1、 1 小学数学八大思维方法 目 录 一、逆向思维方法 二、对应思维方法 三、假设思维方法 四、转化思维方法 五、消元思维方法 六、发散思维方法 七、联想思维方法 八、量不变思维方法 2 一、逆向思维方法 小学教材中的题目，多数是按照条件出现的先后顺序进行顺向思维的。逆向思维是不依据题目内条件出现的先后顺序，而是从反方向（或从结果）出发而进行逆转推理的一种思维方式。 逆向思维与顺向思维是 训练的最主要形式，也是思维形式上的一对矛盾，正确地进行逆向思维，对开拓应 用题的解题思路，促进思维的灵活性，都会收到积极的效果， 解：这是一道典型的“还原法”问题，如果用顺向思维的方法，将难以解答。正确的解题思
2、路就是用逆向思维的方法，从最后的结果出发，一步步地向前逆推，在逆向推理的过程中，对原来题目的算法进行逆向运算，即：加变减，减变加，乘变除，除变乘。 列式计算为： 3 此题如果按照顺向思维来考虑，要根据归一的思路，先找出磨 1 吨面粉序是一致的。 如果从逆向思 维的角度来分析，可以形成另外两种解法： 不着眼于先求 1 吨面粉需要多少吨小麦，而着眼于 1 吨小麦可磨多少列式计算为： 由此，可得出下列算式： 4 答：（同上） 掌握逆向思维的方法，遇到问题可以进行正、反两个方面的思考，在开拓思路的同时，也促进了逻辑思维能力的发展。 5 二、对应思维方法 对应思维是一种重要的数学思维，也是现代数学思想的
3、主要内容之一。对应思维包含一般对应和量 率对应等内容，一般对应是从一一对应开始的。 例 1 小红有 7 个三角，小明有 5 个三角，小红比小明多几个三角？ 这里的虚线表示的就是一一对应，即：同样多的 5 个三角，而没有虚线的 2个，正是小红比小明多的三角。 一般对应随着知识的扩展，也表现在以下的问题上。 这是一道求平均数的应用题，要求出每小时生产化肥多少吨，必须先求出上、下午共生产化肥多少吨以及上、下午共工作多少小时。这里的共生产化肥的吨数与共工作的小时数是相对应的，否则求出的结果就不是题目中所要求的解。 在简单应用题中，培养与建立对应思维，这是解决较复杂应用题的基础。这是因为在较复杂的应用题
4、里，间接条件较多，在推导过程中，利用对应思维所求6 出的数，虽然不一定是题目的最后结果，但往往是解题的关键所在。这在分数乘、除法应用题中，这种思维突出地表现在实际数量与分率（或倍数）的对应关系上，正确的解题方法的形成，就建立在清晰、明确的量率对应的基础上。 这是一道“已知一个数几分之几是多少，求这个数”的分数除法应用题，题中只有 20 本这唯一具体的“量”，解题的关键是要找这个“量”所对应的“率”。如图： 的“率差”，找出“量”所对应的“率”，是解答这类题的唯一思考途径，按照对应的思路，即可列式求出结果。 答：书架上原有书 240 本。 如果没有量率对应的思维方法，用 20 除以而得的不是所对
5、应的率，必然导致错误的计算结果。因此，培养并建立对应的思维方法，是解答分数乘除法应用7 题一把宝贵的钥匙。 8 三、假设思维方法 这是数学中经常使用的一种推测性的思维方法。这种思维方法在解答应用题的实践中，具有较大的实用性，因为有些应用题用直接推理和逆转推理都不能寻找出解答途径时，就可以将题目中两个或两个以上的未知条件，假设成 相等的数量，或者将一个未知条件假设成已知条件，从而使题目中隐蔽或复杂的数量关系，趋于明朗化和简单化，这是假设思维方法的一个突出特点。 当“假设”的任务完成后，就可以按照假设后的条件，依据数量的相依关系，列式计算并做相应的调整，从而求出最后的结果来。 各长多少米？ 解答这
6、道题 就需要假设思维方法的参予。如果没有这种思维方法，将难以找到解题思路的突破口。题目中有两数的“和”。而且是直接条件，两数的“倍”不仅是间接条件，并且附加着“还”多 0.4 米的条件，这是一道较复杂的和倍应用题，思考这道题，必须进行如下的假设。 是直接对应的，至此，就完全转化成简单的和倍应 用题。 根据题意，其倍数关系如图： 9 答：第一块 4.36 米，第二块 3.3 米。 电线各长多少米？ 两个标 准量的分率一旦一致，就可以用共长的米数乘以假设后的统一分率，求出假设后的分量，这个分量与实际 8.6 米必有一个量差，这个量差与实际的率差是相对应的。这样就可以求出其中一根电线的长度，另一根电
7、线的长度可通过总长度直接求出。 列式计算为： 长度。 10 列式计算为： 答：同上。 上述两种解法都是从率入手的，此题如从量入手也有两种解法，无论从率从量入手， 都需要假设的思维方法作为解题的前提条件。由此可见，掌握假设的思维方法，不仅可以增加解题的思路，在处理一些数量关系较抽象的问题时，往往又是创造性思维的萌芽。 11 四、转化思维方法 在小学数学的应用题中，分数乘、除法应用题既是重点，又是难点。当这类应用题的条件中，出现了两个或两个以上的不同标准量，从属于这些标准量的分率，就很难进行分析、比较以确定它们之间的关系。运用转化的思维方法，就可以将不同的标准量统一为一个共同的标准量。由于标准量的
8、转化和统一，其不同标准量的分率，也就转化成统一标准量下的分率，经过转化 后的数量关系，就由复杂转化为简单，由隐蔽转化为明显，为正确解题思路的形成，创造了必要的条件。 培养转化的思维方法，必须具备扎实的基础知识，对基本的数量之间的相依关系以及量率对应等关系，都能做到熟练地掌握和运用，没有这些作为基础，转化的思维方法就失去了前提。 转化的思维方法，在内容上有多种类型，在步骤上也有繁有简，现举例如下。 从题意中可知，求这批货物还剩下几分之几，必须先知道三辆车共运走全部的几分之几，全部看作标准量“ 1”，但条件中的标准量却有三个，“全部”、“甲车”和“乙车”，如果不把“甲车”和“乙车”这两个标准量，也
9、统一成“全部”这个标准量，正确的思路将无法形成。 12 上面的转化的思维方法，都是分率在乘法上进行的，简称“率乘”。 乙两人年龄各多少岁？ 从题目中的条件与问题来分析，这是一道和倍应用题，但标准量却有两个（甲年龄与乙年龄），不通过转化来统一标准量，则无法确定甲乙年龄之间的倍数关系。 两人年龄和是 60 岁，就可以求出甲乙两人各自的年龄。 答：甲 36 岁，乙 24 岁。 13 如果把甲乙年龄不同的标准量，通过转化统一为乙年龄的标准量，把乙龄则是： 如果根据题意画出线段图，还可以转化成另外一种思路。 倍，通过这个转化，就可以确定甲乙年龄的倍数关系。 答：甲 36 岁，乙 24 岁。 如果结合对图
10、形中相等部分的观察，转化一下思维的角度，可以将这道较复杂的分数和倍应用题转化为按比例分配的应用题。 14 2，有了两人年龄的“和”，又有了两人年龄“比”的关系，按比例分配应用题的条件已经具备。 上述的四种解法，前两种运用了分率转化法，第三种运用了倍比转化法，第四种是将原题转化为按比例分配的应用题，这几种思路，在算法上大同小异，在算理上也有难有易，但都有一个明显的共同点：与转化的思维方法紧密相连。 15 五、消元思维方法 在小学数学中，消元的思维方法，也叫做消去未知数的方法。在一些数量关系较复杂的应用题里，有时会出现由两 种或两种以上物品组合关系所构成的问题，而已知条件只给了这几种物品相互混合后
11、的数量和总值，如果按照其他的思维方法，很难找到解决问题的线索。这就需要运用消元的思维方法，即：依据实际的需要，通过直接加、减或经过乘、除后，再间接加、减的方法，消去其中一个或一个以上未知数的方法，来求出第一个结果，然后再用第一个结果推导出第二个或第三个结果来。 运用消元的思维方法，是从求两个未知数先消去其中一个未知数开始的，然后过渡到求三个未知数，首先消去其中两个未知数。 例 1 有大小两种西红柿罐头，第一次买了 2 个小罐头， 3 个 大罐头，、小罐头每个各重多少公斤？ 根据题目中的条件，排列如下： 从条件排列中观察到：两次买罐头的总重量是不一样的，关键在于两次买的大罐头的个数不一样，如果用
12、第二次的总重量减去第一次的总重量，所得到的量差与两次买的大罐头的个数差是直接对应的。这样一减，实际上就消去了 2 个小罐头的重量，所得的结果就是（ 7-3） =4 个大罐头的重量，据此，可以求出每个16 大罐头的重量，有了每个大罐头的重量，再代入原题中任何一个条件，就可以求出每个小罐头的重量。 列式计算为： 例 2 食堂买盐、酱、醋，第一次各买 2 斤，共付 0.96 元，第二次买 4 斤盐、3 斤酱、 2 斤醋共付 1.48 元，第三次买 5 斤盐、 4 斤酱和 2 斤醋，共付 1.82 元，求每斤各多少元？ 根据第三次和第二次所买的物品数量，醋的斤数一样，两次付出钱数相减，就把醋消去了。所
13、得的结果就是两次盐、酱斤数差所对应的钱数。 考虑到第一次各买 2 斤付出 0.96 元，用 0.96 元除以 2，所得的 0.48 元，正是各买 1 斤应付的钱数。再用 0.48 元减去 1 斤盐、 1 斤酱的 0.34 元，就可求出 1 斤醋的价钱。 17 每斤醋的价钱已求出，再想办法消去盐和酱，如果先消去酱，可用： 0.34元 3=1.02（元），这 1.02 元是 3 斤盐和 3 斤酱的价钱和，再用第二次共付的（ 1.48-0.14 2） =1.2（元），这 1.2 元是消去 2 斤醋的价钱，也就是 4 斤盐、 3斤酱的价钱之和，由于 1.02 元里 也有 3 斤酱的价钱，这两个数相减，
14、即可求出每斤盐的价钱。 如果求出每斤醋的价钱后，也可以先消去盐，即用： 0.34 4=1.36（元），这是 4 斤盐与 4 斤酱的价钱和。然后按上述求出 4 斤盐与 3 斤酱的价钱和（ 1.2元），即可求出每斤酱的价钱。 如下式： 通过以上两例说明：解答上面这类应用题，按照一般的常规思路，会感到不得其门而入。运用消元的思维方法，就会发现解答上面这类题的规律。由于解题步骤和分析消元的角度上，不是唯一的，因此，消元的思维方法也会促进整个思维的发散性。 小学数学中的消元思维方法与中学代数中的消元法是一致的，所不同的是小学数学中的消元没有字母，都 是具体的数量。 18 六、发散思维方法 发散的思维方法
15、，是依据题目中的条件与条件、条件与问题的相依关系，从不同的角度去分析，从不同的途径去思考，在推理中寻求正确的答案，在比较中选择最佳思路，从而使学生的求异思维得到锻炼和发展。 求同思维是求异思维的前提，没有求同就没有真正的求异，或者说就没有真正的发散，但求异思维不是求同思维的自然发展，重要的是教师有计划、有重点地进行发散思维方法的培养。让学生在“同中求异”和“异中求同”，使求同思维与求异思维协同配合，做到培养中的同步发展。 是一个正确答案，却是从不同角度进行发散思维的结果。 出 1300 公斤。 倍，小数点向右移动三位，结果是 1300 公斤。 上述的三种思 路，其与旧知识的联系不尽相同，所以形
16、成了不同的发散加的方法，实际上在运算中使用了乘法的分配律。思路是用求一个数是另一个数的几又几分之几倍的分数乘法则来进行计算的。思路是先将分数化成小数，19 然后在乘法中，根据小数点移位所引起的小数大小变化的规律，从而简便、准确、迅速地求出结果。 例 2 当分数、百分数应用题学完后，可通过变直接条件为间接条件的表述，来进行发散思维方法的培养。 甲储蓄 80 元，乙储蓄 50 元。如果把乙储蓄的这个直接条件改为间接条件，并用分数或百分数的形式进行表述，可能有几种表述方式： 如果把甲储蓄的钱数转化为间接条件，仍用分数或百分数的形 式进行表述，可有以下几种表述方式： 类似的表述方法还有多种，解答步骤也
17、会由简到繁。由此可见，发散思维方法的形成，对于应用题中的数量关系或量率关系，能够进行多角度、多侧面的发散性思考，这种自觉习惯的养成，将是一种宝贵的思维品质。 20 七、联想思维方法 联想思维方法是沟通新旧知识 的联系，在处理新问题的数量关系时，能够对已掌握的旧知识与新问题之间，产生丰富的联想，并运用知识的正迁移规律，变换审题的角度，使问题得到更顺利、更简捷的解决。 例如：当学完分数和比例应用题后，下面的一组数量关系，就可以显示联想思维方法在开阔思路上的作用。 行驶一段路程，甲车与乙车速度的比是 5 4。 甲车与乙车的速度比是 5 4，甲车与乙车所用的时间比就是 4 5。这是依据速度与时间成反比
18、关系而联想出来的。如果原题的后面条件是给了甲（或乙）行完全路的时间，按原来速度比去思考，此题将是反比例应用题，通过 联想，将速度比转化为时间比，此题便由反比例应用题转化为正比例应用题。 是依比与除法关系联想的结果。如果原题条件的后面给了乙车的速度求甲车速度是多少，就可以用求一个数几又几分之几倍的方法，将原题的正比例应用题转化成分数乘法的应用题。如果原题给了甲车的速度去求乙车的速度，就可以用已知一 个数的几又几分之几倍是多少，求这个数的方法，将原题转化成分数除法的应用题。 依据分数与比的关系联想的结果。如果后面给了甲车速度，求乙车速度，则转化成求一个数几分之几是多少的乘法应用题；反之，则转化成已
19、知一个数的几分之21 几是多少，求这个数的除法应用题。 在比与除法关系的基础上，联想到求一个数比另一个数多几分之几。乙车速个差率直接对应，那么， 用分数除法就可以直接求出乙车的速度。 是依据求一个数比另一个数少几分之几而联想出来的。甲车作为标准量，如除法可求出甲车的速度。 根据甲车与乙车速度的比是 5 4，则甲乙两车的速度和为（ 5+4）据按比例分配应用题所进行的联想。如果原题后面给出两车速度和是多少的条件，就可以用分数乘法分别求出甲车和乙车的速度。 根据甲车与乙车速度的 比是 5 4，在速度与时间成反比的基础上，联想到甲车与乙车的时间比是 4 5，并由此联想出甲车每小时行完全路的出发，相向而
20、行，求中途的相遇时间，那么，把全路作为标准量，这道题又转化成分数的工程问题。 从上例可以看出：联想的面越广，解题思路就越宽，解题的步骤也就会越加准确和敏捷。由此可见 ，联想思维方法所带来的效益，不仅可以促进学生思维力的发展，也可以直接、有效地提高解答应用题的能力。 实践证明：联想思维方法往往是创造性思维的先导。 22 八、量不变思维方法 在一些较复杂的分数应用题中，每个量的变化都会引起相关联的量的变化，就如同任何一个分量的变化都会引起总量变化一样，这种数量之间的相依关系，常常出现以下情况：即在变化的诸量当中，总有一个量是有恒的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。 有了量不变的思维方
21、法，就能在纷繁的数量关系中，确定不变量，理顺它们之间的关系，理清解题 的思路，从而准确、迅速地确定解答的步骤与方法。 运用量不变思维方法，处理应用题时，大体上有以下三种情况： （ 1）分量发生变化，总量没有变。 （ 2）总量发生变化，但其中的分量没有变。 （ 3）总量和分量都发生了变化，但分量之间的差量没变。 因此，要结合题目内容，区别不同情况，做出具体的分析。 从题意分析中可以得出：这是一道总量不变的应用题，乙给甲 12 元后，二人的存款数（分量）都发生了变化，但二人存款的总钱数（总量）却始终不变，抓住了这个不变量，就抓住了解题的关键，把乙的存款数看作“ 1”，如下图所示。 23 元后，乙存
22、款数所占总存款的分率也发生了变化，如图所示。 或者根据甲为“ 1”，先求甲占总存款数的几分之几，把标准量转化为总存化，就在于拿出了 12 元，这 12 元所对应的正是 总存款数的分率差，据此，=32（元），甲原来的存款数是： 80-32=48（元）。 此题中，尽管标准量前后不同，中间并经过几度转化，解题过程也较复杂，但总量不变的特点一旦抓住，就会保证思维过程的条理和清晰。 这是一道分量不变的应用题，科技书的增加，必然引起两种书总数的增加，也就是一个分量和总量都发生了变化，但有另一个分量始终没变，这就是文艺书24 的本数，抓住这个不变量，就找到了解题的突破口。 当科技书增加后，文艺书仍然是 504 本，不过它所占两种书总数的分率却发生了变化，这是科技书的增加所引起总本数增加的结果，这时文艺书所占的分率就相应减少。 720-630=90（本），由于文艺书没变，这 90 本就是科技书后来又买进的本数。 这是一道差量不变的应用题，张华年龄增加的同时，李丽的年龄也在增加，年龄之和也相应增加，张华所占两人年龄和的分率，也 必然发生变化，但这个分量的差量，即张华与李丽的年龄差却始终未变。可以形成下面的解题思路。 25 （岁）。这所差的 8 岁，对他们两人是固定不变的，当张华 36 岁时，李丽则是36 8 28（岁）。
