1、第八章 数字滤波器 的有限字长效应,第一节 引言,一、有限字长效应,前置预 滤波器,A/D 变换器,数字信号 处理器,D/A 变换器,模拟 滤波器,模拟,Xa(t),PrF,ADC,DSP,DAC,PoF,模拟,Ya(t),完成DF设计后，接下来要实现DSP（数字信号处理）。具体实现时，字长总是有限的，因为存储器是有限字长的，所以有效字长效应有DF的有效字长效应、DFT（FFT）有效字长效应、A/D变换器的量化误差。,1.有限字长效应,有限字长意味着： 有限运算精度 有限动态范围,2.有限字长引起误差,表现在以下几个方面： （a)A/D变换的量化误差 即A/D变换器将模拟输入信号变为一组离散电
2、平时产生的量化误差。 （b)系数的量化误差 即把系统系数用有限二进制数表示时产生的量化误差。 （c)算术运算的运算误差 数字运算运程中，为限制位数而进行尾数处理，以及为防止溢出而压缩信号电平的有效字长效应。,3.有限字长效应,在量化和运算过程中，由于有限字长必然产生误差。 这些误差给数字信号处理的实现精度和滤波器稳定性带来不良影响称之。,二、研究有限字长效应目的,1.若字长（通用计算机）固定，进行误差分析，可知结果的可信度，否则若置信度差，要采取改进措施。一般情况下，由于计算机字长较长，所以可以不考虑字长的影响。 2.用专用DSP芯片实现数字信号处理时，定点与硬件采用字长有关： (1)一般采用
3、定点实现，涉及硬件采用的字长。 (2)精度确定字长。因此，必须知道为达到设计要求所需精度下必须选用的最小字长。 (3)由最小字长选用专用DSP芯片类型 由于选用不同DSP芯片，价格差很大。目前TMS320C1X,C2X,C5X,C54X,C62X,C67x等价格差异很大,第二节 数的定点制表示 及其对量化的影响,一、数字信号中数的定点表示,用专用DSP芯片实现数字信号处理时，一般采用定点二进制数补码表示方法和舍入量化方式。因此定点、补码、舍入重点分析。,1.定点数表示三种形式,（1）原码 （2）补码 （3）反码 二进制符号位：0-表示正号，1-表示负号；,例子：（1）原码,从x10=0.75和
4、x10=-0.75看看原码、补码、反码的表示方法。 解:（1）原码为 x10=0.75=(x2)原=0.110原码 x10=-0.75=(x2)原=1.110原码 通用公式：其中B0:符号位，B0=1代表负数； Bi：i=1,b,其中b代表字长位数，B1Bb代表b位字长的尾数,0. 1 1 0 0,1. 1 1 0 0,0. 2-1.2-b,1. 2-1.2-b,正数： 负数：,（2）补码和反码,补码通用公式：,x10=0.75=(x2)补=0.110=原码 x10=-0.75=(x2)补=1.010=反码+1,x10=0.75=(x2)反=0.110=原码 x10=-0.75=(x2)反=1
5、.001=除符号位外原码各位取反,2、定点表示产生误差,（1）加法：任何加法运算不会增加字长，但可能产生溢出xB1 0.1100110xB2 1.0101010xB1-xB2=1.5 11000（2）乘法：不会溢出，但字长加倍,借位 溢出,例：b=3=0.1010.0111011010.001111,成为六位数，截尾变成0.001。产生误差。,二、数的量化误差范围,量化对尾数处理产生的误差，其量化方式可分为： 1.截尾量化：即把尾数全部截断不要。 2.舍入量化：即把小于q/2的尾数舍去，把大于尾数“入”上来。 其中q=2-b,称为量化步阶，b为字长的位数。,1.截尾量化,截尾量化可分为： （1
6、）对于正数的截尾量化误差 （2）对于负数的截尾量化误差,（1）对于正数的截尾量化误差,一个信号x(n)：,由于有限字长：,看出:b1b 所以，原码和补码的截尾误差为：,发生在被截去的位数上的数都为1情况。,发生在被截去的位数上的数都为0情况。,0. 2-1 2-b 0 0 .0,b1-b,b,最小误差,0. 2-1 2-b 1 1 1,最大误差,（2）对于负数的截尾量化误差,截尾量化误差与负数表示方式有关。,负数原码表示，其截尾量化误差：,发生在被截去的位数上的数都为1情况。,发生在被截去的位数上的数都为0情况。,0. 2-1 2-b 0 0 .0,b1-b,b,最小误差,0. 2-1 2-b
7、 1 1 1,最大误差,负数补码表示，其截尾量化误差：,同样，负数截尾量化误差，最大误差=q,最小误差=0.,2、舍入量化,0. 1 0 1 0 1 0 1 0 0,b,b1,舍去：0.1010信号比原来小; 舍入：0.1011信号比原来大; 所以，最大误差为q/2,最小误差为-q/2 舍入量化误差范围为|en|q/2 对于正数和负数补码、负数的原码与负数反码的舍入误差都为：,3.结论,由于舍入误差是对称分布，截尾误差是单极性分布，所以，它们的统计特性是不相同的，一般来讲截尾误差舍入误差。 e(n)量化误差是随机变量，所以要用统计方法，统计公式去分析。,应用比舍入少些,三、量化误差的统计方法,
8、上面我们分析了量化误差的范围，但要精确地知道误差究竟是多大，几乎是不可能的。视信号具体情况而定。所以我们只要知道量化误差的平均效应即可。它可以作为设计的依据。例如：A/D变换器量化误差-决定A/D所需字长。,1、量化误差信号e(n)四个假设,为了进行统计分析，对e(n)的统计特性作以下假设： (1)e(n)是平稳随机序列 即它的统计特性不随时间变化。即 , 均与n无关。 （2）e(n)与取样序列x(n)是不相关的。即Ee(n)*x(n)=0(互相关函数=0）e(n)与输入信号是统计独立的。 (3)e(n)序列本身的任意两个值之间不相关。 即e(n)本身是白噪声序列 Ee(n)*e(n)=0(自
9、相关函数=0） (4)e(n)在误差范围内均匀分布（等概率分布的随机变量）即P(e)（概率密度）下的面积=1,2、截尾误差与舍入误差的概率密度,截尾误差：正数与负数补码截尾误差：,截尾误差：负数原码与负数反码截尾误差：,舍入误差：,P（e),e,-2-b,2b,P（e),e,2-b,2b,0,0,P（e),e,-2-b/2,2b,2-b/2,0,3、量化误差的定义,根据以上假设可知： 量化误差是：一个与信号序列完全不相关的白噪声序列，即称量化噪声。它与信号的关系是相加性的。,4、量化噪声的统计模型,理想A/D采样器,xa(t),x(n)=xa(nT),e(n),5、量化误差信号e(n)的均值m
10、e和方差,下面，分别对舍入误差及截尾误差的均值和方差进行分析。,(1)对于舍入误差,P（e),e,2b,0,-2-b/2,2-b/2,(2)对于正数及负数补码截尾误差,P（e),e,2b,0,-2-b,(3)对于负数原码及反码的截尾误差,P（e),e,2b,0,-2-b,(4)结论,从上看出：量化噪声方差与字长直接有关。 字长越长，q越小，量化噪声越小。 字长越短，q越大，量化噪声越大。,（5）信噪比,对于舍入处理：,看出：（1）信号功率 越大，信噪比越高（但受A/D变换器动态范围的限制。（2）随着字长b增加，信噪比增大，字长每增加1位，则信噪比增加约6dB.(3)最小信噪比：S/N=10.7
11、9+6.02b,例子,在Modem中，语音和音乐可视为一随机过程，因此可用概率分布来表示这些信号。它们幅值在零附近，概率分布有一峰值，且随幅度加大分布曲线急剧下降。当抽样信号幅度信号均方根值的34倍时，P(e)-0,则如对信号进行压缩为Ax(n),并令 , 则一般不会出现限幅失真。若需要信噪比70dB,至少需要多少位modem.,P(e),e,6.量化噪声通过线性系统,h(n)或H(z),求：量化噪声通过线性系统后： 1.系统输出 2输出噪声 3输出噪声均值 4输出噪声方差,（1）对于舍入噪声,分析前题：（1）系统完全理想，无限精度的线性系统。 （2）e(n)舍入噪声，均值=0 （3）线性相加
12、（加性噪声）-到输出端,输出噪声方差求解,（2）对于截尾噪声,分析前题：（1）系统完全理想，无限精度的线性系统。 （2）e(n)截尾噪声， （3）线性相加（加性噪声）-到输出端,第三节 数字滤波器的系数量化误差,一、系数量化误差,DF的系统函数： 理想设计ak,bk 是无限精度 实际实现时，ak,bk放在存贮单元内，必须要对ak,bk进行量化（截尾或舍入），造成DF（零点、极点）位置偏移，影响DF性能，使实际设计出DF与原设计有所不同。严重时，极点跑到单位园外，导致系统不稳定，滤波器不能从使用，这就是系数量化效应。,二、研究滤波器系数量化误差目的,选择合适的字长，以满足频率响应指标的要求，保持
13、DF的稳定性及系统的灵敏度。,例子,设H(z)=0.0373z/(z2-1.7z+0.745)，求维持系统稳定性系数需要最小字长.(设滤波器作舍入处理） 解：求系统稳定性是求分母=0，求出极点，且极点1. 若量化,设此时极点都在单位园上，则z=1代入：则量化误差：,三、IIR DF系数量化的统计分析,系数无限精度：系数量化后：,系数量化误差: 系数量化后，偏差DF的输出：,看出系数量化后，实际：,H(z),HE(z),2.系数量化造成频响偏差（舍入）,四、FIR DF 系数量化统计分析,由于线性相位FIR DF，有四种滤波器（h(n)=奇、偶；N=奇、偶）,为系数量化后单位冲激响应,第四节 D
14、F定点运算中的 有限字长效应,一、分析前题,设DF：在定点运算，舍入运算情况下分析相关误差。 即：IIR DF中： (1)存在反馈环，由舍入处理在一定条件下引起非线性振荡。 （2）分析舍入噪声（用统计方法） FIR DF中 （1）不存在非线性振荡（除频率采样型结构）。（因为无反馈） （2）直接用统计方法分析,二、IIR DF中的零输入极限环振荡,什么是零输入极限环振荡？ 因为IIR DF有一反馈，在一定条件下就可能发生振荡。当将输入信号去掉后，由于舍入引入的非线性作用，输出端会停留在某一数值上，或在一数值间振荡，这种现象称为“零输入极限环振荡”。,例子,输入x(n)=0.87(n),系统差分方
15、程：y(n)=0.5y(n-1)+x(n) 起始条件：n,limy(n)=0. 当做系数舍入量化： 起始条件n0,2.极限环现象的利弊,在许多实际问题中，要尽量克服极限环现象。 例：在通讯中，极限环现象会在空截线路中产生不需要的信号。但有趣的是：可以利用极限环现象，设计周期性信号发生器，产生各种序列振荡器。,二、IIR DF定点运算中有效字长效应的统计分析 （1）分析前题,对e(n)进行四个假设： （1）所有噪声（量化误差）都是平衡随机序列。 （2）量化噪声与信号不相关，且各噪声之间也不相关。 (3)噪声是白色的，Ee(n)*e(n)=0 (4)每个噪声都均匀等概率分布。,2.例子,一个二阶I
16、IR DF 低通，采用定点算法尾数舍入处理，分别计算：直接型，级联型，并联型三种结构的舍入误差。其系统函数：,(1)直接型,1.7,-0.72,x(n),e1(n),e2(n),Z-1,Z-1,y(n)+ef(n),e0(n),其中，e0(n),e1(n),e2(n)分别为系数0.04，1.7，-0.72相乘后的舍入噪声。,输出噪声ef(n)是由这三个噪声通过H(z)=1/B(z)网络形成的。 ef(n)=(e0(n)+e1(n)+e2(n)*h0(n),(2)级联型,0.9,0.04,x(n),e1(n),e2(n),Z-1,Z-1,y(n)+ef(n),e0(n),0.8,(3)并联型,0.9,0.04,x(n),e1(n),e2(n),Z-1,Z-1,y(n)+ef(n),e0(n),0.8,e4(n),0.36,-0.32,三、FIR DF的运算中有限字长效应,我们讨论横截型FIR DF： FIR DF系统函数： 在无限精度下： 在量化误差（有限字长）下：每次相乘以后产生一个舍入噪声，有N个相乘即有N个误差。,四、结论,从上看出： (1)输出噪声不经过系统，所以与系统的参数无关。 (2)输出噪声方差与字长b(q=2-b)有关。 (3)输出噪声方差与阶数N（单位冲激响应长度）有关。阶数越高，FIR DF运算误差越大；在相同精度下，N增加，则q下降，则b字长越长。,例子,
