1、轴对称压轴题 1问题背景： 如图（ a），点 A、 B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于 l 的对称点 B，连接 A B与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求 （ 1）实践运用： 如图（ b），已知， O 的直径 CD 为 4，点 A 在 O 上， ACD=30， B 为弧 AD 的中点， P 为直径 CD 上一动点，则 BP+AP 的最小值为 _ （ 2）知识拓展： 如图（ c），在 Rt ABC 中， AB=10， BAC=45， BAC 的平分线交 BC 于点 D， E、 F 分别是线段 AD 和 AB 上的
2、动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程 2（ 1）观察发现 如图（ 1）：若点 A、 B 在直线 m 同侧，在直线 m 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小，做法如下： 作点 B 关于直线 m 的对称点 B，连接 AB，与直线 m 的交点就是所求的点 P，线段 AB的长度即为 AP+BP 的最小值 如图（ 2）：在等边三角形 ABC 中， AB=2，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小，做法如下： 作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是 所求的点 P，故 BP+PE 的最小值为
3、_ （ 2）实践运用 如图（ 3）：已知 O 的直径 CD 为 2， 的度数为 60，点 B 是 的中点，在直径 CD 上作出点 P，使 BP+AP的值最小，则 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值为 _ （ 3）拓展延伸 如图（ 4）：点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边 AB、 BC 上作出点 M，点 N，使 PM+PN+MN 的值最小，保留作图痕迹，不写作法 如图（ 1），要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、 B 两镇供气泵站修在管道的什么地方， 可使所用的输气管线最短？ 你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决
4、这个问题的正确办法他把管道 l 看成一条直线（图（ 2），问题就转化为，要在直线 l 上找一点 P，使 AP 与 BP 的和最小他的做法是这样的： 作点 B 关于直线 l 的对称点 B 连接 AB交直线 l 于点 P，则点 P 为所求 请你参考小华的做法解决下列问题如图在 ABC 中，点 D、 E 分别是 AB、 AC 边的中点， BC=6， BC 边上的高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P，使 PDE 得周长最小 （ 1）在图中作出点 P（保 留作图痕迹，不写作法） （ 2）请直接写出 PDE 周长的最小值： _ 4（ 1）观察发现： 如（ a）图，若点 A， B 在直线 l 同侧，在直
5、线 l 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小 做法如下：作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB，与直线 l 的交点就是所求的点 P再如（ b）图，在等边三角形 ABC 中， AB=2，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小 做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P，故 BP+PE的最小值 为 _ （ 2）实践运用： 如（ c）图，已知 O 的直径 CD 为 4， AOD 的度数为 60，点 B 是 的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP的值最小，并
6、求 BP+AP 的最小值 （ 3）拓展延伸： 如（ d）图，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P，使 APB= APD保留作图痕迹，不必写出作法 5几何模型： 条件：如下图， A、 B 是直线 l 同旁的两个定点 问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小 方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A，连接 AB 交 l 于点 P，则 PA+PB=AB 的值最小（不必证明） 模型应用： （ 1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 AB 的中点， P 是 AC 上一动点连接 BD，由正方形对称性可知， B与 D 关于直线 AC 对称连接 ED 交 AC
7、于 P，则 PB+PE 的最小值是 _ ； （ 2）如图 2， O 的半径为 2，点 A、 B、 C 在 O 上， OA OB， AOC=60， P 是 OB 上一动点，求 PA+PC 的最小值； （ 3）如图 3， AOB=45， P 是 AOB 内一点， PO=10， Q、 R 分别是 OA、 OB 上的动点，求 PQR 周长的最小值 6如图，已知平面直角坐 标系， A、 B 两点的坐标分别为 A（ 2， 3）， B（ 4， 1） （ 1）若 P（ p， 0）是 x 轴上的一个动点，则当 p= _ 时， PAB 的周长最短； （ 2）若 C（ a， 0）， D（ a+3， 0）是 x 轴上
8、的两个动点，则当 a= _ 时，四边形 ABDC 的周长最短； （ 3）设 M， N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点 M（ m， 0）、 N（ 0， n），使四边形 ABMN 的周长最短？若存在，请求出 m= _ ， n= _ （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由 7需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到 A， B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置 8如图所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 A， B，已知 AB=10 千米，直线 AB 与公路 MN 的夹角 AON=30，新开发区 B 到公路 MN 的距离 BC=3 千米 （ 1）新开
9、发区 A 到公路 MN 的距离为 _ ； （ 2）现要在 MN 上某点 P 处向新开发区 A， B 修两条公路 PA， PB，使点 P 到新开发区 A， B 的距离之和最短此时 PA+PB= _ （千米） 9.如图： （ 1）若把图中小人平移，使点 A 平移到点 B，请你在图中画出平移后的小人； （ 2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边 l 上点 P 处喝水后，再游到 B，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点 P 的位置 10如图，在直角坐标系中，等腰梯形 ABB1A1 的对称轴为 y 轴 （ 1）请画出：点 A、 B 关于原点 O 的对称点 A2、 B2（应保留画图痕迹，不必写画
10、法，也不必证明）； （ 2）连接 A1A2、 B1B2（其中 A2、 B2 为（ 1）中所画的点），试证明： x 轴垂直平分线段 A1A2、 B1B2； （ 3）设线段 AB 两端点的坐标分别为 A（ 2， 4）、 B（ 4， 2），连接（ 1）中 A2B2，试问在 x 轴上是否存在点 C，使 A1B1C 与 A2B2C 的周长之和最小？若存在，求出点 C 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由 11某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地 A、 B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益请你在图中标明加工厂所在的位置
11、C，使 A、 B 两地到加工厂 C 的运输路程之和最短（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） 12阅读理解 如图 1， ABC 中，沿 BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重复部分； ；将余下部分沿 BnAnC 的平分线 AnBn+1 折叠，点 Bn与点 C 重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合， BAC 是 ABC 的好角 小丽展示了确定 BAC 是 ABC 的好角的两种情形情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC 顶角 BAC 的平分线AB1折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图 3，沿 BAC 的平分线
12、AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 B1A1C的平分线 A1B2折叠，此时点 B1与点 C 重合 探究发现 （ 1） ABC 中， B=2 C，经过两次折叠， BAC 是不是 ABC 的好角？ _ （填 “是 ”或 “不是 ”） （ 2）小丽经过三次折叠发现了 BAC 是 ABC 的好角，请探究 B 与 C（不妨设 B C）之间的等量关系根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠 BAC 是 ABC 的好角，则 B 与 C（不妨设 B C）之间的等量关系为 _ 应用提升 （ 3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15、 60、 105，发现 60和 105的两个角都是此三角形的好角 请你完成，如
13、果 一个三角形的最小角是 4，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角 13如图， ABC 中 AB=AC， BC=6， ，点 P 从点 B 出发沿射线 BA 移动，同时，点 Q 从点 C 出发沿线段 AC 的延长线移动，已知点 P、 Q 移动的速度相同， PQ 与直线 BC 相交于点 D （ 1）如图 ，当点 P 为 AB 的中点时，求 CD 的长； （ 2）如图 ，过点 P 作直线 BC 的垂线垂足为 E，当点 P、 Q 在移动的过程中，线段 BE、 DE、 CD 中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由； 14（ 2012东城区二模）已知： 等边 ABC 中，点
14、 O 是边 AC， BC 的垂直平分线的交点， M， N 分别在直线 AC，BC 上，且 MON=60 （ 1）如图 1，当 CM=CN 时， M、 N 分别在边 AC、 BC 上时，请写出 AM、 CN、 MN 三者之间的数量关系； （ 2）如图 2，当 CMCN 时， M、 N 分别在边 AC、 BC 上时，（ 1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由； （ 3）如图 3，当点 M 在边 AC 上，点 N 在 BC 的延长线上时，请直接写出线段 AM、 CN、 MN 三者之间的数量关系 15如图，线段 CD 垂直平分线段 AB， CA 的延长线 交 BD 的延长
15、线于 E， CB 的延长线交 AD 的延长线于 F， 求证： DE=DF 16如图，在 ABC 和 DCB 中， AB=DC， AC=DB， AC 与 DB 交于点 M求证： （ 1） ABC DCB； （ 2）点 M 在 BC 的垂直平分线上 17如图， ABC 的边 BC 的垂直平分线 DE 交 BAC 的外角平分线 AD 于 D， E 为垂足， DF AB 于 F，且 AB AC，求证： BF=AC+AF 18已知 ABC 的角平分线 AP 与边 BC 的垂直平分线 PM 相交于点 P，作 PK AB， PL AC，垂足分别是 K、 L， 求证： BK=CL 19某私营企业要修建一个加油
16、站，如图，其设计要求是，加油站到两村 A、 B 的距离必须相等，且到两条公路 m、n 的距离也必须相等，那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置（要有作图痕迹） 20如图，在 ABC 中， AB=AC， A=120， BC=9cm， AB 的垂直平分线 MN 交 BC 于 M，交 AB 于 N，求 BM的长 21如图，在 ABC 中， BAC 的平分线与 BC 的垂直平分线 PQ 相交于点 P，过点 P 分别作 PN AB 于 N， PM AC于点 M，求证： BN=CM 22如图己 知在 ABC 中， C=90， B=15， DE 垂直平分 AB， E 为垂足交 BC 于 D， BD=1
17、6cm，求 AC 长 2013 年 10月初中数学组卷 参考答案与试题解析 一解答题（共 22小题） 1（ 2013日照）问题背景： 如图（ a），点 A、 B 在直线 l 的同侧，要在直线 l 上找一点 C，使 AC 与 BC 的距离之和最小，我们可以作出点 B 关于 l 的对称点 B，连接 A B与直线 l 交于点 C，则点 C 即为所求 （ 1）实践运用： 如图（ b），已知， O 的直径 CD 为 4，点 A 在 O 上， ACD=30， B 为弧 AD 的中点， P 为直径 CD 上一动点，则 BP+AP 的最小值为 2 （ 2）知识拓展： 如图（ c），在 Rt ABC 中， AB
18、=10， BAC=45， BAC 的平分线交 BC 于点 D， E、 F 分别是线段 AD 和 AB 上的动点，求 BE+EF 的最小值，并写出解答过程 考点 ： 轴对称 -最短路线问题 3113559 分析： （ 1）找点 A 或点 B 关于 CD 的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和 MN 的交点 P 就是所求作的位置根据题意先求出 CAE，再根据勾股定理求出 AE，即可得出 PA+PB 的最小值； （ 2）首先在斜边 AC 上 截取 AB=AB，连结 BB，再过点 B作 BF AB，垂足为 F，交 AD 于 E，连结 BE，则线段 BF 的长即为所求 解答： 解：（ 1）作点 B
19、 关于 CD 的对称点 E，连接 AE 交 CD 于点 P 此时 PA+PB 最小，且等于 AE 作直径 AC，连接 CE 根据垂径定理得弧 BD=弧 DE ACD=30， AOD=60， DOE=30， AOE=90， CAE=45， 又 AC为圆的直径， AEC=90， C= CAE=45， CE=AE= AC=2 ， 即 AP+BP 的最 小值是 2 故答案为： 2 ； （ 2）如图，在斜边 AC 上截取 AB=AB，连结 BB AD 平分 BAC， 点 B 与点 B关于直线 AD 对称 过点 B作 BF AB，垂足为 F，交 AD 于 E，连结 BE， 则线段 BF 的长即为所求（点到
20、直线的距离最短） 在 Rt AFB中， BAC=45， AB=AB=10， BF=ABsin45=ABsin45=10 =5 ， BE+EF 的最小值为 点评： 此题主要 考查了利用轴对称求最短路径问题以及锐角三角函数关系等知识，根据已知得出对应点P 位置是解题关键 2（ 2013六盘水）（ 1）观察发现 如图（ 1）：若点 A、 B 在直线 m 同侧，在直线 m 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小，做法如下： 作点 B 关于直线 m 的对称点 B，连接 AB，与直线 m 的交点就是所求的点 P，线段 AB的长度即为 AP+BP 的最小值 如图（ 2）：在等边三角形 ABC 中， AB=2
21、，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小，做法如下： 作点 B 关于 AD 的对称 点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P，故 BP+PE 的最小值为 （ 2）实践运用 如图（ 3）：已知 O 的直径 CD 为 2， 的度数为 60，点 B 是 的中点，在直径 CD 上作出点 P，使 BP+AP的值最小，则 BP+AP 的值最小，则 BP+AP 的最小值为 （ 3）拓展延伸 如图（ 4）：点 P 是四边形 ABCD 内一点，分别在边 AB、 BC 上作出点 M，点 N，使 PM+PN+MN 的值最小，保留作
22、图痕迹，不写作法 考点 ： 圆的综合题；轴对称 -最短路线问题 3113559 专题 ： 压轴题 分析： （ 1）观察发现：利用作法得到 CE 的长为 BP+PE 的最小值；由 AB=2，点 E 是 AB 的中点，根据等边三角形的性质得到 CE AB， BCE= BCA=30， BE=1，再根据含 30 度的直角三角形三边的关系得 CE= ； （ 2）实践运用：过 B 点作弦 BE CD，连结 AE 交 CD 于 P 点，连结 OB、 OE、 OA、 PB，根据垂径定理得到 CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称，则 AE 的长就是 BP+AP 的最小值； 由于 的度数为 60
23、，点 B是 的中点得到 BOC=30， AOC=60，所以 AOE=60+30=90，于是可判断 OAE 为等腰直角三角形，则 AE= OA= ； （ 3）拓展延伸：分别作出点 P 关于 AB 和 BC 的对称点 E 和 F，然后连结 EF， EF 交 AB 于 M、交 BC 于 N 解答： 解：（ 1）观察发现 如图（ 2）， CE 的长为 BP+PE 的最小值， 在等边三角形 ABC 中， AB=2，点 E 是 AB 的中点 CE AB， BCE= BCA=30， BE=1， CE= BE= ； 故答案为 ； （ 2）实践运用 如图（ 3），过 B 点作弦 BE CD，连结 AE 交 CD
24、 于 P 点，连结 OB、 OE、 OA、 PB， BE CD， CD 平分 BE，即点 E 与点 B 关于 CD 对称， 的度数为 60，点 B 是 的中点， BOC=30， AOC=60， EOC=30， AOE=60+30=90， OA=OE=1， AE= OA= ， AE 的长就是 BP+AP 的最小值 故答案为 ； （ 3）拓展延伸 如图（ 4） 点评： 本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称最短路径问题 3（ 2012凉山州）在学习轴对称的 时候，老师让同学们思考课本中的探究题 如图（ 1），
25、要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、 B 两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法他把管道 l 看成一条直线（图（ 2），问题就转化为，要在直线 l 上找一点 P，使 AP 与 BP 的和最小他的做法是这样的： 作点 B 关于直线 l 的对称点 B 连接 AB交直线 l 于点 P，则点 P 为所求 请你参考小华的做法解决下列问题如图在 ABC 中，点 D、 E 分别是 AB、 AC 边的中点， BC=6， BC 边上的高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P，使
26、 PDE 得周长最小 （ 1）在图中作出点 P（保留作图痕迹，不写作法） （ 2）请直接写出 PDE 周长的最小值： 8 考点 ： 轴对称 -最短路线问题 3113559 专题 ： 压轴题 分析： （ 1）根据提供材料 DE 不变，只要求出 DP+PE 的最小值即可，作 D 点关于 BC 的对称点 D，连接 DE，与 BC 交于点 P， P 点即为所求； （ 2）利用中位线性质以及勾股定理得出 DE 的值，即可得出答案 解答： 解：（ 1）作 D 点关于 BC 的对称点 D，连接 DE，与 BC 交于点 P， P 点即为所求； （ 2） 点 D、 E 分别是 AB、 AC 边的中点， DE 为
27、 ABC 中位线， BC=6， BC 边上的高为 4， DE=3， DD=4， DE= = =5， PDE 周长的最小值为： DE+DE=3+5=8， 故答案为： 8 点评： 此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求 PDE 周长的最小值，求出 DP+PE 的最小值即可是解题关键 4（ 2010淮安）（ 1）观察发现： 如（ a）图，若点 A， B 在直线 l 同侧，在直线 l 上找一点 P，使 AP+BP 的值最小 做法如下：作点 B 关于直线 l 的对称点 B，连接 AB，与直线 l 的交点就是所求的点 P再如（ b）图，在等边三角形 ABC 中， AB=
28、2，点 E 是 AB 的中点， AD 是高，在 AD 上找一点 P，使 BP+PE 的值最小 做法如下：作点 B 关于 AD 的对称点，恰好与点 C 重合，连接 CE 交 AD 于一点，则这点就是所求的点 P，故 BP+PE的最小值为 （ 2）实践运用： 如（ c）图，已知 O 的直径 CD 为 4， AOD 的度数为 60，点 B 是 的中点，在直径 CD 上找一点 P，使 BP+AP的值最小， 并求 BP+AP 的最小值 （ 3）拓展延伸： 如（ d）图，在四边形 ABCD 的对角线 AC 上找一点 P，使 APB= APD保留作图痕迹，不必写出作法 考点 ： 轴对称 -最短路线问题 31
29、13559 分析： （ 1）首先由等边三角形的性质知， CE AB，在直角 BCE 中， BEC=90BC=2， BE=1，由勾股定理可求出 CE 的长度，从而得出结果； （ 2）要在直径 CD 上找一点 P，使 PA+PB 的值最小，设 A是 A 关于 CD 的对称点，连接 AB，与CD 的交点即为点 P此时 PA+PB=AB 是最小值，可证 OAB 是等腰直角三角形，从而得出结果 （ 3）画点 B 关于 AC 的对称点 B，延长 DB交 AC 于点 P则点 P 即为所求 解答： 解：（ 1） BP+PE 的最小值 = = = （ 2）作点 A 关于 CD 的对称点 A，连接 AB，交 CD
30、 于点 P，连接 OA， AA， OB 点 A 与 A关于 CD 对称， AOD 的度数为 60， AOD= AOD=60， PA=PA， 点 B 是 的中点， BOD=30， AOB= AOD+ BOD=90， O 的直径 CD 为 4， OA=OA=2， AB=2 PA+PB=PA+PB=AB=2 （ 3）如图 d：首先过点 B 作 BB AC 于 O，且 OB=OB， 连接 DB并延长交 AC 于 P （由 AC 是 BB的垂直平分线，可得 APB= APD） 点评： 此题主要考查轴对称最短路线问题，解决此类问题，一般都是运用轴对称的性质，将求折线问题转化为求线段问题，其说明最短的依据是
31、三角形两边之和大于第三边 5（ 2009漳州）几何模型： 条件：如下图， A、 B 是直线 l 同旁的两个定点 问题：在直线 l 上确定一点 P，使 PA+PB 的值最小 方法：作点 A 关 于直线 l 的对称点 A，连接 AB 交 l 于点 P，则 PA+PB=AB 的值最小（不必证明） 模型应用： （ 1）如图 1，正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 AB 的中点， P 是 AC 上一动点连接 BD，由正方形对称性可知， B与 D 关于直线 AC 对称连接 ED 交 AC 于 P，则 PB+PE 的最小值是 ； （ 2）如图 2， O 的半径为 2，点 A、 B、 C 在 O 上，
32、OA OB， AOC=60， P 是 OB 上一动点，求 PA+PC 的最小值； （ 3）如图 3， AOB=45， P 是 AOB 内一点， PO=10， Q、 R 分别是 OA、 OB 上的动点，求 PQR 周长 的最小值 考点 ： 轴对称 -最短路线问题 3113559 专题 ： 压轴题；动点型 分析： （ 1）由题意易得 PB+PE=PD+PE=DE，在 ADE 中，根据勾股定理求得即可； （ 2）作 A 关于 OB 的对称点 A，连接 AC，交 OB 于 P，求 AC 的长，即是 PA+PC 的最小值； （ 3）作出点 P 关于直线 OA 的对称点 M，关于直线 OB 的对称点 N，
33、连接 MN，它分别与 OA，OB 的交点 Q、 R，这时三角形 PEF 的周长 =MN，只要求 MN 的长就行了 解答： 解：（ 1） 四边形 ABCD 是正方形， AC 垂直平分 BD， PB=PD， 由题意易得： PB+PE=PD+PE=DE， 在 ADE 中，根据勾股定理得， DE= ； （ 2）作 A 关于 OB 的对称点 A，连接 AC，交 OB 于 P， PA+PC 的最小值即为 AC 的长， AOC=60 AOC=120 作 OD AC 于 D，则 AOD=60 OA=OA=2 AD= ； （ 3）分别作点 P 关于 OA、 OB 的对称点 M、 N，连接 OM、 ON、 MN，
34、 MN 交 OA、 OB 于点 Q、R，连接 PR、 PQ，此时 PQR 周长的最小值等于 MN 由轴对称性质可得， OM=ON=OP=10， MOA= POA， NOB= POB， MON=2 AOB=245=90， 在 Rt MON 中， MN= = =10 即 PQR 周长的最小值等于 10 点评： 此题综合性较强，主要考查有关轴对称最短路线的问题，综合应用了正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识 6（ 2006湖州）如图，已知平面直角坐标系， A、 B 两点的坐标分别为 A（ 2， 3）， B（ 4， 1） （ 1）若 P（ p， 0）是 x 轴上的一个动点，则当 p= 时， PAB 的
35、周长最短； （ 2）若 C（ a， 0）， D（ a+3， 0） 是 x 轴上的两个动点，则当 a= 时，四边形 ABDC 的周长最短； （ 3）设 M， N 分别为 x 轴和 y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点 M（ m， 0）、 N（ 0， n），使四边形 ABMN 的周长最短？若存在，请求出 m= ， n= （不必写解答过程）；若不存在，请说明理由 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；坐标与图形性质 3113559 专题 ： 压轴题 分析： （ 1）根据题意，设出并找到 B（ 4， 1）关于 x 轴的对称点是 B，其坐标为（ 4， 1），进而可得直线 AB的解析式，进而可得答案； （
36、2）过 A 点作 AE x 轴于点 E，且延长 AE，取 AE=AE做点 F（ 1， 1），连接 AF利用两点间的线段最短，可知四边形 ABDC 的周长最短等于 AF+CD+AB，从而确定 C 点的坐标值 （ 3）根据对称轴的性质，可得存在使四边形 ABMN 周长最短的点 M、 N，当且仅当 m= ， n= ；时成立 解答： 解：（ 1）设点 B（ 4， 1）关于 x 轴的对称点是 B，其坐标为（ 4， 1）， 设直线 AB的解析式为 y=kx+b， 把 A（ 2， 3）， B（ 4， 1）代入得： ， 解得 ， y=2x 7， 令 y=0 得 x= ， 即 p= （ 2）过 A 点作 AE
37、x 轴于点 E，且延长 AE，取 AE=AE做点 F（ 1， 1），连接 AF那么A（ 2， 3） 直线 AF 的解析式为 ，即 y=4x 5， C 点的坐标为（ a， 0），且在直线 AF 上， a= （ 3）存在使四边形 ABMN 周长最短的点 M、 N， 作 A 关于 y 轴的对称点 A，作 B 关于 x 轴的对称点 B，连接 AB，与 x 轴、 y 轴的交点即为点M、 N， A（ 2， 3）， B（ 4， 1）， 直线 AB的解析式为： y= x ， M（ ， 0）， N（ 0， ） m= ， n= 点评： 考查图 形的轴对称在实际中的运用，同时考查了根据两点坐标求直线解析式，运用解析
38、式求直线与坐标轴的交点等知识 7（ 2007庆阳）需要在高速公路旁边修建一个飞机场，使飞机场到 A， B 两个城市的距离之和最小，请作出机场的位置 考点 ： 轴对称 -最短路线问题 3113559 专题 ： 作图题 分析： 利用轴对称图形的性质可作点 A 关于公路的对称点 A，连接 AB，与公路的交点就是点 P 的位置 解答： 解：点 P 就是飞机场所在的位置（ 5 分） 点评： 本题主要是利用轴对称图形来求最短的距离用到的知识 ：两点之间线段最短 8（ 2006贵港）如图所示，在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 A， B，已知 AB=10 千米，直线 AB 与公路 MN 的夹角 A
39、ON=30，新开发区 B 到公路 MN 的距离 BC=3 千米 （ 1）新开发区 A 到公路 MN 的距离为 8 ； （ 2）现要在 MN 上某点 P 处向新开发区 A， B 修两条公路 PA， PB，使点 P 到新开发区 A， B 的距离之和最短此时 PA+PB= 14 （千米） 考点 ： 轴对称 -最短路线问题 3113559 专题 ： 计算题；压轴题 分析： （ 1）先求出 OB 的长，从而得 出 OA 的长，再根据三角函数求得到公路的距离 （ 2）根据切线的性质得 EF=CD=BC=3， AF=AE+EF=AE+BC=11，再根据余弦概念求解 解答： 解：（ 1） BC=3， AOC=
40、30， OB=6 过点 A 作 AE MN 于点 E， AO=AB+OB=16， AE=8 即新开发区 A 到公路的距离为 8 千米； （ 2）过 D 作 DF AE 的延长线（点 D 是点 B 关于 MN 的对称点），垂足为 F 则 EF=CD=BC=3， AF=AE+EF=AE+BC=11， 过 B 作 BG AE 于 G， BG=DF， BG=ABcos30=5 ， ， 连接 PB，则 PB=PD， PA+PB=PA+PD=AD=14（千米） 点评： 此题主要考查学生利用轴对称的性质来综合解三角形的能力 9（ 2006巴中）如图： （ 1）若把图中小人平移，使点 A 平移到点 B，请你在
41、图中画出平移后的小人； （ 2）若图中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸边 l 上点 P 处喝水后，再游到 B，但要使游泳的路程最短，试在图中画出点 P 的位置 考点 ： 轴对称 -最短路线问题；作图 -轴对称变换；作图 -平移变换 3113559 专题 ： 作图题 分析： 根据平移的规律找到点 B，再利用轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，找到点 A 的对称点，连接 A1B 与 l 相交于点 P，即为所求 解答： 解： 点评： 本题考查的是平移变换与最短线路问题 最短线路问题一般是利用轴对称的性质解题，通过作轴对称图形，利用轴对称的性质和两点之间线段最短可求出所求的点 作平移图形时，找关
42、键点的对应点也是关键的一步平移作图的一般步骤为：确定平移的方向和距离，先确定一组对应点； 确定图形中的关键点； 利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点； 按原图形顺 序依次连接对应点，所得到的图形即为平移后的图形 10（ 2003泉州）如图，在直角坐标系中，等腰梯形 ABB1A1的对称轴为 y 轴 （ 1）请画出：点 A、 B 关于原点 O 的对称点 A2、 B2（应保留画图痕迹，不必写画法，也不必证明）； （ 2）连接 A1A2、 B1B2（其中 A2、 B2 为（ 1）中所画的点），试证明： x 轴垂直平分线段 A1A2、 B1B2； （ 3）设线段 AB 两端点的坐标分别
43、为 A（ 2， 4）、 B（ 4， 2），连接（ 1）中 A2B2，试问在 x 轴上是否存在点 C，使 A1B1C 与 A2B2C 的周长之和最小？若存在 ，求出点 C 的坐标（不必说明周长之和最小的理由）；若不存在，请说明理由 考点 ： 作图 -轴对称变换；线段垂直平分线的性质；轴对称 -最短路线问题 3113559 专题 ： 作图题；证明题；压轴题；探究型 分析： （ 1）根据中心对称的方法，找点 A2， B2，连接即可 （ 2）设 A（ x1， y1）、 B（ x2， y2）依题意与（ 1）可得 A1（ x1， y1）， B1（ x2， y2）， A2（x1， y1）， B2（ x2，
44、y2），得到 A1、 B1关于 x 轴的对称点是 A2、 B2，所以 x 轴垂直平分线段A1A2、 B1B2 （ 3）根据 A1与 A2， B1与 B2均关于 x 轴对称，连接 A2B1 交 x 轴于 C，点 C 为所求的点根据题意得 B1（ 4， 2）， A2（ 2， 4） 设直线 A2B1 的解析式为 y=kx+b 则利用待定系数法解得 ，所以可求直线 A2B1 的解析式为 y=3x 10令 y=0，得 x= ，所以 C 的坐标为（ ， 0）即点 C（ ， 0）能使 A1B1C与 A2B2C 的周长之和最小 解答： 解：（ 1）如图， A2、 B2为所求的点 （ 2）设 A（ x1， y1
45、）、 B（ x2， y2） 依题意与（ 1）可得 A1（ x1， y1）， B1（ x2， y2）， A2（ x1， y1）， B2（ x2， y2） A1、 B1关于 x 轴的对称点是 A2、 B2， x 轴垂直平分线段 A1A2、 B1B2 （ 3）存在符合题意的 C 点 由（ 2）知 A1与 A2， B1与 B2均关于 x 轴对称， 连接 A2B1 交 x 轴于 C，点 C 为所求的点 A（ 2， 4）， B（ 4， 2）依题意及（ 1）得： B1（ 4， 2）， A2（ 2， 4） 设直线 A2B1 的解析式为 y=kx+b 则有 解得 直线 A2B1 的解析式为 y=3x 10， 令
46、 y=0，得 x= ， C 的坐标为（ ， 0） 综上所述，点 C（ ， 0）能使 A1B1C 与 A2B2C 的周长之和最小 点评： 主要考查了轴对称的作图和性质，以及垂直平分线的性质要知道对称轴垂直平分对应点的连线会根据此性质求得对应点利用待定系数法解一次函数的解析式是解题的关键 11（ 2001宜昌）某大型农场拟在公路 L 旁修建一个农产品储藏、加工厂，将该农场两个规模相同的水果生产基地A、 B 的水果集中进行储藏和技术加工，以提高经济效益请你在图中标明加工厂所在的位置 C，使 A、 B 两地到加工厂 C 的运输路程之和最短（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明） 考点 ： 轴对称 -最短路线问题 3113559 专题 ： 作图题 分析： 作 A 关于直线 L 的对称点 E，连接 BE 交直线 L 于 C，则 C 为所求 解答： 答：如图： 点评： 本题主要考查对轴对称最短路线的问题的理解和掌握，根据题意正确画出图形是解此题的关
