1、 规律探索 一 选择题 1 （ 2013 泰安 ， 20， 3 分 ） 观察下列等式： 31 3， 32 9， 33 27， 34 81， 35 243， 36 729， 37 2187 解答下列问题： 3 32 33 34 32013 的末位数字是（ ） A 0 B 1 C 3 D 7 考点 ：尾数特征 分析： 根据数字规律得出 3 32 33 34 32013 的末位数字相当于： 3 7 9 1 3进而得出末尾数字 解答： 解： 31 3， 32 9， 33 27， 34 81， 35 243， 36 729， 37 2187 末尾数，每 4 个一循环， 20134 5031 ， 3 32
2、 33 34 32013 的末位数字相当于： 3 7 9 1 3 的末尾数为 3， 点评： 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字变化规律是解题关键 2.（ 2013 四川绵阳 ， 12， 3 分 ） 把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（ 1），（ 3，5， 7），（ 9， 11， 13， 15， 17），（ 19， 21， 23， 25， 27， 29， 31），现用等式 AM=（ i， j）表示正奇数 M 是第 i 组第 j 个数（从左 往右数），如 A7=（ 2， 3），则 A2013=（ C ） A（ 45， 77） B（ 45， 39） C（ 32， 46） D（ 3
3、2， 23） 解析 第 1 组的第一个数为 1，第 2 组的第一个数为 3，第 3 组的第一个数为 9，第 4 组的第一个数为 19，第 5 组的第一个数为 33将每组的第一个数组成数列： 1， 3， 9， 19，33 分别计作 a1,a2,a3,a4,a5 an， an表示第 n组的第一个数， a1 =1 a2 = a1+2 a3 = a2+2+4 1 a4 = a3+2+4 2 a5 = a4+2+4 3 an = an-1+2+4 (n-2) 将上面各等式左右分别相加得 ： a n =1+2(n-1)+4(n-2+1)(n-2)/2=2n2-4n+3 (上面各等式左右分别相加时 ， 抵消
4、了相同部分 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + + a n-1)， 当 n=45时 ， a n = 3873 2013 ,2013 不在第 45组 当 n=32时 ， a n = 1923 2013 ,(2013-1923) 2+1=46, A2013=(32,46). 如果是非选择题 ： 则 2n2-4n+3 2013， 2n2-4n-2010 0， 假如 2013 是某组的第一个数 ， 则2n2-4n-2010=0， 解得 n=1+ 1006 , 31 1006 32,32n33, 2013在第 32组，但不是第 32组的第一个数， a32=1923, (2013-1923)
5、 2+1=46. (注意区别 an和 An) 3. （ 2013 湖南益阳， 13， 4分） 下表中的数字是按一定规律填写的，表中 a 的值应是 1 2 3 5 8 13 a 2 3 5 8 13 21 34 【答案】： 21 【解析】通过观察可知上一排每个数字等于其左下方的数字。 【方法指导】本题可以通过观察上下排数字的联系求出 a 的值，也可以根据“前两个数字之和等于第三个数字”求出 a=8+13=21。 4. （ 2013 重庆市 (A)， 10， 4 分） 下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成 ， 其中第 （ 1） 个图形的面积为 2cm2， 第（ 2）个图形的面积为 8 cm
6、2，第（ 3）个图形的面积为 18 cm2， ，第（ 10）个图形的面积为（ ） A 196 cm2 B 200 cm2 C 216 cm2 D 256 cm2 【答案】 B 【解析】观察图形，第（ 1）个图形中 有 1(12)个矩形 ，面积为 2cm2，即 1 2 2cm2；第（ 2）个图形中有 4(22)个矩形，面积为 8 cm2，即 4 2 22 2 8cm2；第（ 3）个图形有 9(32)个矩形，面积为 18 cm2， 即 9 2 322 2 18cm2； ，所以第（ 10）个图形有 100(102)个矩形，面积为： 100 2 200cm2故选 B 【方法指导】本题考查数形规律探究能
7、力 图形类规律探索题，通常先把图形 型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找规律进行解答 5 （ 2013 山东德州， 12， 3 分 ） 如图，动点 P 从（ 0， 3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 P 第 2013 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为（ ） A、（ 1， 4） B、（ 5， 0） C、（ 6， 4） D、（ 8， 3） 【答案】 D 【解析】 如下图，动点 P（ 0， 3） 沿所示的方向运动，满足反弹时反射角等于入射角， 到时，点 P（ 3， 0）；到时，点 P（ 7， 4）；到时， 点 P（ 8， 3）；到 时，点 P（
8、 5， 0）；到时，点 P（ 1， 4）；到时，点 P（ 3， 0），此时回到出发点，继续 .，出现每 5 次一循环碰到矩形的边 .因为 2013=402 5+3（ 2013 5=402 3） .所以点 P第 2013次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为（ 8， 3） .故选 D. 【方法指导】 本题考查了图形变换（轴对称）与平面直角坐标系规律探索 .以平面直角坐标系为背景，融合轴对称应用的点坐标规律的规律探索题，解题关键从操作中前面几个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律 . 6 （ 2013 山东日照， 11， 4 分） 如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律 .根据此规律 ,
9、图形中 M 与 m、 n 的关系是 A M=mn B M=n(m+1) C M=mn+1 D M=m(n+1) 【答案】 D 【解析】由前面向个题的规律可得 M=m(n+1)。 【方法指导】本题是考查找规律的问题，这类问题要求认真分析所给的信息，从而找到一个能代表这个规律的式子来代替。 7 （ 2013 湖南永州， 8， 3 分） 我们知道 ， 一元二次方程 12 x 没有实数根 ， 即不存在一个实数的平方等于 -1， 若我们规定一个新数 “”， 使其满足 12 i (即方程 12 x 有一个根为 )， 并且进一步规定 : 一切实数可以与新数进行四则运算 ， 且原有的运算律和运算法则仍然成立
10、， 于是有 ,1 ii 12 i ， ,).1(23 iiiii .1)1()( 2224 ii 从而对任意正整数 n， 我们可得到 ,.)(. 4414 iiiiii nnn 同理可得 ,1,1 43424 nnn iiii 那么 ， 20132012432 iiiiii 的值为 A 0 B 1 C -1 D 【答案】 D. 【解 析 】 由于 234i i i i = 1 1 0ii ，而 2 0 1 3 4 5 0 3 1 ， 20132012432 iiiiii =， 所以 本题选 D。 【方法 指导 】 对于数字规律题，有如下的步骤： 1.计算前几项，一般算出四五项； 2.找出几项的
11、规律，这个规律或是循环，或是成一定的数列规律如等差，等比等。 3.用代数式表示出规律或是 得出循环节（即几个数一个循环）； 4.验证你得出的结论。 8 （ 2013 重庆， 11， 4 分）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第 个图形有 1 颗棋子，第 个图形一共有 6 颗棋子，第 个图形一共有 16 颗棋子， ，则第 个图形中棋子的颗数为 （ ） A 51 B 70 C 76 D 81 【答案】 C 【解析】 第 个图形有 1 个棋子，第 个图形有 1+5 个棋子，第 个图形有 1+5+10 个棋子，由此可以推知：第 个图形有 1+5+10+15 个棋子，第 个图形有 1+5
12、+10+15+20 个棋子，第 个图形有 1+5+10+15+20+25 个棋子故选 C 【方法指导】 本题是一道规律探索题，考查观察分析图形并探索归纳规律的能力解决此类问题应先观察图形的变化趋势，从第一个图形开始进行分析，是逐渐增加还是减少，相邻两个图形的变化量与位置序号有怎样的关系；如果所求图形的位置序号较大时，需要运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有 n 的代数式表示出来，最后用代入法求出特殊情况 下的数值 【易错警示】用局部的一两个图形之间的规律代替一般规律，这是常见错误；忽视第一个图形的规律也是常见错误之一 二填空题 1（ 2013 江西， 11，
13、3 分）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第 n个图形中所有的个数为 （用含 n 的代数式表示） 【答案】 (n+1)2 【解析】 找出点数的变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表示 图 图 图 （第 11 题图） 【 方法指导 】 由图形的变化转化为数学式子的变化，加数为连续奇数，结果为加数个数的平方 . 2（ 2013 兰州 ， 19， 4 分 ）如 图，在直角坐标系中，已知点 A（ 3， 0）、 B（ 0， 4），对 OAB连续作旋转变换，依次得到 1、 2、 3、 4 ，则 2013 的直角顶点的坐标为 考点 ：规律型：点的坐标 专题 ：规律型 分析：
14、根据勾股定理列式求出 AB 的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置相同可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长度，再用 2013 除以 3，根据商为 671 可知第 2013 个三角形的直角顶点为循环组的最后一个三角形的顶点，求出即可 解答： 解： 点 A（ 3， 0）、 B（ 0， 4）， AB= =5， 由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为： 4+5+3=12， 20133=671， 2013 的直角顶点是第 671 个循环组的最后一个三角形的直角顶点， 67112=8052， 2013 的直角顶点的坐标为（ 8052， 0）
15、 故答案为：（ 8052， 0） 点评： 本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，仔细观察图形，得到每三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点 3（ 2013 广东 珠海 ， 10， 4 分 ）如 图，正方形 ABCD 的边长为 1，顺次连接正方形 ABCD四边的中点得到第一个正方形 A1B1C1D1，由顺次连接正方形 A1B1C1D1 四边的中点得到第二个正方形 A2B2C2D2，以此类推，则第六个正方形 A6B6C6D6 周长是 考点 ： 中点四边形 专题 ： 规律型 分析： 根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形 ABCD 四边中点得正方形 A1B1C1D1
16、的面积为正方形 ABCD 面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形 A6B6C6D6 的周长 解答： 解：顺次连接正方形 ABCD 四边的中点得正方形 A1B1C1D1，则得正方形 A1B1C1D1 的面积为正方形 ABCD 面积的一半，即，则周长是原来的 ； 顺次连接正方形 A1B1C1D1 中点得正方形 A2B2C2D2，则正方形 A2B2C2D2 的面积为正方形A1B1C1D1 面积的一半，即，则周长是原来的； 顺次连接正方形 A2B2C2D2 得正方形 A3B3C3D3，则正方形 A3B3C3D3 的面积为正方形A2B2C2D2 面积的一半，即，则周长是原来的 ； 顺次
17、连接正方形 A3B3C3D3 中点得正方形 A4B4C4D4，则正方形 A4B4C4D4 的面积为正方形A3B3C3D3 面积的一半 ，则周长是原来的； 以此类推：第六个正方形 A6B6C6D6 周长是原来的， 正方形 ABCD 的边长为 1， 周长为 4， 第六个正方形 A6B6C6D6 周长是 故答案为： 点评： 本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性质进而得到周长关系 4（ 2013 贵州 安顺 ， 18， 4 分 ）直线上有 2013 个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入 1 个点，经过 3 次这样的操作后，直线上共有 个点 考点 ：规律型：图
18、形的变化类 分析： 根据题意分析，找出规律解题即可 解答： 解：第一次： 2013+（ 2013 1） =22013 1， 第二次： 22013 1+22013 2=42013 3， 第三次： 42013 3+42013 4=82013 7 经过 3 次这样的操作后，直线上共有 82013 7=16097 个点 故答案为： 16097 点评： 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出点的变化规律是解题关键 5（ 2013 湖北孝感 ， 17， 3 分 ） 如图，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数例如：称图中的数 1， 5， 12， 22为五边形数，则第 6 个五边形数是 51 考点
19、 ： 规律型：图形的变化类 专题 ： 规律型 分析： 计算不难发现，相邻两个图形的小石子数的差值依次增加 3，根据此规律依次进行计算即可得解 解答： 解： 5 1=4， 12 5=7， 22 12=10， 相邻两个图形的小石子数的差值依次增加 3， 第 4 个五边形数是 22+13=35， 第 5 个五边形数是 35+16=51 故答案为： 51 点评： 本题是对图形变化规律的考查，仔细观察图形求出相邻两个图形的小石子数的差值依次增加 3 是 解题的关键 6 （ 2013 湖南娄底， 18， 4 分） 如图，是用火柴棒拼成的图形，则第 n 个图形需 2n+1 根火柴棒 考点 ： 规律型：图形的
20、变化类 分析： 按照图中火柴的个数填表即可当三角形的个数为： 1、 2、 3、 4 时，火柴棒的个数分别为： 3、 5、 7、 9，由此可以看出当三角形的个数为 n 时，三角形个数增加 n 1 个，那么此时火柴棒的个数应该为： 3+2（ n 1）进而得出答案 解答： 解：根据图形可得出： 当三角形的个数为 1 时，火柴棒的根数为 3； 当三角形的个数为 2 时，火柴棒的根数为 5； 当三角形的个 数为 3 时，火柴棒的根数为 7； 当三角形的个数为 4 时，火柴棒的根数为 9； 由此可以看出：当三角形的个数为 n 时，火柴棒的根数为 3+2（ n 1） =2n+1 故答案为： 2n+1 点评：
21、 此题主要考查了图形变化类，本题解题关键根据第一问的结果总结规律是得到规律：三角形的个数每增加一个，火柴棒的个数增加 2 根，然后由此规律解答 7 （ 2013 贵州省 黔东南州 ， 16， 4 分） 观察规律： 1=12； 1+3=22； 1+3+5=32； 1+3+5+7=42； ，则 1+3+5+2013 的值是 1014049 考点 ： 规律型：数字的变化类 分析： 根据已知数字变化规律，得出连续奇数之和为数字个数的平方，进而得出答案 解答： 解： 1=12； 1+3=22； 1+3+5=32； 1+3+5+7=42； ， 1+3+5+2013=（ ） 2=10072=1014049
22、故答案为： 1014049 点评： 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字的变与不变是解题关键 8 （ 2013 河北省 ， 20， 3 分）如图 12，一段抛物线： y x(x 3)（ 0x3），记为 C1，它与 x 轴交于点 O， A1； 将 C1 绕 点 A1 旋转 180得 C2，交 x 轴于点 A2； 将 C2 绕点 A2 旋转 180得 C3，交 x 轴于点 A3； 如此进行下去，直至得 C13若 P（ 37， m） 在第 13 段抛物线 C13 上，则 m =_ 答案 ： 2 解析 ： C1： y x(x 3)（ 0x3） C2： y（ x 3） (x 6)（ 3x6） C
23、3： y（ x 6） (x 9)（ 6x9） C4： y（ x 9） (x 12)（ 9x12） C13： y（ x 36） (x 39)（ 36x39），当 x 37时， y 2，所以， m 2。 9.（ 2013 贵州安顺 ， 18， 4 分） 直线上有 2013 个点，我们进行如下操作：在每相邻两点间插入 1 个点，经过 3 次这样的操作后，直线上共有 个点 . 【答案】： 16097. 【解析】 第一次： 2013+（ 2013 1） =22013 1， 第二次： 22013 1+22013 2=42013 3， 第三次： 42013 3+42013 4=82013 7 经过 3 次这
24、样的操作后，直线上共有 82013 7=16097 个点 【方法指导】 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出点的变化规律是解题关键 10 （ 2013 山东滨州 ， 18， 4 分 ） 观察下列各式的计算过程： 5 5=0 1 100+25， 15 15=1 2 100+25， 25 25=2 3 100+25， 35 35=3 4 100+25， 请猜测，第 n 个算式 (n 为正整数 )应表示为 _ 【答案】： 25)1(1 0 05)1(10 2 nnn 【解析】 根据数字变化规律得出个位是 5的数字数字乘积等于十位数乘以十位数字加 1再乘以 100再加 25，进而得出答案 【方法指
25、导】 此题主要考查了数字变化规律，根据已知数字得出 数字之间的变与不变是解题关键 11 (2013 浙江湖州 ,15,4 分 )将连续的正整数按以下规律排列，则位于第 7行、第 7列的数x 是 _ _ 【答案】 85 【 解析 】 第一行的第一列与第二列差个 2，第二列与第三列差个 3，第三列与第四列差个 4， 第六列与第七列差个 7，第二行的第一列与第二列差个 3，第二列与第三列差个 4，第三列与第四列差个 5， 第五列与第六列差个 7，第三行的第一列与第二列差个 4，第二列与第三列差个 5，第三列与第四列差个 6，第四列与第五列差个 7， 第七行的第一列与第二列差个 8，是 30，第二列与
26、第三 列差个 9，是 39，第三列与第四列差个 10，是 49，第四列与第五列差个 11，是 60，第五列与第六列差个 12，是 72，第六列与第七列差个 13，是 85；故答案为： 85 【 方法指导 】 此题考查了数字的变化 猜想归纳 ，这是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解决本题的关键是得到每行中前一列与后一列的关系 12（ 2013 江西南昌， 14， 3 分）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第 n 个图形中所有的个数为 （用含 n 的代数式表示） 【答案】 (n+1)2 【解析】 找出点数的变化规律，先用具体
27、的数字等式表示，再用含字母的式子表示 【 方法指导 】 由图形的变化转化为数学式子的变化，加数为连续奇数，结果为加数个数的平方 . 13、 （ 2013 深圳， 16， 3 分） 如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第 幅图中含有 1个正方形；第 幅图中含有 5 个正方形； 按这样的规律下去，则第（ 6）幅图中含有 个正方形； 【答案】 91 【解析】 第 幅图中含有 1 个正方形 ， 第 幅图中含有 5 个正方形； 第 幅图中含有 14 个正方形 ， 211 ； 225 1 2 ； 2 2 21 4 1 2 3 ，则第 幅图中含有 ： 2 2 2 2 2 21 2 3 4 5 6 9 1
28、个正方形 【方法指导】 首先，分类讨论正方形的类型及个数，做到不重不漏，是发现规律的关键。其次，探究数据之间的联系及规律，要将数据作恰当的分解。本题还可以借二次函数模型来解决。 14 （ 2013 四川宜宾， 14， 3 分） 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放 ： 第 1 个图形有 6 个小圆 ， 第 2 个图形有 10 个小圆 ， 第 3 个图形有 16 个小圆 ， 第 4 个图形有 24个小圆 ， ， 依次规律 ， 第 6 个图形有 个小圆 【答案】 46 【解析】观察上图可发现所有图形中外侧都有四个小圆，这是不变的而中间小圆的个数第一个图形可表示为 1 2，第二个图形可表示为 2
29、 3，第三个图形可表示为 3 4，第四个图形可表示为 4 5，所有第 n 个图形中小圆的个数可表示为 4+n(n+1)故第 6 个图形中小圆的个数为 46. 【方法指导】本题考察了根据图形寻找规律的知识，解找规律的题目时首先寻找各部分的共同点然后找各部分的不同点，若题目给出的条件没有找到规律可仿照题目条件继续往下写几个，一般 3-5个式子或图形即可找到规律 . 15. （ 2013 四川雅安， 13， 3 分） 已知 一组数 2， 4， 8， 16， 32， ，按此规律，则第 n 个数是 【答案】 2n 【解析】先观察所给的数，得出第几个数正好是 2 的几次方，从而得出第 n 个数是 2 的
30、n次方 【方法指导】 此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决实际问题，解题的关键是确定第几个数就是 2 的几次方 16. （ 2013 福建福州 ， 22， 14 分 ） 我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是 y ax2bx(a 0) （ 1）对于这样的抛物线： 当顶点坐标为（ 1， 1）时， a _； 当顶 点坐标为（ m， m）， m 0 时， a 与 m 之间的关系式是 _； （ 2）继续探究，如果 b 0，且过原点的抛物线顶点在直线 y kx(k 0)上，请用含 k 的代数式表示 b； （ 3）现有一组过原点的抛物线，顶点 A1， A2，
31、 ， An在直线 y x 上，横坐标依次为 1， 2， ，n（为正整数，且 n 12），分别过每个顶点作 x 轴的垂线，垂足记为 B1， B2， ， Bn，以线段 AnBn 为边向右作正方形 AnBnCnDn，若这组抛物线中有一条经过 Dn，求所有满足条件的正方形边长 【思路分析】 （ 1）利用顶点坐标公式（ab2，a bac442 ）得出 方程组求解即可； （ 2） 将 该抛物线的顶点坐标（ab2，a bac442 ） 代入直线方程 y kx（ k 0），即可求得用含 k 的代数式表示 b； （ 3）根据题意可设 An（ n， n），点 Dn 所在的抛物线顶点坐标为（ t， t）由（ 1）（
32、 2）可得，点 Dn 所在的抛物线解析式为 y 1tx2 2x所以由正方形的性质推知点 Dn 的坐标是（ 2n， n），则把点 Dn的坐标代入抛物线解析式即可求得 4n 3t然后由 n、 t 的取值范围来求点 An的坐标，即该正方形的边长 【答案】（ 1） 1； a 1m（或 am 1 0）； （ 2）解： a 0 y ax2 bx a(x2ba)2 24ba 顶点坐标为（2ba， 24ba） 顶点在直线 y kx 上 k(2ba) 24ba b 0 b 2k （ 3）解： 顶点 An 在直线 y x 上 可设 An的坐标为（ n， n），点 Dn所在的抛物线顶点坐标为（ t， t） 由（ 1
33、）（ 2）可得，点 Dn所在的抛物线解析式为 y 1tx2 2x 四边形 AnBnCnDn是正方形 点 Dn的坐标为（ 2n， n） 1t(2n)2 2 2n n 4n 3t t、 n 是正整数，且 t 12， n 12 n 3， 6 或 9 满足条件的正方形边长为 3， 6 或 9中国教 *育 &#出版网 【方法指导】 本题考查了二次函数的顶点坐标公式 以及函数图像上点的坐标与其解析式的关系，另外还涉及到 正方形的性质 求二次函数顶点坐标时，可以运用公式也可运用配方法，函数图像上点的坐标适合其函数解析式， 解答 第 （ 3）题时，要注意 n 的取值范围 吆！ 17 （ 2013 广东 湛江
34、， 16， 4 分） 如图，所有正三角形的一边平行于 x 轴，一顶点在 y 轴上，从内到外，它们的边长依次为 2， 4， 6， 8， ，顶点依次用1A、2A、3A、4A、 表示，其中12AA与 x 轴、底边12AA与45AA、45AA与78AA、 均相距一个单位，则顶点3A的坐标是 ，22A的坐标 是 xyA 9A 6A 3A 8A7A 5A 4A 2A 1O第 16 题图 【答案】（ 0， 31 ），（ 8， 8） . 【解析】 由于 22 3 7 1余 ，而1A的坐标为（ 1， 1）， 4A的坐标为（ 2， 2） 7A的坐标为（ 3， 3） 22A的坐标为（ 8， 8） 【方法指导】 解决
35、数字规律或图形规律突破点之一，用表格上下把数的序号及图形的序号表示出来，再在后面写出它的结果，这样容易看出其中的规律； 三解答题 1. （ 2013 江苏南京 ， 27， 10 分 ） 对于两个相似三角形 ， 如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同 ， 那么称这两个 三角形互为顺相似 ； 如果沿周界按对应点顺序环 绕的方向相反 ， 那么称这两个三角形互为 逆相似。例如，如图 ， ABC ABC且沿周界 ABCA 与 ABCA环绕的方向相同， 因此 ABC 与 ABC互为顺相似；如图 ， ABC ABC，且沿周界 ABCA 与 ABCA环绕的方向相反，因此 ABC 与 ABC互为逆相似。 A B
36、C A B C A B C A B C (1) 根据图 I、图 II 和图 III 满足的条件，可得下列三对相似三角形： ADE 与 ABC； GHO 与 KFO； NQP 与 NMQ。其中，互为顺相 似的是 ；互为逆相似的是 。 (填写所有符合要求的序号 ) (2) 如图 ，在锐角 ABC 中， ABC，点 P 在 ABC 的边上 (不与点 A、 B、 C 重 合 )。过点 P 画直线截 ABC，使截得的一个三角形与 ABC 互为逆相似。请根据点P 的不同位置，探索过点 P 的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明 理由。 解析 ： (1) ； (4 分 ) (2) 解：根据点
37、P 在 ABC 边上的位置分为以下三种情况。 第一种情 况：如图 ，点 P 在 BC(不含点 B、 C)上，过点 P 只能画出 2 条截线 PQ1、 PQ2，分别使 CPQ1=A， BPQ2=A，此时 PQ1C、 PBQ2 都与 ABC 互为逆相似。 第二种情况：如图 ，点 P 在 AC(不含点 A、 C)上，过点 B 作 CBM=A， BM 交 AC 于点 M。 当点 P 在 AM(不含点 M)上时，过点 P1只能画出 1 条截线 P1Q，使 AP1Q=ABC，此 时 AP1Q 与 ABC 互为逆相似； 当点 P 在 CM 上时，过点 P2只能画出 2 条截线 P2Q1、 P2Q2，分别使
38、AP2Q1=ABC， CP2Q2=ABC，此时 AP2Q1、 Q2P2C 都与 ABC 互为逆相似。 A B C 第三种情况：如图 ，点 P 在 AB(不含点 A、 B)上，过点 C 作 BCD=A， ACE=B， CD、 CE 分别交 AC 于点 D、 E。 当点 P 在 AD(不含点 D)上时，过点 P 只能画出 1 条截线 P1Q，使 AP1Q=ABC，此时 AQP1与 ABC 互为逆相似； 当点 P 在 DE 上时，过点 P2只能画出 2 条截线 P2Q1、 P2Q2，分别使 AP2Q1=ACB， BP2Q2=BCA，此时 AQ1P2、 Q2BP2 都与 ABC 互为逆相似； 当点 P
39、 在 BE(不含点 E)上时，过点 P3只能画出 1 条截线 P3Q，使 BP3Q=BCA， 此时 QBP3 与 ABC 互为逆相似。 (10 分 ) 17 （ 2013东营， 17， 4 分） 如图，已知直线 l： y=33x，过点 A（ 0， 1）作 y 轴的垂线交直线 l 于点 B，过点 B 作直线 l 的垂线交 y 轴于点 A1；过点 A1作 y 轴的垂线交直线 l 于点B1，过点 B1 作直线 l 的垂 线交 y 轴于点 A2； 按此作法继续下去，则点 A2013 的坐标为 答案： 2 0 1 3 4 0 2 60 , 4 0 , 2或 （注：以上两答案任选一个都对） 解析：因为直线
40、 33yx与 x 轴的正方向的夹角为 30，所以 60AOB ，在A B C Q1 P Q2 A B C Q1 M Q2 Q P1 P2 A B C Q1 Q Q P1 P2 D E Q2 P3 Rt AOB 中，因为 OA=1，所以 OB=2， 1Rt AOB 中，所以 1OA =4，即点 1A 的坐标为（ 0， 4），同理1OB=8，所在21Rt A OB中，2OA=16，即点2A的坐标为 2(0,4 ) 依次类推，点2013A的坐标为 2013(0,4 ) 或 4026(0,2 ) 17 （ 2013 聊城 ， 17， 3 分 ） 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点 O 出发，按向上
41、，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点 A1 （ 0， 1）， A2（ 1， 1）， A3（ 1， 0）， A4（ 2， 0）， 那么点 A4n 1（ n 为自然数）的坐标为 （用 n 表示） 考点 ：规律型：点的坐标 专题 ：规律型 分析： 根据图形分别求出 n 1、 2、 3 时对应的点 A4n 1 的坐标，然后根据变化规律写出即可 解答： 解：由图可知， n 1 时， 41 1 5，点 A5（ 2， 1）， n 2 时， 42 1 9，点 A9（ 4， 1）， n 3 时， 43 1 13，点 A13（ 6， 1）， 所以，点 A4n 1（ 2n， 1） 故答案为：（
42、 2n， 1） 点 评： 本题考查了点的坐标的变化规律，仔细观察图形，分别求出 n 1、 2、 3 时对应的点A4n 1 的对应的坐标是解题的关键 17 （ 2013潍坊， 17， 3 分） 当白色小正方形个数 n 等于 1， 2， 3时，由白色小正方形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示则第 n 个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于 _（用 n 表示， n 是正整数） 答案 ： n2 4n 考点 ： 本题是一道规律探索题，考查了学生分析探索规律的能力 点评 ： 解决此类问题是应先观察图案的变化趋势，然后从第一个图形进行分析， 运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出 黑白正方形
43、个数 增加的变化规律， 最后 含有 n 的代数式进行表示 1. （ 2013衢州 4 分）如图，在菱形 ABCD 中，边长为 10， A=60顺次连结菱形 ABCD各边中点，可得四边形 A1B1C1D1；顺次连结四边形 A1B1C1D1 各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边 形 A2B2C2D2 各边中点，可得四边形 A3B3C3D3；按此规律继续下去 则四边形 A2B2C2D2的周长是 20 ；四边形 A2013B2013C2013D2013 的周长是 【思路分 析】 根据菱形的性质以及三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长得出规律求出即可 【解析】 菱形 ABCD 中
44、，边长为 10， A=60，顺次连结菱形 ABCD 各边中点， AA1D1 是等边三角形，四边形 A2B2C2D2 是菱形， A1D1=5， C1D1=AC=5 ， A2B2=C2D2=C2B2=A2D2=5， 四边形 A2B2C2D2 的周长是： 54=20， 同理可得出： A3D3=5， C3D3=AC=5 ， A5D5=5（） 2， C5D5=AC=（） 25 ， 四边形 A2013B2013C2013D2013 的周长是： = 故答案为： 20， 【方法指导】 此题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识，根据已知得出边长变化规律是解题关键 1.（ 2013 山西 ，
45、 15， 3 分） 一组按规律排列的式子： ，43a，65,87a,. 则第 n 个式子是_ 【答案】221nan-（ n 为正整数） 【 解析 】 已知式子可写成： 21a，43a，65,87a，分母为奇数，可写成 2n-1，分子中字母 a的指数为偶数 2n。 2.（ 2013 四川巴中 ， 20， 3 分 ） 观察下面的单项式： a， 2a2， 4a3， 8a4， 根据你发现的规律，第 8 个式子是 128a8 考点 ： 规律型：数字的变化类 专题 ： 规律型 分析： 根据单项式可知 n 为双数时 a 的前面要加上负号，而 a 的系数为 2（ n 1） ， a 的指数为 n 解答： 解：第八项为 27a8= 128a8 点评： 本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的 3.（ 2013 四川内江 ， 24， 6 分 ） 如图，已知直线 l： y= x，过点 M（ 2， 0）作 x 轴的垂线交直线 l 于点 N，过点 N 作直线 l 的垂线交 x 轴于点 M1；过点 M1 作 x 轴的垂线交直线 l 于N1，过点 N1 作直线 l 的垂线交 x 轴于点 M2， ；按此作法继续下去，则点 M10 的坐标为 （ 884736， 0） 考点 ： 一次函数综合题 分析： 本题需先求出 OA1 和 OA2 的长
