1、第七章 FIR数字滤波器的设计方法,IIR数字滤波器：,可以利用模拟滤波器设计,但相位非线性,FIR数字滤波器：,可以严格线性相位，又可任意幅度特性,因果稳定系统,可用FFT计算,但阶次比IIR滤波器要高得多,学习目标,掌握线性相位FIR数字滤波器的特点 掌握窗函数设计法 理解频率抽样设计法 了解设计FIR滤波器的最优化方法 理解IIR与FIR数字滤波器的比较,一、线性相位FIR滤波器的特点,FIR滤波器的单位冲激响应：,系统函数：,在 z 平面有N 1 个零点,在 z = 0 处是N 1 阶极点,h(n)为实序列时，其频率响应：,1、线性相位条件,即群延时 是常数,第二类线性相位：,第一类线
2、性相位：,线性相位是指 是 的线性函数,第一类线性相位：,第一类线性相位 的充要条件：,n = (N 1) /2 为h(n)的偶对称中心,第二类线性相位 的充要条件：,n = (N 1) /2 为h(n)的奇对称中心,2、线性相位FIR滤波器频率响应的特点,系统函数：,由,频率响应：,1）h(n)偶对称,为第一类线性相位,相位函数：,频率响应：,2）h(n)奇对称,相位函数：,为第二类线性相位,3、幅度函数的特点,1）h(n)偶对称，N为奇数,幅度函数：,其中：,其中：,2）h(n)偶对称，N为偶数,幅度函数：,其中：,其中：,故不能设计成高通、带阻滤波器,3）h(n)奇对称，N为奇数,幅度函
3、数：,其中：,其中：,4）h(n)奇对称，N为偶数,幅度函数：,其中：,其中：,h(n)为奇对称时，有900相移，适用于微分器和900移相器，而选频滤波器采用h(n)为偶对称时,4、零点位置,1）若 z = zi 是H(z)的零点，则 z = zi-1 也是零点,2）h(n)为实数，则零点共轭成对,线性相位滤波器的零点是互为倒数的共轭对即共轭成对且镜像成对,1）,零点：,2） ，即零点在单位圆上,零点：,3） ，即零点在实轴上,零点：,4）即零点既在实轴上，又在单位圆上,零点：,二、窗函数设计法,1、设计方法,w(n)：窗函数序列,要选择合适的形状和长度,以低通滤波器为例讨论：,线性相位理想低
4、通滤波器的频率响应：,其理想单位抽样响应：,中心点为 的偶对称无限长非因果序列,取矩形窗：,则FIR滤波器的单位抽样响应：,按第一类线性相位条件，得,加窗处理后对频率响应的影响：,时域乘积相当于频域卷积,而矩形窗的频率响应：,理想滤波器的频率响应：,其幅度函数：,则FIR滤波器的频率响应：,幅度函数：,加窗函数的影响：,不连续点处边沿加宽形成过渡带，其宽度（两肩峰之间的宽度）等于窗函数频率响应的主瓣宽度。,在 处出现肩峰值，两侧形成起伏振荡，振荡的幅度和多少取决于旁瓣的幅度和多少,改变N只能改变窗谱的主瓣宽度，但不能改变主瓣与旁瓣的相对比例。其相对比例由窗函数形状决定，称为Gibbs效应,2、
5、各种窗函数,窗函数的要求：,窗谱主瓣尽可能窄以获得较陡的过渡带,尽量减少窗谱最大旁瓣的相对幅度以减小肩峰和波纹,矩形窗,主瓣宽度最窄：,旁瓣幅度大,窗谱：,幅度函数：,三角形（Bartlett）窗,主瓣宽度宽：,旁瓣幅度较小,窗谱：,幅度函数：,汉宁（Hanning）窗（升余弦窗）,主瓣宽度宽：,旁瓣幅度小,幅度函数：,海明（Hamming）窗（改进的升余弦窗）,主瓣宽度宽：,旁瓣幅度更小,幅度函数：,布莱克曼（Blackman）窗（二阶升余弦窗）,主瓣宽度最宽：,旁瓣幅度最小,幅度函数：,凯泽（Kaiser）窗,：第一类变形零阶 贝塞尔函数,阻带最小衰减只由窗形状决定,过渡带宽则与窗形状和窗
6、宽N都有关,3、窗函数法的设计步骤,给定理想的频率响应函数及技术指标,求出理想的单位抽样响应,根据阻带衰减选择窗函数,计算频率响应 ，验算指标是否满足要求,根据过渡带宽度确定N值,求所设计的FIR滤波器的单位抽样响应,公式法：,IFFT法：,计算其IFFT，得：,对 M点等间隔抽样：,4、线性相位FIR低通滤波器的设计,2）求hd(n),4）确定N 值,3）选择窗函数：由 确定海明窗（-53dB）,5）确定FIR滤波器的h(n),6）求 ，验证,若不满足，则改变N或窗形状重新设计,5、线性相位FIR高通滤波器的设计,其单位抽样响应：,理想高通的频响：,6、线性相位FIR带通滤波器的设计,其单位
7、抽样响应：,理想带通的频响：,7、线性相位FIR带阻滤波器的设计,其单位抽样响应：,理想带阻的频响：,三、频率抽样设计法,1、设计方法,对理想频率响应等间隔抽样 作为实际FIR数字滤波器的频率特性的抽样值,内插公式：,抽样点上，频率响应严格相等,抽样点之间，加权内插函数的延伸叠加,变化越平缓，内插越接近理想值，逼近误差较小,1、线性相位的约束,1）h(n)偶对称，N为奇数,幅度偶对称：,相位函数：,2）h(n)偶对称，N为偶数,幅度奇对称：,相位函数：,2、频率抽样的两种方法,1）第一种频率抽样,系统函数：,频率响应：,2）第二种频率抽样,系统函数：,频率响应：,3、线性相位第一种频率抽样,h
8、(n)为实数序列时，H(k)圆周共轭对称,又线性相位：,即：,对称中心：,当N为奇数时：,当N为偶数时：,当N为奇数时：,当N为偶数时：,频率响应：,当N为奇数时：,当N为偶数时：,4、线性相位第二种频率抽样,h(n)为实数序列时，H(k)圆周共轭对称,又线性相位：,即：,对称中心：,当N为奇数时：,当N为偶数时：,当N为奇数时：,当N为偶数时：,频率响应：,当N为奇数时：,当N为偶数时：,增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减,5、过渡带抽样的优化设计,不加过渡抽样点：,加一点：,加两点：,加三点：,增加过渡带抽样点，可加大阻带衰减，但导致过渡带变宽,增加N，使抽样点变密，减小过渡带宽度，但增加了
9、计算量,优点：频域直接设计,缺点：抽样频率只能是 或 的整数倍， 截止频率 不能任意取值,例：利用频率抽样法设计一个频率特性为矩形的理想低通滤波器，截止频率为0.5，抽样点数为N=33，要求滤波器具有线性相位。,解：,按第一种频率抽样方式，N=33，得抽样点,得线性相位FIR滤波器的频率响应：,过渡带宽：,阻带衰减：-20dB,增加一点过渡带抽样点,令H(9)=0.5,过渡带宽：,阻带衰减：-40dB,增加两点过渡带抽样点且增加抽样点数为N=65,令H(17)=0.5886,H(18)=0.1065,过渡带宽：,阻带衰减：-60dB,四、设计FIR滤波器的最优化方法,1、均方误差最小准则,均方
10、误差：,即,相当于矩形窗,矩形窗设计结果必满足最小均方误差准则,2、最大误差最小化准则 （加权chebyshev等波纹逼近）,其频响,为偶对称时,N为奇数：,N为偶数：,N为奇数：,利用三角恒等式将 表示成两项相乘形式,为奇对称时,N为偶数：,其中：,由下而上由 求,加权chebyshev等波纹逼近：,A 各通带和阻带,交错定理：若 是r个余弦函数的线性组合。即,A是 内的一个闭区间(包括各通带、阻带，但不包括过渡带)， 是A上的一个连续函数,则 是 的唯一地和最佳的加权chebyshev逼近的充分必要条件是：,加权逼近误差函数 在A中至少有 个极值点，即A中至少有 个点 ，且,使得,且,设要
11、求滤波器频率响应：,故又称等波纹逼近,根据交错定理：,极值点数目,最优线性相位FIR滤波器的设计步骤,6）用Remez算法，求逼近问解的解,7）计算滤波器的单位抽样响应,1）输入数据，滤波器性能要求，滤波器类型,设误差函数值为，则,Remez算法,其中： ， ，,2）用解析法求,其中：,其中：,利用重心形式的拉格朗日内插公式得,4）求,5）判断是否所有频率上皆有,若是，结束计算,若否，,作为新的一组交错点组频率，返回步骤2）,误差曲线每个格点频率上,(r+1)个极值点频率处 ，且正负交错。,为最佳逼近，,则经Remez解法迭代得,加权函数及其它参数的确定：,计算滤波器的单位抽样响应,由,五、IIR和FIR数字滤波器的比较,IIR滤波器,FIR滤波器,h(n)无限长,h(n)有限长,极点位于z平面任意位置,滤波器阶次低,非线性相位,递归结构,不能用FFT计算,可用模拟滤波器设计,用于设计规格化的选频滤波器,极点固定在原点,滤波器阶次高得多,可严格的线性相位,一般采用非递归结构,可用FFT计算,设计借助于计算机,可设计各种幅频特性和相频特性的滤波器,
