1、第二十三 讲 和倍问题 【知识概述】 ：已知两个数的和与它们之间的倍数关系，求这两个数各是多少的应用题，叫做 和倍应用题 。要想顺利解决和倍应用题，最好的方法就是根据题意，画出线段图，使数量关系一目了然，从而正确的列式计算。解答和倍应用题的关键是找出两数的和以及与其对应的倍数和。解答和倍应用题的基本数量关系是： 和（倍数 1）小数； 小数倍数大数（几倍数）或者：两数和小数大数 如果遇到三个或三个以上的数的倍数关系，也可用这个公式。（首先找最小的一个数，再找出另几个数是最小数的倍数即可） 【经典例题】 ： 例 1.幼儿园的老师和小朋友共有 81人在做游戏，小朋友们总是跟着自己的老师转，每位老师身
2、边都有 8个小朋友，问：小朋友有多少个？老师有多少人？ 练习 1：1、学校有科技书和故事书共 480本科技书的本数是故事书的 3倍，两种书各多少本？ 2、一个养鸡场有 675 只鸡，其中母鸡是公鸡的 4 倍，这个养鸡场有公鸡、母鸡各多少只？ 3、学校将 360本图书分给二、三年级，已知三年级所得的本书比二年级的 2倍还多 60 本，二、三年级各得图书多少本？ 4、爸爸要把 140张邮票分给弟弟和妹妹，已知弟弟分得的邮票张数比妹妹的 4倍少 10 张，弟弟和妹妹各分得邮票多少张？ 例 2、 甲、乙、丙 3数和是 183,乙比丙的 2倍少 4，甲比丙的 3倍多 7，求甲、乙、 丙 三数各是多少？
3、解析： 乙数加上 4就是丙数的 2倍，甲数减少 7就是丙数的 3倍。而总数也就应该加上 4，再减去 7。丙数 1倍数，乙是 2倍数。甲是 3倍数，先求丙。丙数 =（ 183+4-7） （ 1+2+3） =30，乙数 =302 -4=56，甲数 =303+7=97 。 练习 2、1、 三堆糖果共有 105颗，其中第一堆糖果的数量是第二堆的 3倍，而第三堆糖果的数量又比第二堆的 2倍少 3颗第三堆糖果有多少颗？ 2. 甲、乙、丙三个粮仓一共存有 109吨粮食其中甲粮仓的粮食总量比乙粮仓的 3倍多 1吨，而乙粮仓的粮食总量则是丙粮仓的 2倍问：甲粮仓比丙粮仓多存粮多少吨？ 5.果园里有桃树、 梨树
4、、苹果树共 552棵桃树比梨树的 2倍多 12棵，苹果树比梨树少 20 棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？（ ） 6.某驻军有三个坦克连，共有 115辆坦克，一连坦克数量比二连的 2倍多 2，而二连的坦克数量比三连的 3倍多 1请问：一连比三连多几辆坦克？（ ） 【 重难点例题 】 ： 甲组的图书是乙组的 3倍，若乙组给甲组 6本，则甲组的图书是乙组的 5倍，甲组原来有图书多少本？ 解析： 甲组的图书是乙组的 3倍，若乙组拿出 6本，甲组相应的也拿出 6 3=18（本），则甲组仍是乙组的 3倍。事实上甲组不但没有拿出 18 本，反而接受了乙组的 6本， 18+6就正好对应着后来乙组的（ 5-
5、3）倍。因此，后来乙组有图书（ 18+6） （ 5-3） =12（本），乙组原来有 12+6=18（本），甲组原来有 18 3=54（本）。 练习 1.小明原来的画片是小红的 3倍，后来二人各买了 5 张，这样，小明的画片就是小红的 2倍。二人原来各有多少张画片？ 2.幼儿园买来的苹果个数是梨的 3倍，吃掉 10个梨和6个苹果后，剩下苹果正好是梨的 5倍。原来买来的苹果和梨共有多少个？ 3.一个书架上层的书的本数是下层的 4倍。从下层拿 5本放入上层后，上层的本数正好是下层的 5倍。原来下层有几本书？ 【同步精炼】： 1、小明有圆珠笔芯 30 支，小青有圆珠笔芯 15 支，问小青把多少支笔芯给
6、小明后，小明的圆珠笔芯支数是小青的 8 倍？ 2、甲桶有油 25千克，乙桶有油 17千克，乙桶倒入多少千克油给甲桶后，甲桶的油是乙桶的 5倍？ 3、甲水池有水 69 吨，乙水池有水 36 吨，如果甲水池中的水以每分钟 2吨的速度流入乙池，那么多少分钟后，乙水池的水是甲水池的 2倍？ 4、甲书架有图书 18本，乙书架有图书 8本，班级图书管理员又买来图书 16本，怎样分配才能使甲书架图书的本书是乙书架的 2倍？ 5、某专业户养鸡、鸭、鹅共有 960只，养鸡的只数是鹅的 3倍，养鸭的只数是鹅的 4倍。这个专业户养鸡、鸭、鹅各多少只？ 6、甲、乙、丙三个数之和是 400，又知甲是乙的 3倍，丙是甲的
7、 4倍。求这三个数。 7、三块钢板共重 621千克，第一块的重量是第二块的3倍，第二块的重量是第三块的 2倍。三块钢板各是多少千克？ 8、甲、乙、丙三个修路队共修路 1200米，甲队修的米数是乙队的 2倍，乙队修的米数是丙队的 3倍。三个队各修了多少米？ 9、甲、乙两数的和是 112，甲数除以乙数的商是 6，甲、乙 两数各是多少？ 10、被除数和除数的和是 120，商是 7，被除数和除数各是多少？ 11、被除数、除数与商的和是 79，已知商是 4。被除数和除数各是多少？ 12、两数相除商是 5，没有余数，已知被除数、除数与商的和是 59。被除数和除数各是多少？ 差倍问题 【知识概述 :】 已知
8、两数之差及它们的倍数关系，求这两个数是多少的应用题就叫做差倍问题。差倍问题中大、小二数的数量关系可以用： 小数（ 1倍数）两数差 (倍数 1)。 式子中 1即“ 1倍”数代表小数。 大数（几倍数）小数差，或 大数小数倍数。 解题关键就是抓住倍数差与对应两数差。学会使用线段图解题 例 1、 王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多 128个，且是徒弟的 3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？ 解析 ：师徒二人一天生产的零件的 “差”是 128个。小数 (即“ 1倍”数 )是徒弟一天生产的零件数，“倍数”为 3。由差倍公式可以求解。 解：徒弟一天生产零件： 128 (3 1) 64(个 )，
9、师傅一天生产零件： 128 64 192(个 )或 64 3 192(个 )。 【 小试牛刀 】 1、 两根电线的长相差 30米，长的那根是短的那根的 4倍。这两根电线各长多少米？ 2、某小学购买组足球的个数是排球的 3倍，足球比排球多 18 只，购买足球和排球各有多少只？ 【 例 2】 甲、乙二工程队，甲队有 56 人，乙队有 34 人。两队调走同样多人后，甲队人数是乙队人数的 3倍。问：调动后两队各有多少人？ 分析与解答 ：“ 1倍”数是乙队调动后剩下的人数。因甲、乙队调走的人数相同 (不影响他们二队人数之差 )，所以，甲、乙两队人数之差仍是 56 34 22(人 )。由差倍公式得调动后乙
10、队有： (56 34) (3 1) 11(人 )。调动后甲队有： 11 3 33(人 )或 11 (56 34) 33(人 )。 【 小试牛刀 】 1、养鸡场有公鸡和母鸡，母鸡的只数是公鸡的 3 倍，把母鸡运走 850只，把公鸡运走 50只以后，公鸡与母鸡所剩下的只数相等，公鸡和母鸡原来各有多少只？ 2、参加少年宫科技小组的人数，今年比去年多 41人，并且今年的人数比去年的 3倍少 35 人，今年有多少人参加？ 【例 3】甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走 26 千克油，乙桶加入 14 千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的 3倍。两桶油原来各有多少千克？ 分析与解答：当甲桶取走 26千克、乙
11、桶加入 14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的 3倍，所以，“ 1倍”数是甲桶里剩下的油，差是 26 14 40(千克 )。由差倍公式知，“ 1倍”数 (26 14) (3 1) 20(千克 )。 故甲、乙桶原来各有油： 20 26 46(千克 )，或 20 3 14 46(千克 )【小试牛刀】 1、小娟和洋 洋扎纸花，小娟扎的朵数是洋洋的 4倍。如果小娟送给洋洋 36朵，那么两人扎的朵数相等，小娟和洋洋原来各扎多少朵花？ 2、某车间原来有男职工数比女职工数多 48 人，如果调走 2名女职工，男职工数就是女职工的 3倍，求这个车间原有男、女职工各多少人？ 【同步精练】 1、哥哥的图书本数比弟弟
12、多 60本，哥哥的图书本数是弟弟的 3倍，哥哥和弟弟各图书多少本？ 2、菜场运来的西红柿是黄瓜的 3倍，卖出西红柿 950千克，黄瓜 120 千克后，剩下的两种蔬菜重量相等，菜场运来西红柿和黄瓜各多少千克？ 3、两袋盐的重量相等，甲袋取出 24千克，乙袋装入 28千克，这时乙袋的重量是甲袋的 3倍 ，甲乙两袋原来各有盐多少千克？ 4、甲、乙两数的和是 112.甲数除以乙数的商是 6，甲、乙两数各是多少？ 5、甲、乙、丙三数之和是 360，已知甲是乙的 3倍，丙是乙的 2倍。求甲、乙、丙各是多少。 6、有甲、乙两辆车，载客人数相同，在同一站点上，甲车有 2人上车，乙车有 9人上车，两车都没人下车
13、，这时乙车载客人数是甲车的 2倍，原来两车各有多少人 7、小华和小明两人参加数学竞赛，两人共得 168分，小华的得分比小明的 2倍少 42分。两人各得多少分？ 8、三个数的和是 1540，甲数是丙数的 7倍，乙数比甲数多40。三个数各是多少？ 9、甲筐有梨 400个，乙筐有梨 240 个，现在从两筐取出数目相等的梨，剩下梨的个数，甲筐是乙筐的 5倍，两筐所剩的梨各有多少个 ? 10、小明和小惠都是集邮爱好者，小明的邮票张数是小惠的 4 倍，如果小明送给小惠 36张，那么两人的张数相等，小明和小惠原来各有多少张邮票？ 11、甲厂人数比乙厂少 540 人，若从两厂各调走 600人，乙厂人数恰好是甲
14、厂人数的 4倍，求甲厂原来有多少人？ 课后巩固练习： 1、一块长方形黑板的周长是 96分米，长是宽的 3倍。这块长方形黑板的长和宽各是多少分米？ 2、商店有铅笔、钢笔、圆珠笔共 560支，圆珠笔的支数是钢笔的 3 倍，铅笔的支数与圆珠笔的支数同样多。铅笔、钢笔和圆珠笔各有多少支？ 3、甲、乙、丙三个修路队共修路 1200 米，甲队修的米数是乙队的 2倍，乙队修的数数是丙队的 3倍。三个队各修了多少米？ 4、学校购买了 720本图书分给高、中、低三个年级，高年级分得的比低年级的 3倍多 8本，中年级分得的比低年级的 2倍多 4本。高、中、低年级各分得图书多少本？ 5、城东小学共有篮球、足球和排球
15、共 95个，其中足球比排球少 5个，排球的个数是篮球个数的 2倍。篮球、足球、排球各有多少个？ 6、在一个数的后面补上两个“ 0”，得到的新数比原来的新增加了 1980，这个数是多少？ 7、食堂里有 94 千克面粉， 138 千克大米，每天用掉面粉和大米各 9千克，几天后剩下的大米是面粉的 3倍？ 8、甲乙两人各有若干本书，若甲给乙 45本，则两人的书相等，若乙给甲 45本，则甲的本数是乙的 2倍，甲乙原来各有书多少本？ 9、小云比小雨少 20本书，后来小云丢了 5本书，小雨新买了 11 本书，这时小雨的书比小云的书多 2倍。问：原来两人各有多少本书？ 和差问题 【知识概述】 ：已知几个数的和
16、与差，求这几个数的应用题，叫和差问题。通常采用假设的方法，就是假设那个较小的数和较大的数相等或者假设那个较大的数和那个较小的数相等，这样就会引起总数（和）的变化（增加或减少），求出新的和，平均分就可得其中的一个数。为了解答这种应用题，首先要弄清两个数相差多少的不同叙述方式 .有些题目明确给了两个数的差，而有些应用题把两个数的差“暗藏”起来，我们管暗藏的差叫“暗差”。 基本公式： （和 -差） 2=较小数 较小数 +差 =较大数 和 -较小数 =较大数 （和 +差） 2=较大数 较大数 -差 =较小数 和 -较大数 =较小数 【经典例题】： 1、两筐水果共重 150千克，第一筐比第二筐少 10千
17、克，两筐水果各多少千克？ 解析：读题，找出条件和问题。根据条件和问题画出线段图 假设把第二筐多的 10 千克减掉，看成两个第一筐的重量来计算，总重量要变成多少？怎么计算？ 列式：第一筐： 1 5 0 1 0 2 7 0 （ ） （千克） 第二筐： 70 10 80 （千克） 假设把第一筐少的 10 千克补上，看成两个第二筐的重量来计算，总重量要变成多少？怎么计算？ 列式：第二筐： 1 5 0 1 0 2 8 0 （ ） （千克） 第一筐： 80 10 70 （千克） 【小试牛刀】： 1、 甲、乙两人同时 以相同的速度 打字， 2分钟共打了 240个字，已知甲每分钟比 乙多打 10 个字问甲、乙
18、两人每分钟各打多少个？ 2、 果园共 260棵桃树和梨树，其中桃树的棵数比梨树 多 20棵桃树和梨树各有多少棵？ 3、 有一根钢管长 12米，要锯成两段，使第一段比第二段短 2米 每段各长多少米 ？ 4、沿长宽相差 30米的游泳池跑了 5圈，做下水前得准备活动，已知跑了 700米距离，问游泳池的长和宽各是多少？ 5、两数的和是 40，甲数比乙数大 8，求甲、乙两数各是多少？ 6、买一套衣服，共需 360元，裤子比上衣便宜 136元，那么买一件上衣和一条裤子各需多少元钱？ 7、甲、乙两箱共有水果 60 千克，如果从甲箱中取出 5千克放到乙箱中，则两箱水果一样重，求两箱水果原来各有多少千克？ 8、
19、被减数，减数，差之和是 900，减数比差少 50，求减数是多少？ 9、甲、乙、丙三个零件平均重 31 千克，甲零件比乙、丙两个零件重量和少 1千克，乙零件是丙零件重量的 2倍还多 2千克。三个零件各重多少千克？ 10、一套书有上、中、下三册，上册比中册贵 3元，中册比下册贵 6元，四套这样的书共 300元，求上、中、下每册各多少元？ 11、两箱水果共重 150千克，第一筐比第二筐多 8千克，两筐水果各多少千克？ 和倍、差倍、和差问题综合练习 1、学校有科技书和故事书共 480本，科技书的本数是故事书的 3倍。两种书各有多少本？ 2、用锡和铝制成的合金是 720千克，其中铝的重量是锡的5倍。铝和
20、锡各用了多少千克？ 3、果园里有梨树、桃树和苹果树共 1200棵，其中梨树的棵数是苹果树的 3倍，桃树的棵数是苹果树的 4倍。求梨树、桃树和苹果树各有多少棵？ 4、李大伯养鸡、鸭、鹅共 960只，养鸡的只数是鹅的 3倍，养鸭的只数是鹅的 4倍。鸡、鸭、鹅各养了多少只？ 5、有三个书橱共放了 330本书，第二个书橱里的书是第一个的 2倍，第三个书橱里的书是第二个的 4倍。每个书橱里各放了多少本书？ 6、甲、乙、丙三个数之和是 400，已知甲是乙的 3倍，丙是甲的 4倍。求甲、乙、丙各是多少。 7、少先队员种柳树和杨树共 216棵，杨树的棵数比柳树的3倍多 20棵，两种树各种了多少棵？ 8、被除数
21、比除数大 252，商是 7，被除数、除数各是多少？ 9、三个筑路队共筑路 1360米，甲队筑的米数是乙队的 2倍，乙队比丙队多 240米。三个队各筑多少米？ 10、三个植树队共植树 1900棵，甲队植树的棵数是乙队的2倍，乙队比丙队少植 300棵。三个队各植树多少棵？ 11、有两袋大米，大袋比小袋多 56千克，如果将小袋的大米吃掉 4 千克，这时大袋的大米重量是小袋的 4倍，求两袋大米原来各重多少千克？ 12、有 40个连续的自然数，最大的那个数是最小的那个数的 4 倍，那么这列自然数中最大数与最小数的和是多少？ 13、学校体育室近期用 148元购买了 2只足球和 4只排球。每只足球比每只排球贵 5元，足球和排球的单价各是多少元？ 14、把 100米长的绳子剪成三段，其中第二段比第一段多16米，第三段比第一段少 18 米。三段绳子各长多少米？ 15、兄弟两共有邮票 70张，如果哥哥给弟弟 4张邮票后，还比弟弟多 2张，兄弟两原来各有邮票多少张？ 16、一个两位数，十位数字与个位数字的和为 9，十位数字比个位数字多 5，求这个两位数？ 17、小明有钱 56 元，小华有钱 34 元，两人花去同样多的钱后小明剩下的钱数正好是小华剩下钱数的 3倍。问两人各花了多少钱？ 18.商店运来一批水果，其中桔子的筐数是苹果的 4倍，苹果比桔子少 30筐。这批水果中苹果和桔子各有多少筐 ？
