1、注册结构工程师（一级基础考试-上午-数学）模拟试卷 6 及答案与解析1 设平面曲线 其所围成的区域分别记为 D 和D1，则有( ) 。（A）（B）（C）（D）2 曲线 r=aeb(a0，b0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为( )。（A）（B）（C）（D）3 双纽线(x 2+y2)2=x2 一 y2 所围成的区域面积可用定积分表示为( )。（A）（B）（C）（D）4 设函数 f(x)连续，由曲线 y=f(x)在 x 轴围成的三块面积为 S1、S 2、S 3(S1、S 2、S 3均大于 0)，如图 133 所示，已知 S2+S3=p，S 1=2S2 一 q，且 pq，则 。等于( )。（A）p
2、g（B） gp（C） p+q（D）2(p q)5 设 则方程 f(x)=1 在(1，+)内的实根个数必为( )。（A）0（B） 1（C） 2（D）36 设 可导，且 f(x)0，则( )。（A）F(0)是极大值（B） F(0)是极小值（C） F(0)不是极值，但(0，F(0)是曲线 F(x)的拐点坐标（D）F(0)不是极值，(0，F(0)也不是曲线 F(x)的拐点坐标7 设 则数列a n是( )。2014 年真题（A）单调增而无上界（B）单调增而有上界（C）单调减而无下界（D）单调减而有上界8 正项级数 的部分和数列 有上界是该级数收敛的( )。2013年真题（A）充分必要条件（B）充分条件而
3、非必要条件（C）必要条件而非充分条件（D）既非充分而又非必要条件9 级数 ( )。2014 年真题（A）当 1p2 时条件收敛（B）当 p2 时条件收敛（C）当 p1 时条件收敛（D）当 p1 时条件收敛10 下列级数中，条件收敛的是( )。2012 年真题（A）（B）（C）（D）11 若级数 收敛，则下列级数中不收敛的是( )。2011 年真题（A）（B）（C）（D）12 级数 的收敛性是( )。2008 年真题（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）等比级数收敛（D）发散13 级数 的收敛域是( )。2014 年真题（A）(一 1，1)（B） 一 1，1（C） 一 1，0)（D）(一 1，0)1
4、4 下列幂级数中，收敛半径 R=3 的幂级数是( )。201 3 年真题（A）（B）（C）（D）15 设幂级数 的收敛半径为 2，则幂级数 的收敛区间是( )。2011 年真题 （A）(一 2，2)（B） (一 2，4)（C） (0，4)（D）(一 4，0)16 幂级数 的收敛域是( )。2010 年真题（A）一 2，4)（B） (一 2，4)（C） (一 1，1)（D）17 当 的麦克劳林展开式正确的是( )。2012 年真题（A）（B）（C）（D）18 下列各级数中发散的是( )。2010 年真题（A）（B）（C）（D）19 已知级数 等于( )。（A）3（B） 7（C） 8（D）920
5、设常数 0，且级数 ( )。（A）发散（B）条件收敛（C）绝对收敛（D）收敛性与 有关21 设 则下列级数中肯定收敛的是( )。（A）（B）（C）（D）22 已知级数 均收敛，则 p 的取值范围是( )。（A）p2（B） p2（C） p0（D）0p223 函数 ex 展开成为 x 一 1 的幂级数是( ) 。（A）（B）（C）（D）24 函数 展开成(x 一 2)的幂级数是( ) 。（A）（B）（C）（D）25 若 的收敛域是(一 8，8，则 的收敛半径及 的收敛域分别是( ) 。（A）8，(一 2，2（B） 8， 一 2，2（C）不定，(一 2，2（D）8，一 2，2)26 已知 的收敛半径
6、 R=1，则 的收敛域为( )。（A）(一 1，1)（B） 一 1，1)（C） (一 1，1（D）(一， +)27 若级数 在 x0 时发散，在 x=0 时收敛，则常数 a=( )。（A）1（B）一 1（C） 2（D）一 228 设 则 f(x)在 x=0 时的 6 阶导数 f(6)(0)是( )。（A）不存在（B）（C）（D）29 设 为常数，则级数 ( )。（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性与 的取值有关30 设其中 an= 等于( )。（A）（B）（C）（D）注册结构工程师（一级基础考试-上午-数学）模拟试卷 6 答案与解析1 【正确答案】 A【试题解析】 由对称性知【知
7、识模块】 高等数学2 【正确答案】 A【试题解析】 利用极坐标方程表示曲线的弧长公式，有：【知识模块】 高等数学3 【正确答案】 A【试题解析】 双纽线(x 2+y2)2=x2 一 y2 所围成的图形是关于 y 轴对称的，因此所求面积 S 为 x0部分图形面积 S1 的两倍。对于 x0部分双纽线的极坐标方程是：【知识模块】 高等数学4 【正确答案】 B【试题解析】 由定积分几何意义得： 又S2+S3=p，S 1=2S2 一 q，则 S 1 一 S2+S3=pq，即【知识模块】 高等数学5 【正确答案】 B【试题解析】 故 f(x)单调增加且连续，f(1)=0 且故 x 充分大后 f(x)会大于
8、任何数，因此方程 f(x)=1 必有一个实根。【知识模块】 高等数学6 【正确答案】 C【试题解析】 F(x)=f(x)+xf(x)一 f(x)=xf(x)。F(0)=0。又由 f(x)0，当 x0 时，F(x)0；当 x0 时，F(x) 0；因此 (0，F(0)是曲线的拐点。由 F(x)的符号可得：当 x0 时 F(x)单调递减，因此 F(x)F(0)=0；当 x0 时 F(x)单调递增，因此 F(x)F(0)=0，从而推得 F(x)在(一，+)单调增加，F(0)不是极值点。【知识模块】 高等数学7 【正确答案】 B【试题解析】 故数列a n单调增且有上界。【知识模块】 高等数学8 【正确答
9、案】 A【试题解析】 正项级数的部分和 Sn 构成一个单调增加(或不减少)的数列S n。由极限存在准则可知，正项级数收敛的充要条件是其部分和数列S n有上界。【知识模块】 高等数学9 【正确答案】 A【试题解析】 设 条件收敛，即a n发散，a n 收敛。已知 发散，故 0p-11。所以当 1p2 时，级数条件收敛。【知识模块】 高等数学10 【正确答案】 A【试题解析】 因 条件收敛，应选 A 项。而 绝对收敛， 的一般项不趋近于零，发散。【知识模块】 高等数学11 【正确答案】 D【试题解析】 因为级数不收敛。【知识模块】 高等数学12 【正确答案】 B【试题解析】 由莱布尼茨判别法，知
10、的绝对值为调和级数，发散，故条件收敛。【知识模块】 高等数学13 【正确答案】 C【试题解析】 采用排除法求解。当 x=0 时，原级数可化为 级数是发散的，排除 AB 两项；当 x=-1 时，代入可知级数是交错级数，收敛。【知识模块】 高等数学14 【正确答案】 D【试题解析】 幂级数收敛半径 则：【知识模块】 高等数学15 【正确答案】 C【试题解析】 由于幂级数的收敛半径为 2，故因此需满足其收敛区间是(0，4)。【知识模块】 高等数学16 【正确答案】 A【试题解析】 设 所以收敛半径R=3，一 3x 一 13，即一 2x4。当 x=一 2 时，幂级数为 收敛；当 x=4 时，幂级数为
11、为调和级数，发散；故幂级数的收敛域为一 2，4) 。【知识模块】 高等数学17 【正确答案】 D【试题解析】 因为 故【知识模块】 高等数学18 【正确答案】 A【试题解析】 设而发散。根据交错级数判别法，可以判定 BD 两项收敛；C 项是正项级数，根据根值判别法可以判定 C 项也是收敛的。【知识模块】 高等数学19 【正确答案】 C【试题解析】 设法将 表示即可。【知识模块】 高等数学20 【正确答案】 C【试题解析】 注意利用不等式 因为由题设绝对收敛。【知识模块】 高等数学21 【正确答案】 D【试题解析】 由 收敛及正项级数的比较判别法知，级数 绝对收敛。【知识模块】 高等数学22 【
12、正确答案】 D【试题解析】 若 均收敛，则同时有 p-20 且 p0，综合得 0p 2。【知识模块】 高等数学23 【正确答案】 B【试题解析】 e x 在实数范围内有直到 n+1 阶的导数，利用泰勒公式展开如下：【知识模块】 高等数学24 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)在 x=x0 的泰勒级数展开式为 从而【知识模块】 高等数学25 【正确答案】 A【试题解析】 由 的收敛域是(一 8，8可知，幂级数 的收敛半径是8，从而幂级数 的收敛半径也是 8，又因幂级数 是幂级数一两次逐项求导所得，由幂级数的分析性质，幂级数 的收敛半径是 8，对于 有收敛域一 838，即一 2x2。【知识模块
13、】 高等数学26 【正确答案】 D【试题解析】 任取 x0(一 1，1) ，设 从而存在一个M0，使得【知识模块】 高等数学27 【正确答案】 B【试题解析】 由已知，若 x=0 时收敛，则必有a1。又 a=1 且 x=0 时，原级数 发散；仅当 a=一 1 且 x=0 时，原级数收敛，故选 B 项。【知识模块】 高等数学28 【正确答案】 D【试题解析】 由于 所以令 n=6，由函数展开式的惟一性：【知识模块】 高等数学29 【正确答案】 C【试题解析】 因级数收敛；又显然 必发散。【知识模块】 高等数学30 【正确答案】 C【试题解析】 由题设知，应先将 f(x)从0 ，1)作偶延拓，使之成为区间 一 1，1 上的偶函数然后再作周期(周期为 2)延拓，进一步展开为傅里叶级数，根据收敛定理有：【知识模块】 高等数学
