1、 1 三角形相似总复习 第一部分 相似三角形知识要点大全 知识点 1.相似图形的含义 把形状相同的图形叫做相似图形。（即对应角相等、对应边的比也相等的图形） 解读 ：（ 1）两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到 （ 2）全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同 （ 3）判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关 例 1放大镜中的正方形与原正方形具有怎样的关系呢？ 分析：要注意镜中的正方形与原正方形的形状没有改变 解：是相似图形。因为它们的形状 相同，大小不一定相同 例 2下列各组图形：两个平行四边形；两个圆；两个矩形；有一个内
2、角 80的两个等腰三角形；两个正五边形；有一个内角是 100的两个等腰三角形，其中一定是相似图形的是 _(填序号 ) 解析：根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，而平行四边形、矩形、等腰三角形都属于形状不唯一的图形，而圆、正多边形、顶角为 100的等腰三角形的形状不唯一，它们都相似答案： 知识点 2比例线段 对于四条线段 a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与 另两条线段的长度的比相等，即 acbd（或a:b=c:d）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 解读 ：（ 1）四条线段 a,b,c,d 成比例，记作 acbd（或 a:b=c:d），不能写成其他形式
3、，即比例线段有顺序性 （ 2）在比例式 acbd（或 a:b=c:d）中，比例的项为 a,b,c,d，其中 a,d为比例外项， b,c为比例内项， d是第四比例项 （ 3）如果比例内项是相同的 线段，即 abbc或 a:b=b:c，那么线段 b叫做线段和的比例中项。 (4)通常四条线段 a,b,c,d的单位应一致，但有时为了计算方便， a和 b统一为一个单位， c和 d统一为另一个单位也可以，因为整体表示两个比相等 例 3已知线段 a=2cm, b=6mm, 求 ab 分析：求 ab即求与长度的比，与的单位不同，先统一单位，再求比 例 4已知 a,b,c,d成比例，且 a=6cm,b=3dm,
4、d=32dm，求 c的长度 分析：由 a,b,c,d成比例，写出比例式 a:b=c:d，再把所给各线段 a,b,d统一单位后代入求 c 知识点 3相似多边形的性质 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等 解读 ：（ 1）正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系 （ 2）明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性 例 5若四边形 ABCD的四边长分别是 4， 6， 8， 10，与四边形 ABCD相似的四边形 A1B1C1D1的最大边长为30，则四边形 A1B1C1D1的最小边长是多少？ 2 分析：四边形 ABCD与四边形 A1B1C1D1相似，且它们的相似比
5、为对应的最大边长的比，即为 13，再根据相似多边形对应边成比例的性质，利用方程思想求出最小边的长 知识点 4相似三角形的概念 对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形 解读 ：（ 1）相似三角形是相似多边形中的一种； （ 2）应结合相似多边形的性质来理解相似三角形； （ 3）相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同； （ 4）相似 用“”表示，读作“相似于”； （ 5）相似三角形的对应边之比叫做相似比 注意 ：相似比是有顺序的，比如 ABC A1B1C1，相似比为 k,若 A1B1C1ABC，则相似比为 1k。若两个三角形的相似比为 1，则这两个三角形全等，全等三角形是相似三角形的特殊
6、情况。若两个三角形全等，则这两个三角形相似；若两个三角形相似，则这两个三角形不一定全等 例 6如图，已知 ADE ABC， DE=2， BC=4，则和的相似比是多少？点 D， E分别是 AB， AC的中点吗 ？ 注意 ：解决此类问题应注意两方面：（ 1）相似比的顺序性，（ 2）图形的识别 解：因为 ADE ABC，所以 D E A D A EB C A B A C，因为 2142DEBC ， 所以 12A D A EA B A C，所以 D， E 分别是 AB， AC的中点 知识点 5相似三角的判定方法 （ 1） 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似； （ 2） 平行于三角形一边的
7、直线截其他两边（或其他两边的延长线）所构成的三角形与原三角形相似 （ 3） 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 （ 4） 如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 （ 5） 如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似 （ 6） 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似 例 7如图，点 D在 ABC的边 AB 上，满足怎样的条件时， ACD与 ABC相似？试分别加以列举 分析：此题属于探索性问题，由相似三角形的判别方法可知， ACD与 ABC已有公共
8、角 A，要使此两个三角形相似，可根据相似三角形的判别方法寻找一个条件即可 解：当满足以下三个条件之一时， ACD ABC 条件一： 1= B；条件二： 2= ACB；条件三：，即 AC2=AD AB 知识点 6相似三角形的性质 （ 1） 对应角相等，对应边的比相等； （ 2） 对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比； （ 3） 相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方 例 8如图，已知 ADE ABC， AD=8， BD=4， BC=15， EC=7 （ 1） 求 DE、 AE的长； AB CD EAD ACAC AB3 （ 2） 你还能发现哪些线段成比例 B C
9、ADE分析：此题重点考查由两个三角形相似，可得到对应边成例，即 例 9已知 ABC A1B1C1， ， =23， ABC的周长为 20cm，面积为 40cm2 求（ 1） A1B1C1的周长；（ 2） A1B1C1的面 积 分析：根据相似三角形周长之比等于相似比；面积之比等于相似比的平方求解 易求出 A1B1C1的周长为 30cm; A1B1C1的面积 90cm2 第二部分 相似三角形模型分析大全 一、 相似三角形判定的基本模型认识 （一） A 字型、反 A 字型（斜 A 字型） AB CD E（平行） CBADE（不平行） （二） 8 字型、反 8 字型 JOADBCABCD（蝴蝶型） （平
10、行） （不平行） D E A D A EB C A B A C11ABAB4 （三）母子型 AB CDCAD（四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景 （五）一线三直角型： 5 （六） 双垂型： CAD二、 相似三角形判定的变化模型 旋转型： 由 A字型旋转得到。 8 字型拓展 CB EDA共享性GAB CE F一线三等角的变形 6 一线三直角的变形 第三部分 相似三角形典型例题讲解 母子型相 似三角形 例 1：如图，梯形 ABCD 中， AD BC，对角线 AC、 BD 交于点 O， BE CD 交 CA 延长线于 E 求证： OEOAOC 2 例
11、 2：已知：如图， ABC 中， 点 E 在中线 AD 上 , ABCDEB 求证：（ 1） DADEDB 2 ； （ 2） DACDCE A C D E B 7 例 3：已知：如图，等腰 ABC 中， AB AC， AD BC 于 D， CG AB， BG 分别交 AD、 AC 于 E、 F 求证： EGEFBE 2 相关练习： 1、如图，已知 AD 为 ABC 的角平分线， EF 为 AD 的垂直平分线求证： FCFBFD 2 2、已知： AD 是 Rt ABC中 A的平分线， C=90， EF 是 AD的垂直平分线交 AD于 M， EF、 BC的延长线交于一点 N。 求证： (1) AM
12、E NMD; (2)ND2 =NC NB 8 3、已知：如图，在 ABC中， ACB=90， CD AB于 D， E是 AC上 一点， CF BE于 F。 求证： EB DF=AE DB 5 已知：如图，在 Rt ABC 中， C=90， BC=2， AC=4， P 是斜边 AB 上的一个动点， PD AB，交边 AC于点 D（点 D与点 A、 C都不重合）， E是射线 DC 上一点，且 EPD= A设 A、P 两点的距离为 x， BEP的面积为 y （ 1）求证： AE=2PE； （ 2）求 y关于 x的函数解析式，并写出它的定义域； （ 3）当 BEP与 ABC相似时，求 BEP的面积 A
13、 C B P D E （第 25 题图） 9 双垂型 1、 如图，在 ABC中， A=60， BD、 CE 分别是 AC、 AB上的高 求证：（ 1） ABD ACE；（ 2） ADE ABC； (3)BC=2ED 2、如图，已知锐角 ABC， AD、 CE 分别是 BC、 AB 边上的高， ABC 和 BDE 的面积分别是 27 和 3，DE=6 2 ，求：点 B 到直线 AC 的距离。 EDAB CDEAB C10 共享型相似三角形 1、 ABC 是等边三角形 ,D、 B、 C、 E 在一条直线上 , DAE= 120 ，已知 BD=1， CE=3， ,求等边 三角形的边长 . AB CD
14、 E2、已 知：如图，在 Rt ABC 中， AB=AC， DAE=45 求证：（ 1） ABE ACD； （ 2） CDBEBC 22 ED CAB11 一线三等角型相似三角形 例 1：如图，等边 ABC 中，边长为 6， D 是 BC 上动点， EDF=60 （ 1）求证 ： BDE CFD （ 2）当 BD=1， FC=3 时，求 BE 例 2： （ 1） 在 ABC 中， 5 ACAB ， 8BC ， 点 P 、 Q 分别在射线 CB 、 AC 上（ 点 P 不与点 C 、点 B 重合），且保持 ABCAPQ . 若点 P 在线段 CB 上（如图），且 6BP ，求线段 CQ 的长；
15、若 xBP ， yCQ ，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出函数的定义域； （ 2） 正方形 ABCD 的边长为 5 （如下图）， 点 P 、 Q 分别在 直线 CB 、 DC 上（ 点 P 不与点 C 、点 B 重合），且保持 90APQ .当 1CQ 时，求出线段 BP 的长 . A B C 备用图 A B C D C A D B E F A B C D A B C P Q A B C 备用图 A B C D 12 例 3：已知在梯形 ABCD 中， AD BC， AD BC，且 AD 5， AB DC 2 （ 1）如图 8， P 为 AD 上的一点，满足 BPC A 求证； ABP
16、 DPC 求 AP 的长 （ 2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、 D 不重合），且满足 BPE A， PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么 当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP x， CQ y，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； 当 CE 1 时，写出 AP 的长 CBA DCBA DC D A B P 13 例 4： 如图，在梯形 ABCD 中， AD BC ， 6A B C D B C ， 3AD 点 M 为边 BC 的中点，以M 为顶点作 EMF B ，射线 ME 交腰 AB 于点 E ，射线 MF 交腰 CD 于
17、点 F ，联结 EF （ 1）求证： MEF BEM ； （ 2）若 BEM 是以 BM 为腰的等腰三角形，求 EF 的长； （ 3）若 EF CD ，求 BE 的长 14 相关练习： 1、 如图，在 ABC 中， 8 ACAB ， 10BC ， D 是 BC 边上的一个动点，点 E 在 AC 边上，且CADE (1) 求证： ABD DCE； (2) 如果 xBD ， yAE ，求 y 与 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的定义域； (3) 当点 D 是 BC 的中点时，试说明 ADE 是什么三角形，并说明理由 2、如图， 已 知 在 ABC 中， AB=AC=6， BC=5， D 是
18、AB 上一点， BD=2， E 是 BC 上一动点，联结 DE，并作 DEF B ， 射线 EF 交线段 AC 于 F （ 1）求证： DBE ECF； （ 2）当 F 是线段 AC 中点时，求线段 BE 的长； （ 3）联结 DF，如果 DEF 与 DBE 相似，求 FC 的长 FBACDEA B C D E 15 3、已知在梯形 ABCD 中， AD BC， AD BC，且 BC =6， AB=DC=4，点 E 是 AB 的中点 （ 1）如图， P 为 BC 上的一点，且 BP=2求证： BEP CPD； （ 2）如果点 P 在 BC 边上移动（点 P 与点 B、 C 不重合），且满足 E
19、PF= C， PF 交直线 CD 于点 F，同时交直线 AD 于点 M，那么 当点 F 在线段 CD 的延长线上时，设 BP=x ， DF=y ，求 y 关于 x 的函数解析式，并写出函数的定义域； 当BEPDMF SS 49 时，求 BP 的长 4、如图，已知边长为 3 的等边 ABC ，点 F 在边 BC 上， 1CF ，点 E 是射线 BA 上一动点，以线段 EF为边向右侧作等边 EFG ，直线 ,EG FG 交直线 AC 于点 ,MN， （ 1）写出图中与 BEF 相似的三角形； （ 2）证明其中一对三角形相似； （ 3）设 ,B E x M N y，求 y 与 x 之间的函数关系式，
20、并写出自变量 x 的取值范围； （ 4）若 1AE ，试求 GMN 的面积 E D C B A P （第 25 题图） E D C B A （备用图） 备用图 16 一线三直角型相似三角形 例 1、已知矩形 ABCD 中， CD=2， AD=3，点 P 是 AD 上的一个动点，且和点 A,D 不重合，过点 P 作 CPPE ，交边 AB 于点 E,设 yAExPD , ，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围。 例 2、 在 ABC 中， OBCACC ,3,4,90 o 是 AB 上的一点，且52ABAO，点 P 是 AC 上的一个动点， OPPQ 交线段 BC 于点 Q，（不与点 B,C 重合），设 yCQxAP , ，试求 y 关于 x 的函数关系 ，并写出定义域。 QCB AOPEB CA DP17 FA BCDEFA BCDE【 练习 2】 在直角三角形 ABC 中， DBCABC ,90 o 是 AB 边上的一点， E 是在 AC 边上的一个动点，（与 A,C不重合）， DFDEDF , 与射线 BC 相交于点 F. (1)、当点 D 是边 AB 的中点时，求证： DFDE (2)、当 mDBAD，求DFDE的值 （ 3）、当21,6 DBADBCAC，设 yBFxAE , ,求 y关于 x的函数关系式，并写出定义域
