1、几何变换 的 三种模型 手拉手 、半角、对角互补 等 腰 三 角 形手 拉 手 模 型 等 腰 直 角 三 角 形 （ 包 含 正 方 形 ）等 边 三 角 形 （ 包 含 费 马 点 ）特 殊 角旋 转 变 换 对 角 互 补 模 型一 般 角特 殊 角角 含 半 角 模 型一 般 角等 线 段 变 换 （ 与 圆 相 关 ）【练 1】 （ 2013 北京中考 ） 在 ABC 中， AB AC ， BAC （ 0 60 ），将线段BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段 BD （ 1） 如图 1，直接写出 ABD 的大小 （ 用含 的式子表示 ） ； （ 2） 如图 2， 1 5 0 6 0
2、B C E A B E ， ，判断 ABE 的形状并加以证明； （ 3） 在 （ 2） 的条件下，连结 DE ，若 45DEC ，求 的值 知识关联图 真题演练 【练 2】 （ 2012 年北京中考）在 ABC 中， B A B C B A C ， ， M 是 AC 的中点， P 是线段上的动点，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ （ 1） 若 且点 P 与点 M 重合 （ 如图 1） ，线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D ，请补全图形，并写出 CDB 的度数； （ 2） 在图 2 中，点 P 不与点 BM， 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D ，猜
3、想 CDB 的大小 （ 用含 的代数式表示 ） ，并加以证明； （ 3） 对于适当大小的 ，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置 （ 不与点 B ， M 重合 ）时，能使得线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D ，且 PQ QD ，请直接写出 的范围 考点 1： 手拉手模型：全等和相似 包含： 等腰三角形、等腰直角三角形 （正方形） 、等边三角形伴随旋转出全等，处于各种位置的旋转模型，及残缺的旋转模型都要能很快看出来 （ 1） 等腰三角形旋转模型图 （ 共顶点旋转等腰出伴随全等 ） （ 2） 等边三角形旋转模型图 （ 共顶点旋转等边出伴随全等 ） （ 3） 等腰直角旋转模型图 （ 共
4、顶点旋转等腰直角出伴随全等 ） （ 4） 不等边旋转模型图 （ 共顶点旋转不等腰出伴随相似 ） 例题精讲 【例 1】 （ 14 年海淀期末） 已知四边形 和四边形 都是正方形 ，且 （ 1）如图 ，连接 、 求证： ； （ 2）如图 ，如果正方形 的边长为 ，将正方形 绕着点 旋转到某一位置时恰好使得 ， 求 的度数； 请直接写出正方形 的边长的值 ABCD CEFG AB CE1 BG DG BG DE2 ABCD 2 CEFG CCG BD BG BDBDECEFG【题型总结】 手拉手模型是中考中最常见的模型，突破口常见的有哪些信息？常见的考试方法有哪些？ 【例 2】 （ 2014 年西城
5、一模） 四边形 ABCD 是正方形， BEF 是等腰直角三角形，90BEF ， BE EF ，连接 DF ， G 为 DF 的中点，连接 EG ， CG ， EC 。 （ 1）如图 24-1，若点 E 在 CB 边的延长线上，直接写出 EG 与 GC 的位置关系及 ECGC的值； （ 2）将图 24-1 中的 BEF 绕点 B 顺时针旋转至图 24-2 所示位置，请问（ 1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； A C D G E F B 图 图A C D G E F B 【题型总结】 此类型题目方法多样，你还能找到其他的解题方法吗？ 另外涉及到的中点辅助线
6、你还能说出几种？ 【例 3】 （ 2015 年海淀九上期末） 如图 1，在 ABC 中， 4BC ，以线段 AB 为边作 ABD ，使得 AD BD ， 连接 DC ，再以 DC 为边作 CDE ，使得 DC DE ，C D E A D B （ 1） 如图 2 ，当 45ABC 且 90时，用等式表示线段 AD DE， 之间的数量关系； （ 2） 将线段 CB 沿着射线 CE 的方向平移，得到线段 EF ，连接 BF AF， 若 90，依题意补全图 3， 求线段 AF 的长 ；请直接 写出 线段 AF 的长（ 用 含 的 式 子 表示 ） 图 2 图 3 备用图 EAB CDEAB CDEAB
7、 CDEAB CD图 1 【例 4】 （ 13 年房山一模） （ 1） 如图 1， ABC 和 CDE 都是等边三角形，且 B 、 C 、 D 三点共线，联结 AD 、BE 相交于点 P ，求证： BE AD （ 2）如图 2，在 BCD 中， 120BCD，分别以 BC 、 CD 和 BD 为边在 BCD外部作等边 ABC 、等边 CDE 和等边 BDF ，联结 AD 、 BE 和 CF 交于点 P ，下列结论中正确的是 _（只填序号即可） AD BE CF； BEC AD C ； 60D P E E P C C P A ； （ 3）如图 2，在（ 2）的条件下，求证： P B P C P
8、D B E 图 1 图 2 【题型总结】 到三个定理的三条线段之和最小，夹角都为 旋转与最短路程问题主要是利用旋转的性质转化为两点之间线段最短的问题，同时与旋转有关路程最短的问题，比较重要的就是费马点问题 费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换 考点 2： 角含半角模型：全等 秘籍： 角含半角要旋转 ：构造两次全等 【例 1】 （ 2012 年西城期末）已知： 如图，正方形 ABCD 的边长为 a， BM ， DN 分别 平分正方形的 两 个 外角 ， 且满足 45MAN ，连结 MC ， NC ， MN 猜想线段 BM ，DN 和 MN 之间
9、的 等量 关系 并证明你的结论 FEDCBAGFEDCBAAB CDEFFEDCBAGAB CDEFGAB CD EAB CD EF【例 2】 （ 2014 年平谷一模） （ 1）如图 1，点 分别是正方形 的边 上的点， ，连接 ， 则 之间的数量关系是： 连结 ，交 于点 ，且 满足 ，请证明这个等量关系； （ 2）在 ABC 中， ，点 分别为 边上的两点 如图 2，当 ， 时， 应满足的等量关系是 _； 如图 3，当 ， ， 时，应满足的等量关系是 _【参考： 】 EF、 ABCD BC CD、 45EAF EF E F B E F D、 、 E F B E F D BDAE AF、
10、MN、 M N B M D N、 、 222 DNBMMN AB AC DE、 BC60BAC 30DAE B D D E E C、 、BAC (0 90) DAE21 B D D E E C、 、1c ossin 22 ABC DEF图 1B CD E图 2AB CD E图 3AMN考点 3： 对角互补模型 常和角平分线性质一起考，一般有两种解题方法 （全等型 90） （全等型 120） （全等型 任意角 ） 【例 1】 四边形 被对角线 分为等腰直角三角形 和直角三角形 ，其中和 都是直角，另一条对角线 的长度为 ，求四边形 的面积 OABCEDNOMABCEDO EDCBAO FEDCB
11、AOEDCBAABCD BD ABD CBDA C AC 2 ABCDDCBA【题型总结】 角含半角的特点有哪些，哪些是不变的量？由角含半角产生的数量关系都是有哪些？如何描述这类题目的辅助线？ 【例 2】 已知 ： 点 是 的平分线上的一动点，射线 交射线 于点 ，将射线绕点 逆时针旋转交射线 于点 ，且使 （ 1）利用图 1，求证： PA PB ； （ 2）如图 1，若点 是 与 的交点，当 时，求 PB 与 PC 的比值； 图 1 图 2 P MON PA OM A PAP ON B 180A P B M O N C AB OP 3POB PCBSSCAOPBMNT TNMBPOAC【例
12、3】 (初二 期末 )已知：如图，在 ABC 中， AB AC ， BAC ，且 60 120 P为 ABC 内部一点，且 PC AC ， 120P C A （ 1）用含 的代数式表示 APC ，得 APC =_； （ 2）求证： BAP PCB ； （ 3）求 PBC 的度数 B CPA【题型总结】 对角互补模型经常在哪里题目里出现，题目中有哪些提示信息？经常和哪种图形同时出现？ （ 【题型总结】 一般涉及到线段的旋转都可以和圆联系起来，根据圆的相关性质解题是一种比较便捷的方法。 【练 1】 （ 2015 年昌平九上期末） 如图，已知 ABC 和 ADE 都是等腰直角三角形，9 0B A C
13、 D A E ， AB AC ， AD AE 连接 BD 交 AE 于 M ,连接 CE 交AB 于 N ， BD 与 CE 交点为 F ，连接 AF （ 1）如图 1，求证： BD CE ； （ 2）如图 1，求证： AF 是 CFD 的平分线； （ 3）如图 2，当 2AC ， 15BCE 时，求 CF 的长 . F EDCBA图 1NM图 2ABCDEFMN全能突破 【练 2】 （ 2014 西城九上期末 ）已知 ： ABC ， DEF 都是等边三角形， M 是 BC 与 EF的中点，连接 AD ， BE . （ 1）如图 1，当 EF 与 BC 在同一条直线上时，直接写出 AD 与 B
14、E 的数量关系和位置关系； （ 2） ABC 固定不动，将图 1 中的 DEF 绕点 M 顺时针旋转 （ o0 o90 ）角，如图 2 所示，判断（ 1）中的结论是否 仍然 成立，若成立，请加以证明；若不成立， 说明理由； （ 3） ABC 固定不动，将图 1 中的 DEF 绕点 M 旋转 （ ）角，作 DH BC 于点 H 设 BH x ，线段 AB ， BE ， ED ， DA 所围 成 的图形面积为 S 当 6AB ， 2DE 时 ，求 S 关于 x 的函数关系式，并写出 相应的 x的取值范围 o0 o90图 2 备用图 图 1 【练 3】 （ 2014 年朝阳一模 24 题） 在 AB
15、C 中， AC BC ，在 AED 中， AD ED ，点D 、 E 分别在 CA 、 AB 上， （ 1） 图 ，若 90A C B A D E ，则 CD 与 BE 的数量关系是 _； （ 2） 若 120A C B A D E ，将 AED 绕点 A 旋转至如图 所示的位置，则 CD与 BE 的数量关系是 _； （ 3） 若 2 ( 0 9 0 )A C B A D E ，将 AED 绕点 A 旋转至如图 所示的位置，探究线段 CD 与 BE 的数量关系，并加以证明（用含 的式子表示） 【练 4】 （ 2015 年燕山九上期末） 小 辉 遇到这样一个问题：如图 1，在 Rt ABC 中，
16、90BAC ， AB AC ， 点 ， E 在 边 BC 上 ， 45DAE 若 3BD ， 1CE ，求 DE 的长 D 小 辉 发现 ， 将绕点 A 按 逆 时针方向旋转 90， 得到 ACF ，连接 EF （如图 2） ，由图形旋转的性质 和 等腰直角三角形的性质 以及 45DAE ， 可 证F A E D A E ，得 FE DE 解 FCE ，可 求 得 EF (即 DE )的长 请回答：在图 2 中， FCE 的度数是 _， DE 的长 为 _ Rt ABC _ 参考小 辉 思考问题的方法，解决问题： 如图 3， 在四边形 中， AB AD ， 180BD EF， 分别是 边 BC
17、 CD，上的点 ， 且 12E A F B A D 猜想 线段 BE EF FD， ， 之间的数量关系 并说明理由 ABCD图 1 A BCDE图 2 FA BCDE图 3 EFDA BC【练 5】 （ 11 年石景山一模）已知：如图，正方形 中， , 为对角线， 将绕 顶点 逆时 针旋转 ( )，旋转后角的两边分别交 于点 、点 ，交 , 于点 、点 ，联结 、 （ 1） 在 的旋转过程中， 的大小是否改变，若不变写出它的度数，若改变，写出它的变化范围（直接在答题卡上写出结果，不必证明）； （ 2） 探究 与 的面积的数量关系，写出结论并加以证明 ABCD AC BD BACA 0 45 B
18、D P QBC CD E F EF EQBAC AEQAPQ AEFQFCDBAPE【练 6】 （ 2015 年延庆九上期末） 已知： ABC 是 O 的内接三角形， AB AC ，在 BAC所对弧 AC 上 ， 任取一点 D ，连接 AD BD CD， ， ， （ 1）如图 1， ， 直接写出 ADB 的大小（用含 的式子表示）； （ 2）如图 2，如果 60BAC，求证： BD CD AD； （ 3）如图 3，如果 120BAC，那么 BD CD 与 AD 之间的数量关系是什么？ 写出猜测并加以证明； （ 4）如果 ，直接写出 BD CD 与 AD 之间的数量关系 . BAC BAC AO
19、B CDAOB CDDCBOA图 1 图 2 图 3 【练 7】 （ 1)如图，在四边形 中， ， 分别是边上的点， 且 求证： ; (2) 如图在四边形 中， ， 分别是边上的点，且 ， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明 (3) 如图，在四边形 中， ， ， 分别是边延长线上的点，且 ， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明 ABCD 90A B A D B D ， EF、 BC CD、12E A F = B A D EF BE FDABCD 1 8 0A B A D B + D ， EF、 BC CD、12E A F B A D ABC
20、D AB AD 180B A D C EF，BC CD， 12E A F B A D EFDCBAEFDCBAEFDCBA【练 8】 小华遇到这样一个问题，如图 1, ABC 中 ， ACB30， 65B C A C， ， 在 ABC 内部有一点 P ， 连接 PA PB PC、 、 ， 求 PA PB PC的最小值 小华是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离，然后再将它们连接成一条折线，并让折线的两个端点为定点，这样依据 “两点之间，线段最短 ”，就可以求出这三条线段和的最小值了他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过旋转可以解决这个问题他的做法是，如
21、图 2，将 APC绕点 C 顺时针旋转 60， 得到 EDC ， 连接 PD BE、 ， 则 BE 的长即为所求 （ 1）请你写出图 2 中， PA PB PC的最小值为 _； （ 2）参考小华的思考问题的方法，解决下列问题： 如图 3，菱形 ABCD 中， ABC60，在菱形 ABCD 内部有一点 P ，请在图 3中画出并指明长度等于 PA PB PC 最小值的线段（保留画图痕迹，画出一条即可）； 若 中菱形 ABCD 的边长为 4，请直接写出当 PA PB PC值最小时 PB 的长 ACB P图 1 DEACBP图 2 DACB图 3 【练 9】 （ 2014 年西城二模）在 ABC ，
22、BAC 为锐角， AB AC ， AD 平分 BAC 交 BC于点 D （ 1）如图 1，若 ABC 是等腰直角三角形，直接写出线段 AC ， CD ， AB 之间的数量关系； （ 2） BC 的垂直平分线交 AD 延长线于点 E ，交 BC 于点 F 如图 2，若 60ABE ，判断 AC ， CE ， AB 之间有怎样的数量关系并加以证明； 如图 3，若 3A C A B A E ，求 BAC 的度数 【练 10】 (2014 年 1 月西城八年级期末试题 附加题 ) 已知：如图， MAN 为锐角， AD 平分 MAN ，点 B ，点 C 分别在射线 AM 和 AN 上， AB AC .
23、（ 1）若点 E 在线段 CA 上，线段 EC 的垂直平分线交直线 AD 于点 F ，直线 BE 交直线 AD 于点 G ，求证： EBF C AG ； （ 2）若（ 1）中的点 E 运动到线段 CA 的延长线上，（ 1）中的其它条件不变，猜想 EBF与 CAG 的数量关系并证明你的结论 . 备用图 1 备用图 2 【练 11】 （ 2014 海淀一模）在 ABC 中， AB AC ，将线段 AC 绕着点 C 逆时针旋转得到线段 CD ，旋转角为 ，且 0 180 ，连接 AD ， BD （ 1） 如图 1 ，当 100BAC ， 60时， CBD 的大小为 _； （ 2） 如图 2，当 100BAC ， 20时，求 M 的大小； （ 3） 已知 BAC 的大小为 m （ 60 120m ） ，若 M 的大小与 （ 2 ） 中的结果相同，请直接写出 的 大小 1、旋转的基本模型特征 2、费马点问题 3、角平分线和垂直平分线辅助线，中点辅助线 4、线段旋转的特点 图 1 AB CD图 2 DCBA小结与 复习
