离心率 eace ( 1)， 2 2 2c a b， e越大则双曲线开口的开阔度越大 准线方程 cax 2cay 2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22 顶
12、点到准线的距离 顶点1A（2A）到准线 1l （ 2l ）的距离为caa 2xyP 1F2Fx y xyP 1F2FxyxyP 1F2FxyP xyP 1F2Fx y P 顶点1A（2A）到准线 2l （ 1l ）的距离为 aca 2焦点到准线的距离 焦点1F（2F）到准线 1l （ 2l ）的距离为 22abccc焦点1F（2F）到准线 2l （ 1l ）的距离为 cca 2渐近线 方程 xaby (实虚 ) yabx (实虚 ) 共渐近线的双曲线系方程 kbyax 2222 （ 0k ） kbxay 2222 （ 0k ） 直线和双曲线的位置 双曲线 12222 byax与直线 y kx
13、b的位置关系： 利用 22221xyaby kx b 转化为一元二次方程用判别式确定。 二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦 AB的弦长 221 2 1 21 ( ) 4A B k x x x x 通径：21AB y y过双曲线上一点的切线 12020 b yya xx 或利用导数 00221y y x xab 或利用导数 七、 弦长公 式： 若直线 y kx b与圆锥曲线相交于两点 A、 B，且12,xx分别为 A、 B 的横坐标，则221 2 1 2( ) ( )A B x x y y 22 2 21 2 1 2 1 21 1 4 1 |A B k x x k x x x x
14、k a ，若 12,yy分别为 A、 B 的纵坐标，则 21 2 1 2 1 222111 1 4A B y y y y y ykk 。 通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A、 B两点，则弦长abAB22| 。 若弦 AB所在直线方程设为 x ky b，则 AB 2121 k y y。 特别地， 焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解， 例 ：直线 1xy 与双曲线 13222 yx 相交于 BA, 两点，则 AB =_ 八、焦半径公式： 双曲线 12222 byax（ a 0， b 0）上有一动点00( , )M x y当00( , )M x
15、y在左支上时10|M F ex a ,20|M F ex a 当00( , )M x y在右支上时10|M F ex a,20|M F ex a注：焦半径公式是关于0x的一次函数，具有单调性，当00( , )M x y在左支端点时1|MF c a，2|MF c a，当00( , )M x y在左支端点时1|MF c a，2|MF c a九、等轴双曲线： 12222 byax （ a 0， b 0）当 ab 时称双曲线为等轴双曲线； 则： 1. ab ； 2.离心率 2e ； 3.两渐近线互相垂直，分别为 y= x ； 4.等轴双曲线的方程 22 yx ， 0 ； 5. 等轴双曲线上任意一点到中
16、心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。 十、共轭双曲线： 1.定义： 以已知 双曲线 的虚轴为 实轴 ，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线 2.方程： 3.性质： 共轭双曲线有共同的 渐近线 ； 共轭双曲线的四个 焦点 共圆 它们的离心率的倒数的平方和等于 1。 1- 2222 byax （ a0;b0）的焦点为 1F 与 2F ，且 p为曲线上任意一点， 221 PFF 。则 21FPF 的面积 cot2bS 焦点三角形面积公式： )(,2c o t 21221 PFFbS PFF 双曲线 1. 点 P处的切线 PT平分 PF1F2在点 P处的 内角 .
17、2. PT平分 PF1F2在点 P处的内角，则焦点在直线 PT上的射影 H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 . 3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线 相交 . 4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆 相切 .（内切： P 在右支；外切： P在左支） 5. 若0 0 0( , )P x y在双曲线 221xyab（ a 0,b 0）上，则过0P的双曲线的切线方程是00221x x y yab. 6. 若0 0 0( , )P x y在双曲线 221xyab（ a 0,b 0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、 P2，则切点弦 P1P2的直线方程
18、是 00221x x y yab. 7. 双曲线 221xyab（ a 0,b o）的左右焦点分别为 F1， F 2，点 P为双曲线上任意一 8. 点12F PF ，则双曲线的焦点角形的面积为122 t 2F P FS b co . 9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、 Q 两点， A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于 M、 N两点，则 MF NF. 10. 过双曲线一个焦点 F的直线与双曲线交于两点 P、 Q, A1、 A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和 A2Q交于点 M， A2P和 A1Q交于点 N，则 MF NF. 11. AB
19、是双曲线 221xyab（ a 0,b 0）的不平行于对称轴的弦， M ),(00 yx为 AB的中点，则0202 ya xbKK ABOM ，即0202 ya xbK AB 。 12. 若0 0 0( , )P x y在双曲线 221xyab（ a 0,b 0）内，则被 Po所平分的中点弦的方程是220 0 0 02 2 2 2x x y y x ya b a b . 13. 目 录 14. 双曲线知识点 . 错误 !未定义书签。 15. 1新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/www.xjktygcom/wwxckt126.omwxckt126.omhtp:/www.xjktygco
20、m/w王新敞特级教师源头学子小屋 新疆双曲线定义： . 错误 !未定义书签。 16. 2.双曲线的标准方程： . 错误 !未定义书签。 17. 3.双曲线的标准方程判别方法是： . 错误 !未定义书签。 18. 4.求双曲线的标准方程 . 错误 !未定义书签。 19. 5.曲线的简单几何性质 . 错误 !未定义书签。 20. 6曲线的内外部 错误 !未定义书签。 21. 7曲线的方程与渐近线方程的关系 错误 !未定义书签。 22. 8双曲线的切线方程 错误 !未定义书签。 23. 9线与椭圆相交的弦长公式 错误 !未定义书签。 24. 高考题型解析 . 错误 !未定义书签。 25. 题型一：双曲线定义问题 . 错误 !未定义书签。 26. 题型二：双曲线的渐近线问题 . 错误 !未定义书签。 27. 题型三：双曲线的离心率问题 . 错误 !未定义书签。 28. 题型四：双曲线的距离问题 . 错误 !未定义书签。 29. 题型五：轨迹问题 . 错误 !未定义书签。 30. 高考例题解析 . 错误 !未定义书签。 31. 练习题 . 错误 !未定义书签。 32.
