1、 一、 双曲线的定义 1、 第一定义： 到两个 定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长（ |F1F2|）的点的轨迹（2121 2 FFaPFPF （ a 为常数） 。 这两个定点叫双曲线的焦点 。 要注意两点：（ 1）距离之差的绝对值 。 （ 2） 2a |F1F2|。 当 |MF1| |MF2|=2a 时，曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支； 当 |MF1| |MF2|= 2a 时，曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支； 当 2a=|F1F2|时，轨迹是一直线上以 F1、 F2 为端点向外的两条射线； 用第二定义证明比较简单 或两边之差小于第三边 当 2a |F1F2|时，动点轨迹不
2、存在 。 2、 第二定义： 动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l（准线 2ca） 的 距离之比是常数 e(e 1)时，这个动点的轨迹是双曲线 。 这定点叫做双曲线的焦点 ， 定直线 l 叫做双曲线的准线 。 二、 双 曲线的标准方程 （ 222 acb ，其中 | 1F 2F |=2c） 焦点在 x 轴上 ： 12222 byax（ a 0， b 0） 焦点在 y 轴上 ： 12222 bxay（ a 0， b 0） （ 1） 如果 2x 项的系数是正数，则焦点在 x 轴上；如果 2y 项的系数是正数，则焦点在 y 轴上 。 a 不一 定大于b。 判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比
3、较 x2、 y2 的分母的大小，而是 x2、 y2 的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上 （ 2） 与双曲线 12222 byax共焦点的双曲线系方程是 12222 kb yka x（ 3） 双曲线方程也可设为： 22 1 ( 0 )xy mnmn 三 、 双曲线的性质 双曲线 标准方程（焦点在 x 轴） )0,0(12222 babyax 标准方程（焦点在 y 轴） )0,0(12222 babxay 定义 第一定义：平面内与两个定点1F，2F的距离的差的绝对值是常数（小于12FF）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。 aMFMFM 221 212 FFa 第
4、二定义：平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离的比是常数 e ，当 1e 时，动点的轨迹是双曲线。定点 F 叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e （ 1e ）叫做双曲线的离心率。 范围 xa ， yR ya ， xR 对称轴 x 轴 ， y 轴；实轴长为 2a ,虚轴长为 2b 对称中心 原点 (0,0)O 焦点坐标 1( ,0)Fc2( ,0)Fc1(0, )Fc2(0, )Fc焦点在实轴上， 22c a b；焦距：122F F cxyP 1F2Fx y xyP 1F2FxyxyP 1F2FxyP xyP 1F2Fx y P 顶点坐标 （ a ,0） (a ,0) (0,
5、 a ,) (0， a ) 离心率 eace ( 1)， 2 2 2c a b， e 越大则双曲线开口的开阔度越大 准线方程 cax 2 cay 2 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：ca22 顶点到准线的距离 顶点1A（2A）到准线 1l （ 2l ）的距离为caa 2顶点1A（2A）到准线 2l （ 1l ）的距离为 aca 2焦点到准线的距离 焦点1F（2F）到准线 1l （ 2l ）的距离为 22abccc焦点1F（2F）到准线 2l （ 1l ）的距离为 cca 2渐近线方程 xaby (实虚)， 2, bca和2,bcayabx (实虚 ) 将右边的常数设为 0，即可
6、用解二元二次的方法求出渐近线的解 共渐近线的双曲线系方程 kbyax 2222 （ 0k ） kbxay 2222 （ 0k ） 直线和双曲线的位置 双曲线 12222 byax与直线 y kx b的位置关系： 利用 22221xyaby kx b 转化为一元二次方程用判别式确定。 二次方程二次项系数为零直线与渐近线平行。 相交弦 AB 的弦长 221 2 1 21 ( ) 4A B k x x x x 通径： 2212 bA B y y a 与 椭圆一样 过双曲线上一点的切线 12020 b yya xx或利用导数 00221y y x xab 或利用导数 四、 双曲线的参数方程： sect
7、anxayb椭圆为 cossinxayb五 、 弦长公式 1、 直线被双曲线截得的弦长公式，设直线与椭圆交于 A（ x1,y1） B（ x2,y2）两点，则 2212221 2 1 2212221 2 1 22= 1 + k1 + k 411+k11 + 4kA B x xx x x xyyy y y y k 为直线斜率 提醒 解决直线与椭圆的位置 关系问题时常利用数形结合法、根与系数的关系、整体代入、设而不求的思想方法。 2、 通径的定义：过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A、 B 两点，则弦长abAB22| 。 3、 特别地，焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第
8、二定义求解 六 、焦半径公式 双曲线 12222 byax（ a 0， b 0）上有一动点00( , )M x y左焦半径： r= ex+a 右焦半径： r= ex-a 当00( , )M x y在左支上时10|M F e x a ,20|M F e x a 当00( , )M x y在右支上时10|M F e x a,20|M F e x a左支上绝对值加 -号，右支上不用变化 双曲线焦点半径公式也可用“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）aexMFaexMF0201构成满足 aMFMF 221 注：焦半径公式是关于0x的一次函数，具有单调性，当00
9、( , )M x y在左支端点时1|M F c a，2|M F c a，当00( , )M x y在左支端点时1|M F c a，2|M F c a七 、等轴双曲线 12222 byax （ a 0， b 0）当 ab 时称双曲线为等轴双曲线 1。 ab ； yxMMF 1F 2yxM MF 1 F 22。 离心率 2e ； 3。 两渐近线互相垂直，分别为 y= x ； 4。 等轴双曲线的方程 22 yx ， 0 ； 八 、共轭双曲线 以已知 双曲线 的虚轴为 实轴 ，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，通常称它们互为共轭双曲线 。 2222 byax 与 2222 byax 互为共轭
10、双曲线，它们具有共同的渐近线： 02222 byax . 九 、 点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系 1、 点与双曲线 点00( , )P x y在双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的内部 22001xyab 代值 验证 ，如 221xy 点00( , )P x y在双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的外部 22001xyab 点00( , )P x y在双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 上 220022- =1xyab 2、 直线与双曲线 代数法 ： 设直线 :l y kx m，双曲线 )0,0(12222 babyax联立解得
11、 02)( 222222222 bamam k xaxkab （ 1） 0m 时， bbkaa ， 直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； bk a ， bk a ，或 k 不存在时 ， 直线与双曲线没有交点； （ 2） 0m 时， k 存在时，若 0222 kab ，abk ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； 相交 若 2 2 2 0b a k， 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 ) 4 ( ) ( )a m k b a k a m a b 2 2 2 2 24 ( )a b m b a 0 时， 2 2 2 2 0m b a k ，直线与双曲 线相交于两点；
12、 0 时， 2 2 2 2 0m b a k ，直线与双曲线相离，没有交点； 0 时 2 2 2 2 0m b a k ， 2222mbk a 直线与双曲线有一个交点； 相切 k 不存在， a m a 时，直线与双曲线没有交点； m a m a 或 直线与双曲线相交于两点； 十 、 双曲线与渐近线的关系 1、 若双曲线方程为 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 渐近线方程： 220xyab xaby 2、 若双曲线方程为 yxMMF1F2 yxM MF1 F2（ a 0， b 0） 渐近线方程： 220yxabayxb3、 若渐近线方程为 xaby 0 byax 双曲线可设为 2222
13、byax, 0 。 4、 若双曲线与 12222 byax有公共渐近线 ， 则双曲线的方程可设为 2222byax（ 0 ，焦点在 x 轴上，0 ，焦点在 y 轴上） 十一 、 双曲线与切线方程 1、 双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 上一点00( , )P x y处的切线方程是 00221x x y yab。 2、 过双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 外一点00( , )P x y所引两条切线的切点弦方程是 00221x x y yab。 3、 双曲线 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 与直线 0A x B y C 相切的条件是 2 2 2 2
14、2A a B b c。 椭圆与双曲线共同点归纳 十二、 顶点连线斜率 双曲线一点与两顶点连线的斜率之 积 为 K 时得到不同的曲线。 椭圆参照选修 2-1P41，双曲线参照选修 2-1P55。 1、 A、 B 两点在 X 轴上时 2、 A、 B 两点在 Y 轴上时 十三、 面积公式 双曲线上一点 P 与双曲线的两个焦点 构成的三角形 称之为双曲线焦点三角形，122 c o t 2P F FSb 面积公式推导： 解：在12PFF中，设12F PF ，11PF r，22PF r，由余弦定理得 2 2 21 2 1 212c o s 2P F P F F FP F P F 2 2 21212( 2
15、)2r r crrF1 x y O P F2 221 2 1 212( ) 2 42r r r r crr 221212( 2 ) 2 42a r r crr 2212122 ( )r r c arr 212122r r brr 21 2 1 2c o s 2r r r r b 即 21221 c o sbrr ， 122121 1 2s i n s i n2 2 1 c o sP F FbS r r 2 sin1 cosb = 2 cotb 椭圆上一点与椭圆的两个焦点12,FF构成的三角形12PFF称之为椭圆焦点三角形122 ta n 2P F FSb 面积公式推导 解：在12PFF中，设1
16、2F PF ，11PF r，22PF r，由余弦定理得 2 2 21 2 1 212c o s 2P F P F F FP F P F 2 2 21212( 2 )2r r crr221 2 1 212( ) 2 42r r r r crr 221212( 2 ) 2 42a r r crr 22 12124 ( ) 22a c r rrr 2 12122b r rrr 21 2 1 2c o s 2r r b r r 即 21221 c o sbrr ， 122121 1 2s i n s i n2 2 1 c o sP F FbS r r 2 sin1 cosb = 2 tanb 十四、
17、(双曲线中点弦的斜率公式 )： 设00( , )M x y为双曲线 221xyab弦 AB （ AB 不平行 y 轴）的中点，则有 22A B O Mbkk a 图 1 F1 x y O P F2 证明： 设11( , )A x y，22( , )B x y，则有1212AByyk xx ，221122222211xyabxyab 两式相减得：2 2 2 21 2 1 222 0x x y yab整理得： 222122 2 212yybx x a ，即 21 2 1 2 21 2 1 2( )( )( )( )y y y y bx x x x a ，因为 00( , )M x y 是弦 AB的
18、中点，所以00 120 0 1 222OMyy yyk x x x x ，所以 22A B O M bkk a 椭圆中线弦斜率公式 22A B O Mbkk a 双曲线基础题 1 双曲线 2x2 y2 8 的实轴长是 ( ) A 2 B 2 2 C 4 D 4 2 2 设集合 P x， y x24 y2 1 ， Q (x， y)|x 2y 1 0， 记 A P Q， 则集合 A 中元素的个数是 ( ) A 3 B 1 C 2 D 4 3 双曲线 x216y29 1 的焦点到渐近线的距离为 ( ) A 2 B 3 C 4 D 5 4 双曲线 y27x29 1 的共轭双曲线的离心率是 _ 能力提升
19、 5 中心在原点 ， 焦点在 x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点 (4， 2)， 则它的离心率为 ( ) A. 6 B. 5 C. 62 D. 52 6 设双曲线 x2a2y29 1(a0)的渐近线方程为 3x2 y 0， 则 a 的值为 ( ) A 4 B 3 C 2 D 1 7 从 x2my2n 1(其中 m， n 1,2,3)所表示的圆锥曲线 (椭圆 、 双曲线 、 抛物线 )方程中任取一个 ，则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为 ( ) A.12 B.47 C.23 D.34 8 双曲 线 y26x23 1 的渐近线与圆 (x 3)2 y2 r2(r0)相切 ， 则 r (
20、) A. 6 B 3 C 4 D 6 图 K51 1 9 如图 K51 1， 在等腰梯形 ABCD 中 ， AB CD 且 AB 2AD， 设 DAB ， 0， 2 ， 以 A、B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1， 以 C、 D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2， 则 e1e2_. 10 已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的右焦点为 F， 若过点 F 且倾斜角为 60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点 ， 则此双曲线离心率的取值范围是 _ 11 已知双曲线 x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线方程为 y 3x， 它的一个焦点为 F(6,0)， 则
21、双曲线的方程为 _ 12 (13分 )双曲线 C 与椭圆 x227y236 1 有相同焦点 ， 且经过点 ( 15， 4) (1)求双曲线 C 的方程 ； (2)若 F1， F2 是双曲线 C 的两个焦点 ， 点 P 在双曲线 C 上 ， 且 F1PF2 120， 求 F1PF2 的面积 难点突破 13 (1)(6分 ) 已知双曲线 x2a2y2b2 1 和椭圆x2m2y2b2 1(a0， mb0)的离心率互为倒数 ， 那么以 a，b， m 为边长的三角形是 ( ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 锐角三角形或钝角三角形 (2)(6分 ) 已知 F1、 F2 为双曲线 C：
22、 x2 y2 1 的左 、 右焦点 ， 点 P 在双曲线 C 上 ， 且 F1PF2 60，则 |PF1|PF2| ( ) A 2 B 4 C 6 D 8 双曲线综合训练 一、选择题（ 本大题共 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分） 1动点 P 到点 )0,1(M 及点 )0,3(N 的距离之差为 2 ，则点 P 的轨迹是（ ） A双曲线 B双曲线的一支 C两条射线 D一条射线 2设双曲线的半焦距为 c ，两条准线间的距离为 d ，且 dc ，那么双曲线的离心率 e 等于（ ） A 2 B 3 C 2 D 3 3过双曲线的一个焦点 2F 作垂直于实轴的弦 PQ ， 1F 是另一焦点，若2
23、1 QPF，则双曲线的离心率 e 等于（ ） A 12 B 2 C 12 D 22 4 双曲线 221mx y的虚轴长是 实轴长的 2 倍，则 m （ ） A 14B 4 C 4 D 145 双曲线 )0,(12222 babyax的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 为该双曲线在第一象限的点， PF1F2面积为 1，且 ,2t a n,21t a n 1221 FPFFPF则该双曲线的方程为（ ） A 13512 22 yx B 13125 22 yx C 1512322 yx D 1125322 yx 6 若 1F 、 2F 为双曲线 12222 byax的左、右焦点， O 为坐标原点
24、，点 P 在双曲线的左支上，点 M 在双曲线的右准线上 ，且满足)(,111OMOMOFOFOPPMOF )0( ，则该双曲线的离心率为（ ） A 2 B 3 C 2 D 3 7如果方程 221xypq表示曲线 ,则下列椭圆中与该双曲线共焦点的是 （ ） A 2212 xyq p qB 2212 xyq p p C 2212xyp q qD 2212 xyp q q 二、填空题： （ 本大题共 3 小题， 每小题 5 分，满分 15 分） 8双曲线的渐近线方程为 20xy，焦距为 10 ，这双曲线的方程为 _。 9若曲线 22141xykk表示双曲线，则 k 的取值范围是 。 10若双曲线 1
25、422 myx的渐近线方程为 xy23，则双曲线的焦点坐标是 _ 三、解答题： （ 本 大题共 2 小题，满分 30 分） 11. （本小题满分 10 分） 双曲线与椭圆有共同的焦 点12( 0 , 5 ) , ( 0 , 5 )FF，点 (3,4)P 是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求渐近线与 椭圆的方程。 12 （本小题满分 20 分）已知三点 P（ 5， 2）、 1 F （ 6， 0）、 2 F （ 6， 0）。 （ 1）求以 1F 、 2F 为焦点且过点 P 的椭圆的标准方程； （ 2）设点 P、 1F 、 2F 关于直线 y x 的对称 点分别为 P 、 1F 、 2F ，求以 1
26、F 、 2F 为焦点且过点 P的双曲线的标准方程 . 【基础热身】 1 C 解析 双曲线方程可化为 x24y28 1， 所以 a2 4， 得 a 2， 所以 2a 4.故实轴长为 4. 2 B 解析 由于直线 x 2y 1 0 与双曲线 x24 y2 1 的渐近线 y 12x 平行 ， 所以直线与双曲线只有 一个交点 ， 所以集合 A 中只有一个元素 故选 B. 3 B 解析 双曲线 x216y29 1 的一个焦点是 (5,0)， 一条渐近线是 3x 4y 0， 由点到直线的距离公式可得 d |3 5 0|5 3.故选 B. 4.43 解析 双曲线 y27x29 1 的共轭双曲线是x29y27
27、 1， 所以 a 3， b 7， 所以 c 4， 所以离心率 e 43. 【能力提升】 5 D 解析 设双曲线的标准方程为 x2a2y2b2 1(a0， b0)， 所以其渐近线方程为 y bax， 因为点 (4， 2)在渐近线上 ， 所以 ba 12.根据 c2 a2 b2， 可得 c2 a2a2 14， 解得 e2 54， 所以 e52 ， 故选 D. 6 C 解析 根据双曲线 x2a2y29 1 的渐近线方程得 ： y 3ax， 即 ay3 x 0.又已知双曲线的渐近线方程为 3x2 y 0 且 a0， 所以有 a 2， 故选 C. 7 B 解析 若方程表示圆锥曲线 ， 则数组 (m， n
28、)只有 7 种 ： (2， 1)， (3， 1)， ( 1， 1)， (2,2)，(3,3)， (2,3)， (3,2)， 其中后 4 种对应的方程表示焦点在 x 轴上的双曲线 ， 所以概率为 P 47.故选 B. 8 A 解析 双曲线的渐近线为 y 2x， 圆心为 (3,0)， 所以半径 r | 2 3 0|3 6.故选 A. 9 1 解析 作 DM AB 于 M， 连接 BD， 设 AB 2， 则 DM sin， 在 Rt BMD 中 ， 由勾股定理得 BD 5 4cos， 所以 e1 |AB|BD| |AD| 25 4cos 1， e2 |CD|AC| |AD| 2 2cos5 4cos
29、 1， 所以 e1e2 1. 10 2， ) 解析 依题意 ， 双曲线的渐近线中 ， 倾斜角的范围是 60， 90)， 所以 ba tan60 3，即 b2 3a2， c2 4a2， 所以 e 2. 11.x29y227 1 解析 ba 3， 即 b 3a， 而 c 6， 所以 b2 3a2 3(36 b2)， 得 b2 27， a2 9，所以双曲线的方程为 x29y227 1. 12 解答 (1)椭圆的焦点为 F1(0， 3)， F2(0,3) 设双曲线的方程为 y2a2x2b2 1， 则 a2 b2 32 9. 又双曲线经过点 ( 15， 4)， 所以 16a2 15b2 1， 解 得 a
30、2 4， b2 5 或 a2 36， b2 27(舍去 )， 所以所求双曲线 C 的方程为 y24x25 1. (2)由双曲线 C 的方程 ， 知 a 2， b 5， c 3. 设 |PF1| m， |PF2| n， 则 |m n| 2a 4， 平方得 m2 2mn n2 16. 在 F1PF2 中 ， 由余弦定理得 (2c)2 m2 n2 2mncos120 m2 n2 mn 36. 由 得 mn 203 ， 所以 F1PF2 的面积为 S 12mnsin120 5 33 . 【难点突破】 13 (1)B (2)B 解析 (1)依题意有 a2 b2a m2 b2m 1， 化简整理 得 a2
31、b2 m2， 故选 B. (2)在 F1PF2 中 ， 由余弦定理得 ， cos60 |PF1|2 |PF2|2 |F1F2|22|PF1|PF2| ， |PF1| |PF2|2 |F1F2|2 2|PF1|PF2|2|PF1|PF2| ， 4a2 4c22|PF1|PF2| 1 4b22|PF1|PF2| 1. 因为 b 1， 所以 |PF1|PF2| 4.故选 B. 一、选择题 1 D 2 , 2P M P N M N 而， P 在线段 MN 的延长线上 2 C 222 2 222 , 2 , 2 , 2acc c a e eca 3 C 12PFF是等腰直角三角形，2 1 2 12 ,
32、2 2P F F F c P F c 1212 , 2 2 2 2 , 2 121cP F P F a c c a e a 4 A. 5 A【思路分析】：设 ),(00 yxp， 则 1,2,2100 00 0 cycxycxy ， 3 32,6 35,23 00 yxc【命题分析】：考察圆锥曲线的相关运算 6 C【思路分析】：由 PMOF 1 知四边形 OMPF1 是平行四边形，又11(OFOFOP )OMOM知 OP 平分 OMF1 ，即 OMPF1 是菱形，设 cOF1 ，则 cPF1 . 又 aPFPF 212 ， caPF 22，由双曲线的第二定义知： 122 ec cae,且 1e
33、 ，2e ，故选 C . 【命题分析】：考 查圆锥曲线的第一、二定义及与向量的综合应用，思维的灵活性 . 7 D由题意知 , 0pq .若 0, 0pq,则双曲线的焦点在 y 轴上 ,而在选择支 A,C 中 ,椭 圆的焦点都在 x轴上 ,而选择支 B,D 不表示椭圆 ; 若 0, 0pq,选择支 A,C 不表示椭圆 ,双曲线的半焦距平方 2c p q ,双曲线的焦点在 x 轴 上 ,选择支 D 的方程符合题意 . 二、填空题 8 22120 5xy 设 双曲线的方程为 224 , ( 0 )xy ，焦距 22 1 0 , 2 5cc 当 0 时， 221 , 2 5 , 2 044xy ； 当
34、 0 时， 221 , ( ) 2 5 , 2 044yx 9 ( , 4 ) (1 , ) ( 4 ) ( 1 ) 0 , ( 4 ) ( 1 ) 0 , 1 , 4k k k k k k 或. 10 ( 7,0) 渐近线方程为2myx，得 3, 7mc，且焦点在 x 轴上 . 三、解答题 11解：由共同的焦点12( 0 , 5 ) , ( 0 , 5 )FF，可设椭 圆方程为 22125yxaa； 双曲线方程为 22125yxbb，点 (3,4)P 在椭圆上， 2221 6 9 1 , 4 025 aaa 双曲线的过 点 (3,4)P 的渐近线为225byxb ，即224 3 , 1 62
35、5b bb 所以椭圆方程为 22140 15yx；双曲线方程为 22116 9yx12（ 1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为22ax+ 122 by )0( ba，其半焦距 6c 。 |2 21 PFPFa 5621211 2222 ， a 53 ， 93645222 cab ，故所求椭圆的标准方程 为452x + 192 y ； （ 2）点 P（ 5， 2）、 1F （ 6， 0）、 2F （ 6， 0）关于直线 y x 的对称点分别为： )5,2(P 、 1F （ 0， -6）、 2F （ 0， 6） 设所求双曲线的标准方程为212ax - 1212 by )0,0( 11 ba ，由题意知半焦距 61 c ， |2 211 FPFPa 5421211 2222 ， 1a 52 ， 162036212121 acb ，故所求双曲线的标准方程为 202y - 1162 x .
