1、 1 椭圆知识点 【 知识点 1】椭圆的概念 : 在平面内到两定点 F1、 F2的距离的和等于常数 (大于 |F1F2|)的点的轨迹叫 椭圆 这两定点叫做椭圆的 焦点 ，两焦点间的距离叫做 焦距 当动点设为 M 时，椭圆即为点集 P 12|2M M F M F a注意： 若 )(2121 FFPFPF ，则动点 P 的轨迹为线段 21FF ； 若 )(2121 FFPFPF ，则动点 P 的轨迹无图形 。 【 知识点 2】椭圆的标准方程 焦点在 x 轴上椭圆的标准方程 : 22 10xy abab ， 焦点坐标为（ c， 0)， （ -c， 0) 焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为： 22 1
2、0xy abba 焦点坐标为（ 0， c， ） (o， -c) 【 知识点 3】椭圆的几何性质 : 规律 : (1)椭圆焦点位置与 x2， y2 系数间的关系： 焦点在分母大 的那 个轴上 . (2)椭圆上任意一点 M 到焦点 F 的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为 a c，最小距离为 a c. (3)在椭圆中， 离心率2222222 1ababaacace (4)椭圆的 离心率 e越接近椭圆越扁； e越接近 于，椭圆就接近于圆； (5)离心率公式：在 21PFF 中， 21 FPF ， 12 FPF ， sinsinsin e标准方程 22 10xy a
3、bab 22 10xy abba 图形 性质 范围 a x a b y b 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1( a,0)， A2(a,0) B1(0， b)， B2(0， b) A1(0， a)， A2(0， a) B1( b,0)， B2(b,0) 轴 长轴 A1A2 的长为 2a；短轴 B1B2 的 长为 2b 焦距 F1F2 |=2c 离心率 e=ca (0,1) a， b， c 的关系 c2 a2 b2 2 二、椭圆其他结论 1、 若0 0 0( , )P x y在椭圆 221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是 00221x x y yab 若已知 切线斜率 K，
4、切线方程为 222 bkakxy 2、 若0 0 0( , )P x y在椭圆 221xyab外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、 P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是00221x x y yab 3、 椭圆 221xyab(a b 0)的左右焦点分别为 F1， F 2，点 P 为椭圆上任意一点 21 PFF ，则椭圆的焦点角形的面积 为2tan221 bS PFF 4、 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆 内切 . 5、过焦点的弦中， 通径 (过焦点且与焦点所在坐标轴垂直的弦 )最短ab22 6、 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、 Q, A1、 A
5、2 为椭圆长轴上的顶点， A1P 和 A2Q 交于点 M， A2P 和A1Q 交于点 N，则 MF NF。 7、 AB 是椭圆 221xyab的不平行于对称轴的弦， M ),(00 yx为 AB 的中点，则 22O M A Bbkk a ， 即0202 ya xbK AB 。 8、 若0 0 0( , )P x y在椭圆 221xyab内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是 220 0 0 02 2 2 2x x y y x ya b a b 9、 若0 0 0( , )P x y在椭圆 221xyab内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 22 002 2 2 2x x y yxya b a
6、b 10、 若 P 为短轴顶点，则 21 PFF 最大 【 知识点 4】椭圆中的焦点三角形 : 定 义 : PF1 + PF2 2a F1F2 2c 余弦定理 : F1F2 2= PF1 2+ PF2 2-2 PF1 PF2 cos( F1PF2=) 面积公式 :在椭圆 12222 byax（ a b 0）中，焦点分别为 1F 、 2F ，点 P 是椭圆上任意一点， 21 PFF ，则2tan221 bS PFF 3 【 知识点 5】 点 (x0,y0)与椭圆 221xyab(ab0)的位置关系 : 点 P 在椭圆上 22001xyab点 P 在椭圆内部 22001xyab点 P 在椭圆外部
7、22001xyab【 知识点 6】直线与 椭圆 位置关系的判断： 直线斜率存在时221y k x bm x n y 2 2 2( ) 2 1 0m k n x k b n x b 直 线与椭圆相交 0 直线与椭圆相切 0 直线与椭圆相离 0 直线斜率不存在时 22221xmxyab 判断 y 有几个解 例 1. 已知：椭圆 191622 yx 与直线 l 交于 A 、 B 两点， A 、 B 中点为 1,1M ，求直线 l 的方程 (点差法： 025169 yx ) 例 2. 求过点 3,2 且与椭圆 13522 yx 有相同焦点的椭圆方程 ( 16822 yx ) 设：所求椭圆方程为 135
8、22 kykx例 3. 求过点 22,2 且与椭圆 18422 yx 有相同离心率的椭圆方程 ( 116822 yx 、 1201022 xy ) 设：所求椭圆方程为 18422 kykx例 4. 已知椭圆 1522 myx的离心率510e，求 m 的值 (325m、 3m ) 例 5. 若椭圆 13222 yx 上存在 A 、 B 两点，关于直线 mxy 4 ，对称。求 m 的取值范围。 522,522m4 双曲线知识点 【 知识点 1】双曲线的概念 : 在平面内到两定点 F1、 F2的距离的 差的绝对值 等于常数 (小 于 |F1F2|)的点的轨迹叫 双曲线 这两定点叫做椭圆的 焦点 ，两
9、焦点间的距离叫做 焦距 当动点设为 M 时，椭圆即为点集 P 12|2M M F M F a注意： 若 )(2121 FFMFMF ，则动点 P 的轨迹为 两条射线 ； 若 )(2121 FFMFMF ，则动点 P 的轨迹无图形 。 【 知识点 2】双曲线的标准方程 焦点在 x 轴上 双曲线 的标准方程 : 22 1 0 , 0xy abab ， 焦点坐标为（ c， 0)， （ -c， 0) 焦点在 y 轴上的 双曲线 的标准方程为： 22 1 0 , 0yx abba 焦点坐标为（ 0， c， ） (o， -c) 【 知识点 3】双曲线的几何性质 标准方程 x2a2y2b2 1(a0， b0
10、) y2a2x2b2 1(a0， b0) 图 形 性 质 范 围 xa 或 x a， y R x R， y a 或 ya 对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A1( a,0)， A2(a,0) A1(0， a)， A2(0， a) 渐近线 y bax y abx 离心率 e ca， e (1， )，其中 c a2 b2 实虚轴 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴， 它的长 |A1A2| 2a； 线段 B1B2 叫做双曲线的虚轴，它的长 |B1B2| 2b； a 叫做双曲线的实半轴长， b 叫做双曲线的虚半轴长 a、 b、 c 的关系 c2 a2 b2(c a 0， c b 0) 规律
11、: 1.双曲线为等轴双曲线 双曲线的离心率 e 2双曲线的两条渐近线互相垂直 (位置关系 ) 2.区分双曲线中的 a， b， c 大小关系与椭圆 a， b， c 关系，在椭圆中 a2 b2 c2，而在双曲线中 c2 a2 b2. (2)双曲线的离心率大于 1，而椭圆的离心率 e (0,1) 5 (3)在 双曲线 中， 离 心率 2 2 2 22 2 21c c a b bea a a a (4)双曲线 的 离心率 e越 大 ,开口越阔 . 【 知识点 4】双曲线中的焦点三角形 : 定 义 : PF1 - PF2 2a F1F2 2c 余弦定理 : F1F2 2= PF1 2+ PF2 2-2
12、PF1 PF2 cos( F1PF2=) 面积公式 :在 双曲线 12222 byax（ a b 0）中，焦点 分别为 1F 、 2F ，点 P 是 双曲线 上任意一点， 21 PFF ，则 122ta n 2F P FbS 【 知识点 5】直线与双曲线的位置关系的判断： 设直线 )0(: mmkxyl ，双曲线 )0,0(12222 babyax联立解得 02)( 222222222 bamam k xaxkab （ 1）若 0222 kab 即abk ，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点； （ 2）若 0222 kab 即abk 时， )(4)2( 222222222 bamakabmka 0 直线与双曲线相交，有两个交点； 0 直线与双曲线相切，有一个交点； 0 直线与双曲线相离，无交点； 【 知识点 6】 弦长 公式 : AB= 2 2 21 2 1 2 1 21 | | 1 ( ) 4k x x k x x x x 21 k a， 12211A B y yk 211 ka（其中 k 为直线斜率） 【 知识点 7】 中点弦问题 （点差法）：遇到弦中点，两式减一减。若要求弦长，韦达来帮忙。
