1、注册公用设备工程师暖通空调基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 10 及答案与解析一、单项选择题1 2010 年第 4 题 求极限 时，下列各种解法中正确的是( )。（A）用洛必达法则后，求得极限为 0（B）因为 不存在，所以上述极限不存在（C）原式 = =0（D）因为不能用洛必达法则，故极限不存在2 2011 年第 3 题 当 x0 时，3 x 一 1 是 x 的( ) 。（A）高阶无穷小（B）低阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小3 2012 年第 2 题 设 (x)=1 一 cosx，(x)=2x 2，则当 x0 时，下列结论中正确的是( )。（A）(x)与 (x)是等价无穷
2、小（B） (x)与 (x)的高阶无穷小（C） (x)与 (x)低阶无穷小（D）(x)与 (x)是同阶无穷小但不是等价无穷小4 2013 年第 2 题 若 =1，则必有( )。（A）a= 1， b=2（B） a=一 1，b=2（C） a=1，b=1（D）a=1 ，b=15 2014 年第 1 题 若 =2，则常数 k 等于( )。（A）一 ln 2（B） ln 2（C） 1（D）26 2014 年第 7 题 设 an=(1+ )n，则数列a n是( )。（A）单调增而无上界（B）单调增而有上界（C）单调减而无下界（D）单调减而有上界7 2005 年第 6 题 设函数 f(x)= ，若 f(x)在
3、 x=0 连续，则 a 的值是( )。（A）0（B） 1（C）一 1（D）8 2009 年第 4 题 若函数 f(x)在点 x0 间断，g(x)在点 x0 连续，则 f(x)g(x)在点 x0( )。（A）间断（B）连续（C）第一类间断（D）可能间断可能连续9 2010 年第 5 题 下列命题正确的是( ) 。（A）分段函数必存在间断点（B）单调有界函数无第二类间断点（C）在开区间连续，则在该区间必取得最大值和最小值（D）在闭区间上有间断点的函数一定有界10 2011 年第 4 题 函数 f(x)= 可去间断点的个数为( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）无穷多个11 2012 年第 1
4、题 设 f(x)= ，则 x=0 是 f(x)的下面哪一种情况? ( )（A）跳跃间断点（B）可去间断点（C）第二类间断点（D）连续点12 2014 年第 3 题 点 x=0 是 y=arctan 的( )。（A）可去间断点跳跃间断点（B）跳跃间断点（C）连续点（D）第二类间断点13 2016 年第 5 题f(x)在点 x0 处的左、右极限存在且相等是 f(x)在点 x0 处连续的( )。（A）必要非充分的条件（B）充分非必要的条件（C）充分且必要的条（D）既非充分又非必要的条件14 2005 年第 6 题 设函数 f(x)= ，若 f(x)在 x=0 可导，则 a 的值是( )。（A）1（B
5、） 2（C） 0（D）一 115 2006 年第 5 题 函数 y= 在点 x 的导数是( )。16 2007 年第 5 题 函数 y= 在 x 处的微分是( )。17 2008 年第 5 题 函数 y=sin2 是( )。18 2008 年第 6 题 已知 f(x)是二阶可导的函数，y=e 2f(x)，则 为( )。（A）e 2f(x)（B） e2f(x)f“(x)（C） e2f(x)(2f(x)（D）2e 2f(x)2(f(x)2+f“(x)19 2009 年第 5 题 函数 y=cos2 是 ( )。20 2010 年第 6 题 设函数 f(x)= 可导，则必有( )。（A）a=1 ，b
6、=2（B） a=一 1，b=2（C） a=1，b=0（D）a= 一 1，b=021 2011 年第 5 题 若函数 f(x)在点 x0 可导，g(x)在点 x0 不可导，则 f(x)g(x)在点 x0处( )。（A）可能可导，也可能不可导（B）不可导（C）可导（D）连续22 2012 年第 3 题 设 y=ln(cosx)，则微分 dy 等于( )。（A）（B） cotxdx（C）一 tanxdx（D）23 2013 年第 3 题 已知 =( )。（A）一 tant（B） tant（C）一 sint（D）cott24 2013 年第 6 题 设函数 f(x)= ，则 f(x)在点 x=1 处(
7、 )。（A）不连续（B）连续但左、右导数不存在（C）连续但不可导（D）可导25 2014 年第 5 题 等于( ) 。26 2016 年第 2 题 已知 等于( )。（A）1（B）一 1（C） 2（D）027 2006 年第 7 题 设函数 f(x)在(一，+)上是奇函数，且在(0，+)内有 f(x)0，f“(x)0，则在(一，0)内必有( )。（A）f(x)0，f(x)0（B） f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f“(x)0（D）f(x)0，f“(x)028 2007 年第 7 题 函数 y=f(x)在点 x=x0 处取得极小值，则必有( )。（A）f(x 0)=0（B） f“(x0
8、)0（C） f(x0)=0 且 f“(x0)0（D）f(x 0)=0 或导数不存在29 2007 年第 8 题 对于曲线 y= x3，下列各性态不正确的是( )。（A）有 3 个极值点（B）有 3 个拐点（C）有 2 个极值点（D）对称原点30 2008 年第 7 题 函数 y=x3 一 6x 上切线平行于 x 轴的点是( )。（A）(0 ，0)（B） ( ，1)（C）（D）(1 ，2)和(一 1，2)31 2008 年第 8 题 设函数 f(x)在(一，+)上是偶函数，且在(0，+)内有 f(x)0，f“(x)0，则在(一，0)内必有( )。（A）f(x)0，f“(x)0（B） f(x)0，
9、f“(x)0（C） f(x)0，f“(x)0（D）f(x)0，f“(x)0注册公用设备工程师暖通空调基础考试上午（数学）历年真题试卷汇编 10 答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 =0(无穷小与有界量的乘积 )，而，当 x0时极限不存在，故不能用洛必达法则，但求导后极限不存在，不能得出原极限不存在，所以选项 A 和 D 都不对；又 =1，B 选项错，应选 C。【知识模块】 数学2 【正确答案】 D【试题解析】 =ln3，故 3x 一 1 是 x 的同阶但非等价无穷小，应选 D。【知识模块】 数学3 【正确答案】 D【试题解析】 因 ，故 (x)与 (x)是同阶无穷小
10、但不是等价无穷小，应选 D。【知识模块】 数学4 【正确答案】 C【试题解析】 当 x1 时分母的极限为零，又因为这个商式的极限存在，分子的极限必为零，故 (2x2+似+b)=0，得 a+b=一 2，所以 a=一 1，b=一 1，应选 C。【知识模块】 数学5 【正确答案】 A【试题解析】 由 =e-k=2，得 k=一 ln 2，应选 A。【知识模块】 数学6 【正确答案】 B【试题解析】 利用二项式公式比较 an、 an+1 的展开式，可以看到除前两项外，a n 的每一项都小于 an+1 的对应项，并且 an+1 还多了值大于零的最后一项，因此 ana n+1；又有故数列a n单调增加且有上
11、界，应选 B。【知识模块】 数学7 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)在 x=0 处连续，则在该点左右极限存在且相等，并等于 f(0)=1+a，由于 (e-2x+a)=1+a，由1+a=1a=0，应选 A。【知识模块】 数学8 【正确答案】 D【试题解析】 可通过举例说明，例如取 x0=0，f(x)= ，g(x)=0 ，f(x)在 x0 间断，g(x)连续， f(x)g(x)=g(x)在 x0 连续；取 x0=0，f(x)= ，g(x)=1，f(x)在 x0间断，g(x)连续， f(x)g(x)=f(x)在 x0 间断，故 f(x)g(x)在点 x0 可能间断可能连续，应选 D。【知识模块
12、】 数学9 【正确答案】 B【试题解析】 第二类间断点包括无穷间断点和振荡间断点，有界函数不可能有无穷间断点，单调函数不可能有振荡间断点，故单调有界函数无第二类间断点。分段函数可以不存在间断点，闭区间上连续的函数在该区间必取得最大值和最小值，在闭区间上连续的函数一定有界，故其他三个选项都是错误的，应选 B。【知识模块】 数学10 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)有无穷多个间断点 x=0，1 ，2，=(k=1，2，)，故 f(x)有两个可去间断点，应选 B。【知识模块】 数学11 【正确答案】 D【试题解析】 (x2+1)=1，左右极限存在且都等于函数值，故 X=0 是 f(x)的连
13、续点，应选 D。【知识模块】 数学12 【正确答案】 B【试题解析】 ，左右极限存在但不相等，故 x=0是 y=arctan 的跳跃间断点，应选 B。【知识模块】 数学13 【正确答案】 A【试题解析】 由 f(x)在点 x0 处连续，能得出 f(x)在点 x0 处的左、右极限存在且相等，但仅由 f(x)在点 x0 处的左、右极限存在且相等，不能得到 f(x)在点 x0 处连续，应选 A。【知识模块】 数学14 【正确答案】 D【试题解析】 分段函数在交接点处要考虑左右导数，只有当左右导数都存在且相等才在这点可导，因为 f-(0)=a，所以 a=一 1，应选D。【知识模块】 数学15 【正确答
14、案】 A【试题解析】 利用两个函数乘积求导公式以及复合函数求导法则，有 y=，应选 A。【知识模块】 数学16 【正确答案】 A【试题解析】 首先 dy=ydx，再利用两个函数商的求导公式以及复合函数求导法则，有 dy= ，应选 A。【知识模块】 数学17 【正确答案】 C【试题解析】 由复合函数求导规则，以及 2sin xcos x=sin 2x，有，应选 C。【知识模块】 数学18 【正确答案】 D【试题解析】 =e2f(x)(2f(x)(2f(x)+e2f(x)(2f“(x)=2e2f(x)2(f(x)2+f“(x，应选 D。【知识模块】 数学19 【正确答案】 C【试题解析】 由复合函
15、数求导规则， ，应选C。【知识模块】 数学20 【正确答案】 B【试题解析】 显然函数 f(x)在除 x=1 点外处处可导，只要讨论 x=1 点则可。由于f(x)在 x=1 连续， f(1+0)=f(1 一 0)a+b=1，f -(1)=a，所以 a=一 1，b=2 时，f(x)在 x=1 可导，应选 B。【知识模块】 数学21 【正确答案】 A【试题解析】 可举例说明，取 f(x)=1，g(x)=x，x 0=0，则 f(x)在点 x0 可导，g(x)在点 x0 不可导，而 f(x)g(x)=g(x)在点 x0 不可导；取 f(x)=x，g(x)=x， x0=0，则 f(x)在点 x0 可导，
16、g(x)在点 x0 不可导，而 f(x)g(x)=xx在点x0 可导，应选 A。【知识模块】 数学22 【正确答案】 C【试题解析】 dy=f(x)dx= (sinx)dx=tanxdx，应选 C。【知识模块】 数学23 【正确答案】 A【试题解析】 =一 tant，应选 A。【知识模块】 数学24 【正确答案】 C【试题解析】 由 (4x1)=3，知 f(x)在 x=1 连续，再由 f-(1)= =4，知 f(x)在 x=1左、右导数存在但不相等，应选 C。【知识模块】 数学25 【正确答案】 B【试题解析】 令 t=，应选 B。【知识模块】 数学26 【正确答案】 C【试题解析】 =2，应
17、选 C。【知识模块】 数学27 【正确答案】 B【试题解析】 该题有两种解法，利用奇函数图形关于原点对称，偶函数图形关于y 轴对称。方法一：当 f(x)在(一，+) 上一阶和二阶导数存在时，若 f(x)在(一 ，+) 上是奇函数，则 f(x)在(一，+)上是偶函数，且 f“(x)在(一 ，+) 上是奇函数；再由在(0， +)内有 f(x)0，f“(x)0，利用上述对称性，故在(一，0)内必有 f(x)0，f“(x)0，应选 B。方法二：函数 f(x)在(一 ，+) 上是奇函数，其图形关于原点对称，由于在(0，+) 内有 f(x)0，f“(x)0，f(x)单调减少，其图形为凹的；故在(一，0)内
18、，f(x)应单调减少，且图形为凸的，所以有 f(x)0，f“(x) 。【知识模块】 数学28 【正确答案】 D【试题解析】 f(x 0)=0 的点 x=x0 是驻点，并不一定是极值点；f(x 0)=0 且 f“(x0)0是 y=f(x)在点 x=x0 处取得极小值的充分条件，但不是必要的，故选项 A、B 、C 都不正确；极值点必从驻点或导数不存在点取得，应选 D。【知识模块】 数学29 【正确答案】 A【试题解析】 函数 y= x3 在(一，+) 处处可导，由 y=x2(x21)=0，求得三个驻点 x=1，x=0，在 x=1 的两侧邻近一阶导数符号发生变化，故 x=1 是极值点，而在 x=0
19、两侧邻近一阶导数符号没发生变化，故 x=0 不是极值点，因而曲线 y= x3 有两个极值点，A 选项是错的。再由 y“=2x(2x2 一 1)=0，解得x=0，x= ，经判别这三个点都是拐点的横坐标，故有 3 个拐点，B 选项正确；函数 y= x3 是奇函数，曲线关于原点对称，D 选项也正确，应选 A。【知识模块】 数学30 【正确答案】 C【试题解析】 由于导数 f(x0)表曲线 y=f(x)在点(x 0，f(x 0)处切线的斜率，故要求切线平行于 x 轴的点即是求导数为零的点，由 y=3x2 一 6=0x= ，代入 y=x3 一6x，得 y= ，应选 C。【知识模块】 数学31 【正确答案】 B【试题解析】 函数 f(x)在( 一，+) 上是偶函数，其图形关于 y 对称，由于在(0，+) 内有 f(x)0，f“(x)0，f(x)单调增加，其图形为凹的；故在(一，0)内，f(x)应单调减少，且图形仍为凹的，所以有 f(x)0，f“(x)0，应选 B。【知识模块】 数学
