1、数字信号处理,电器信息工程学院 蔡超峰,引 言,如果能够找到一类基本信号 (t) 或 (n)，它满足：用它们能构成相当广泛的信号；LSI 系统对每个 (t) 或 (n) 的响应十分简单。 则系统对任意输入信号的响应将会具有一个简单的表达式。 单位冲激信号 (t) 或 (n)、复正弦信号 ejt 或 ejt、复指数信号 est 和 zn 同时具有上述两个性质。 如果 (t) 或 (n)为单位冲激信号，即为时域分析方法（卷积）。 如果 (t) 或 (n)为复正弦信号 、复指数信号，即为变换域分析方法，分别对应于傅里叶变换、z 变换或拉普拉斯变换。,引 言,对于单位冲激响应为 h(t) 的 LSI系
2、统，若输入是 x(t)= ejt ，则系统的响应 y(t) 为：令：则有:由此可见，连续时间LSI系统对复正弦信号输入的响应，仍是一个相同频率的复正弦信号，只是复数幅度有所改变。 离散情况下也是一样:,引 言,假设连续时间和离散时间 LSI 系统的某个任意输入信号分别是复正弦信号 ejt 或 ejt 的一个线性组合：根据LSI系统的线性性质，它们对 x(t) 和 y(t)的响应分别是：结论：只要任意的输入信号 x(t) 或 x(n) 能分别表示成复正弦信号的线性组合，就可以很方便的写出 LSI 系统对它们的响应。,第四章 傅里叶变换,连续和离散傅里叶级数 连续和离散傅里叶变换 傅里叶级数与傅里
3、叶变换的比较 有限长序列的离散傅里叶变换,傅里叶，17681830,1. 连续和离散傅里叶级数,任何连续时间周期信号 ，只要它满足狄里赫利（Dirichlet）条件（后面介绍），都可以展开为复正弦形式的傅里叶级数：其中 T 为 的周期，表示长度为 T 的任意区间。此即连续傅里叶级数（Continuous Fourier Series, CFS）。从上述公式可以看出，连续时间周期信号 可以表示为与其重复频率 0 成谐波关系的一系列复正弦信号 ej0t 的线性组合，每个 ej0t 的复数幅度就是傅里叶级数的系数 X(k0)。,利用欧拉公式，还可以给出三角形式的傅里叶级数：或：,1. 连续和离散傅里
4、叶级数,1. 连续和离散傅里叶级数,定义离散傅里叶级数（ Discrete FS, DFS）：这两个公式表明，任意周期序列 都可以表示为与其重复频率0 成谐波关系的一系列复正弦序列 ej0n 的线性组合，每个 ej0n 的复数幅度就是离散傅里叶级数的系数 X(k0)。 CFS 与 DFS 的区别： CFS 是一个无穷级数，而周期为 N 的周期序列的 DFS 却是一个有限级数，它只有 N 项，即：,1. 连续和离散傅里叶级数,连续傅里叶级数的收敛条件：条件1 在任何一个周期内必须模可积，即条件2 在任何一个周期内极大值和极小值的个数有限； 条件3 在任何一个周期内只有有限个数的间断点。 此即狄里
5、赫利（Dirichlet）条件。不满足狄里赫利条件的周期信号都属于一种比较反常的周期信号，在信号分析与处理中没什么特别的重要性。,1. 连续和离散傅里叶级数,离散傅里叶级数的收敛：离散傅里叶级数涉及到的都是有限项求和，因此只要 是有界的，即对所有的 n，都有 ，则 DFS 的收敛不存在任何问题。或者说，只要在一个周期内 的能量是有限的，即则 DFS 一定收敛。,1. 连续和离散傅里叶级数,周期信号用截短了的傅里叶级数近似： 如果把周期信号 和 分别展成它们的 CFS 和 DFS，并把无限项的 CFS 和有限项的 DFS 在某一处截断，分别得到：和 对 和 的逼近是能量意义上的最佳逼近。当 M
6、趋于无穷或者 (2M+1)= N 时，误差为 0。这种最佳逼近表明可以用有限项低次谐波分量近似的表示一个周期信号，且近似的均方误差可以做到任意小。,1.连续和离散傅里叶级数,习题：求周期矩形脉冲 的傅里叶级数表示。由于 是偶对称的，因此积分区间选为（T/2, T/2），则有：对于k=0，X(0) = /T，它代表 的直流分量。 对于k0，则有,1.连续和离散傅里叶级数,Sa(x):,x,由于 为实偶对称的周期信号，因此傅里叶级数系数均为实数，所以才能画出上图所示的实数频谱。,1,0,1.连续和离散傅里叶级数,一般的周期信号的傅里叶级数系数是一个复数，难以用一个实数频谱图形表示出来。此时，必需用
7、模和辐角或者实部和虚部来表示。通常采用模和辐角的形式：幅度谱： 相位谱：,k,0,k,1.连续和离散傅里叶级数,离散情况下：,1.连续和离散傅里叶级数,周期信号频谱的特点： 连续时间和离散时间周期信号的频谱都是离散频谱，两条谱线之间的间隔等于重复频率（ 0 =2/T 或 0 =2/N）。 连续时间周期信号包含无穷多条谱线，即有无穷多个成谐波关系的复正弦分量组成；离散时间周期信号的谱线具有周期性，在频域上为 2，在 k 域上为 N。,1.连续和离散傅里叶级数,实周期信号的傅里叶级数系数只有一半是独立的，另外一半可以通过共轭偶对称性质求得。 把周期信号幅度谱的谱线顶点连接起来，就形成周期信号的频谱
8、包络。对于实周期脉冲信号，从 0 到第一个包络线零点的频率范围内，谐波分量占去了周期信号功率的绝大部分，通常把这个频率范围作为周期脉冲信号的频谱宽度B。,Sa(x)/x:,x,1,1.连续和离散傅里叶级数,LSI 系统对周期输入信号的响应（以连续周期信号为例）：是周期信号，周期与输入信号 相同。但它们的CFS系数变成了 ，故周期区间内的波形有所改变。 周期输入信号通过 LSI 系统以后， 的谐波分量 要乘以 ，即得到不同复数增益，有的分量被放大，有的分量有所衰减，这也是“信号滤波”的概念和方法的来由。,1.连续和离散傅里叶级数,关于傅里叶级数： 周期信号的傅里叶级数表示法，可以统一在傅里叶变换
9、表示法中，统称为傅里叶表示法。 周期时间函数和序列一般不可能称为实际 LSI 系统的单位冲激响应，因此只有周期信号的傅里叶级数表示法，没有 LSI系统的傅里叶级数表示法。 周期信号不能代表所有的信号，因此只有傅里叶级数表示法并不能说明复正弦信号是能构成相当广泛的一类信号的基本信号。,2. 连续和离散傅里叶变换,定义连续傅里叶变换（ Continuous Fourier Transform，CFT）：其中 x(t) 为连续非周期信号且满足狄里赫利条件。 定义离散时间傅里叶变换（ Discrete Time FT，DTFT）：,2. 连续和离散傅里叶变换,CFT 与 DTFT 的区别： 非周期连续
10、函数 x(t) 的傅里叶变换 X(j) 在 上是非周期函数，非周期序列 x(n) 的离散时间傅里叶变换 X(j) 在 是以 2 为周期的函数，故可用任何一个 2 长度区间上的 X(j) 充分表示。 对于CFT 来说，=0 附近为低频区域， 趋于无穷则为最高频率。对于DTFT来说，当 等于 0 或 的偶数倍时，ejn为常数，附近为低频区域；当 等于 的奇数倍时，ejn 是最高频率的复正弦信号。,2. 连续和离散傅里叶变换,连续傅里叶变换的收敛条件： 条件1 模可积，即或者 x(t) 模平方可积，即 x(t) 为能量信号； 条件2 在任何有限区间内， x(t) 只包含有限数目的极大值和极 小值点。
11、 条件3 在任何有限区间内， x(t) 只有有限个数的阶跃型不连续点，且每一个间断点上的跳变值必须是有限值。,2. 连续和离散傅里叶变换,离散傅里叶变换的收敛条件：即 x(n) 模可和，或者 x(n) 模平方可和，亦即 x(n) 是能量信号。,2. 连续和离散傅里叶变换,典型例子： 单位冲激函数 (t) 和单位冲激序列 (n):单边实指数函数和序列：,2. 连续和离散傅里叶变换,矩形窗函数:,2. 连续和离散傅里叶变换,考察 CFS 和 CFT：傅里叶反变换所起的作用与傅里叶级数表示法中合成公式一样，都把一个信号看成一组复正弦信号的线性组合，区别仅在于傅里叶反变换表示为连续的线性组合。 称为信
12、号 x(t) 的频谱密度函数，或简称频谱，反映了单位频带内复正弦分量的复数幅度值的分布情况。离散情况下也是一样。,2. 连续和离散傅里叶变换,非周期信号频谱的特点： 非周期信号的频谱均为连续频谱。 连续时间非周期信号的频谱是整个频域（ ）上的非周期连续函数；而离散时间非周期信号的频谱是频域上以 2 为周期的连续周期函数。,2. 连续和离散傅里叶变换,假定某个 LSI 系统的单位冲激响应为 h(t) 或 h(n)，且它们的傅里叶变换都存在，即：若系统输入是 x(t) = ejt ，则输出 y(t)为 ：离散情况下： 通常把 和 叫做 LSI 系统的频率响应。,2. 连续和离散傅里叶变换,非周期信
13、号 x(t) 和 x(n) 分别输入至冲激响应为 h(t) 和 h(n) 的连续时间和离散时间 LSI系统。x(t) 可看成是 ejt 的线性组合：此即为连续时间和离散时间 LSI 系统在频域上的输入输出关系。,. . . .,2. 连续和离散傅里叶变换,傅里叶变换的模和相位：若系统的频率响应为 ，输入为 x(t)，则输出 y(t)为 ：,2. 连续和离散傅里叶变换,上述结果表明，LSI 系统频率响应的的模 |H(j)|表示该系统对复正弦信号 ejt 的的幅度增益，它完整的反映了系统对复正弦信号的幅度增益随频率 变化的特性，称为幅频响应或幅频特性。频率响应的幅角 () 表示该系统给 ejt 造
14、成的附加相移，反映了附加相移随频率 变化的特性，称为相频响应或相频特性。 离散情况下也有完全相同的结果。,LSI 系统,傅里叶级数和傅里叶变换的区别： 傅里叶级数对应周期信号，傅里叶变换对应非周期信号； 傅里叶级数要求信号在一个周期内能量有限，傅里叶变换要求信号在整个时间区间内能量有限； 傅里叶级数的系数都是离散的，而傅里叶变换的结果是连续函数。 物理含义不同，量纲不同。,3. 傅里叶级数与傅里叶变换的比较,左边取极限：,右边取极限：,傅里叶级数和傅里叶变换的联系： 不考虑狄里赫利条件，直接计算周期信号的傅里叶变换：由积分得到周期信号傅里叶变换的表达式：由此可见，本来不具备傅里叶变换条件的周期
15、信号，在引入冲激函数后也可以做傅里叶变换。,3. 傅里叶级数与傅里叶变换的比较,几个周期信号的傅里叶变换： 单个复正弦：复正弦集合：冲激串序列：,3. 傅里叶级数与傅里叶变换的比较,3. 傅里叶级数与傅里叶变换的比较,时域,频域,CFS,CFT,DFS,DTFT,3. 傅里叶级数与傅里叶变换的比较,4. 离散傅里叶变换,在计算机上实现信号的频谱分析及其它方面的工作时，信号在时域和频域必须都是离散的，而且都应是有限长。显然，四种形式的傅里叶变换（级数）无一满足此条件。另外，实际中的信号往往也是离散且有限长。 将长度为 M 的有限长序列 以周期 N 进行周期延拓，得到周期序列 :其中,4. 离散傅里叶变换,1,4. 离散傅里叶变换,周期序列 的离散傅里叶级数（DFS）表示：最终得到离散傅里叶变换（Discrete FT，DFT）：,4. 离散傅里叶变换,N 点序列的 DFT 与其 DTFT 之间的关系：上式表明，N 点序列的 N 个 DFT 系数等于它的 DTFT 在 0,2)的 区间上的 N 个等间隔样本值。 N 点序列的 DFT 与其 DFS 之间的关系：即 N 点序列的 N 个 DFT 系数等于 DFS 系数的主值序列。,DFT,DTFT,4. 离散傅里叶变换,二维离散傅里叶变换:,
