1、UNION INTERNATIONALE DES TLCOMMUNICATIONS5)4 4 E.507SECTEUR DE LA NORMALISATIONDES TLCOMMUNICATIONSDE LUIT2 3%!5 4 , 0(/.)15% %4 2.)315!,)4 $% 3%26)#% %34)/. $5 2 3%!5%4 ). .)%2)% $5 42!Fk, pour k = 1, . p sont les paramtres dautorgression.On utilise la notation AR(p) pour le modle puisquil est dord
2、re p.Une analyse rgression permet destimer les paramtres. Par suite de tendances communes, on constate engnral une forte corrlation entre les variables exognes (Xt-1, Xt-2, . Xt-p) et, partant, les estimations des paramtresseront en corrlation. De plus, il est assez difficile de soumettre les estima
3、tions des tests dimportance mathmatique.On peut encore calculer les coefficients dautocorrlation empirique et utiliser ensuite les quations deYule-Walker pour faire une estimation des paramtres Fk. Cette procdure peut tre applique lorsque les srieschronologiques Xt sont stationnaires. Par contre, si
4、 les sries chronologiques ne sont pas stationnaires, on peut souventles transformer en sries stationnaires, par exemple en les diffrenciant. La procdure destimation est dcrite au A.1.3.4 Modles autorgression moyenne glissante intgre (ARIMA)Les modles autorgression moyenne glissante appels modles ARI
5、MA, constituent une extension de laclasse des modles autorgression, laquelle comprend galement les modles moyenne glissante. Un modle moyenne glissante dordre q est dfini par la formule:Xa a a att t t qtq=- - - -qq q11 2 2.(3-8)oatest le bruit blanc linstant t; qk sont les paramtres de moyenne gliss
6、ante.En supposant que lon peut exprimer le terme de bruit blanc utilis dans les modles autorgression du 3.3avec un modle moyenne glissante, on obtient un modle appel modle ARIMA (p, q) et dfini comme suit:XX X Xaa a att t ptptt t qtq=+ + +- - - - -FF F11 2 2 11 22. .qq q(3-9)Le modle ARIMA dcrit une
7、 srie chronologique stationnaire. Si la srie chronologique nest pas stationnaire, ilfaut distinguer les sries, comme suit:Si Ytest la srie chronologique et B loprateur dcalage vers larrire on obtient:XBYtdt=-()1 (3-10)od reprsente le nombre de diffrences pour obtenir le caractre stationnaire.On obti
8、ent le nouveau modle ARIMA (p, d, q) en insrant lquation (3-10) dans lquation (3-9).Fascicule II.3 - Rec. E.507 5La mthode utilise pour analyser de telles sries chronologiques a t mise au point par MM. G. E. P. Box etG. M. Jenkins 3. Pour analyser et prvoir lesdites sries chronologiques, il faut en
9、gnral faire appel un ensemble deprogrammes sries chronologiques.Comme le montre la figure 1/E.507, on procde lidentification dun modle provisoire en dterminant lestransformations ncessaires ainsi quun certain nombre de paramtres dautorgression et de moyenne glissante.Lidentification dcoule de la str
10、ucture des autocorrlations et des autocorrlations partielles.Ltape suivante, conformment la figure 1/E.507, est celle de la procdure destimation par la mthode dumaximum de vraisemblance. Malheureusement, les rsultats sont difficiles obtenir avec cette mthode parce quil fautrsoudre un systme dquation
11、s non linaire. Dans la pratique, les calculs de ce type doivent tre effectus laide dunprogramme informatique. Le modle de prvision est fond sur lquation (3-9) et le procd consistant faire desprvisions l units de temps lavance est dcrit au A.2.Les modles de prvision dcrits jusquici sont des modles va
12、riable unique. On peut galement faire intervenirdes variables explicatives. Dans ce cas, le systme sera dcrit par un modle fonction de transfert. Les mthodesutilises pour lanalyse des sries chronologiques dans un tel modle sont assez identiques aux mthodes dcrites plushaut.On trouvera une descriptio
13、n dtaille des modles ARIMA en 1, 2, 3, 5, 11, 15 et 17.3.5 Modles spatiaux dtat avec filtrage de KalmanLes modles spatiaux dtat sont un moyen de reprsenter des processus discrets en temps laide dquations auxdiffrences. Ce type de modlisation permet de convertir un modle linaire gnral quelconque en u
14、ne forme appropriepour lestimation et la prvision rcursives. On trouvera une description plus dtaille des modles spatiaux dtatARIMA en 1.Pour un processus stochastique, la reprsentation peut prendre la forme suivante:XXZtttt+=+1Fw (3-11)etYHXvttt=+ (3-12)oXtest un vecteur s de variables dtat au cour
15、s de la priode t,Ztest un vecteur s dvnements dterministes,F est une matrice de transition s s pouvant en gnral dpendre de t,wtest un vecteur s derreurs de modlisation alatoires,Ytest un vecteur d de mesures au cours de la priode t,H est une matrice d s appele matrice dobservation, etvtest un vecteu
16、r d derreurs de mesure.Aussi bien wtdans la formule (3-11) et que vtdans la formule (3-12) sont des squences alatoires additives avecstatistiques connues. La valeur prvue de chaque squence est le vecteur zro, et wtainsi que vtrpondent aux conditionssuivantes:EQtjTttjww d= pour toutes les valeurs de
17、t, j,(3-13)Evv RtjTttj=d pour toutes les valeurs de t, j6 Fascicule II.3 - Rec. E.507oQtet Rtsont des matrices dfinies non ngatives,2)etdtjest le delta de Kronecker.Qtest la matrice de covariance des erreurs de modlisation et Rtest la matrice de covariance des erreurs demesure; on suppose que les va
18、leurs de wtet vtne sont pas corrles et quelles sont assimiles un bruit blanc. Endautres termes:EvtjTw=0 pour toutes les valeurs de t, j, (3-14)etEvXtT00= pour toutes les valeurs de t. (3-15)Sur la base des hypothses prcdentes, on dtermine Xt,tde telle sorte que:EX X X Xtt tTtt t()(),-=minimum, (3-16
19、)oXt,test une estimation du vecteur dtat linstant t, etXtest le vecteur des vraies variables dtat.La technique de filtrage de Kalman permet dvaluer les variables dtat de manire rcursive pour desapplications en ligne. On procde comme suit: en supposant quil ny a pas de variable explicative Zt, chaque
20、 nouveaupoint de donnes devenant disponible est utilis pour actualiser le modle:XX KYHXtt tt t t tt, ,()=+-11(3-17)oKtest la matrice de gain de Kalman, qui peut tre calcule de manire rcursive 18.Intuitivement, la matrice de gain dtermine le poids relatif qui sera donn la dernire erreur de prvisionob
21、serve pour compenser cette erreur. Afin dtablir une prvision dintervalle danticipation k, on utilise la formulesuivante:XXtktktt+=,F (3-18)dans laquelleXt+k,test une estimation de Xt+kobservations donnes Y1, Y2., Yt.2)A est une matrice dfinie non ngative si, et seulement si, pour tous les vecteurs z
22、, zTAz 0.Fascicule II.3 - Rec. E.507 7Les formules (3-17) et (3-18) montrent que la technique de filtrage de Kalman aboutit une procdure deprvision commode de nature rcursive et quelle permet dobtenir des estimations sans distorsion de variance minimumpour le processus discret en temps qui est consi
23、dr.On trouvera des dtails supplmentaires dans 4, 5, 16, 18, 19 et 22.Le filtrage de Kalman fonctionne bien lorsque les donnes examines sont saisonnires. Les donnes relatives la charge de trafic saisonnire peuvent tre reprsentes par une srie chronologique priodique. Ainsi, on peut obtenirun filtre de
24、 Kalman saisonnier en superposant un modle de croissance linaire et un modle saisonnier.On trouvera une description plus dtaille des techniques de filtrage de Kalman saisonnier dans 6 et 20.3.6 Modles rgressionLes formules (3-1) et (3-2) reprsentent des modles rgression typiques o le trafic Ytest la
25、 variabledpendante (ou explicative) et le temps t la variable indpendante.Un modle rgression dcrit une relation linaire entre la variable dpendante et la variable indpendante. Surla base de certaines hypothses, on peut utiliser la mthode des moindres carrs ordinaires pour valuer les paramtres.Un mod
26、le comportant plusieurs variables indpendantes est appel modle rgression multiple. Il sexprimeainsi:YXX Xutttkkt t=+ + + +bb b b011 22.(3-19)oYtest le trafic linstant t,bi, i = 0, 1, ., k sont les paramtres,Xit, ie= 1, 2, ., k est la valeur des variables indpendantes linstant tutest le terme derreur
27、 linstant t.Les variables indpendantes ou explicatives susceptibles dtre utilises dans le modle rgression reprsententpar exemple la tarification, lexportation et limportation ou un degr dautomatisation. Dautres variables explicativessont cites dans le 2 (“Donnes de base pour les prvisions”) de la Re
28、commandation E.506.On trouvera une description dtaille des modles rgression en 1, 5, 7, 15 et 23.3.7 Modles conomtriquesLes modles conomtriques utilisent des quations tablissant un rapport entre une variable devant tre prvue(la variable dpendante ou endogne) et un certain nombre de variables socio-c
29、onomiques (appeles variablesindpendantes ou explicatives). La forme des quations doit reflter une relation de causalit prvue entre les variables.Selon une forme de modle suppose, des donnes historiques ou des donnes de section transversale sont utilises afinde prvoir les coefficients de lquation. Si
30、 lon suppose que le modle conserve sa validit terme, les estimations desvaleurs futures des variables indpendantes peuvent tre utilises afin de prvoir les variables prsentant un intrt. Unexemple de modle conomtrique typique est donn dans lannexe C.On peut utiliser une large gamme de modles et un cer
31、tain nombre de mthodes pour estimer les coefficients(par exemple, les mthodes des moindres carrs, paramtres variables, la rgression non-linaire, etc.). A bien despoints de vues, la gamme des modles conomtriques disponibles est bien plus flexible que celle des autres modles.Ainsi, pour ne prendre que
32、 quelques exemples, les modles conomtriques permettent dincorporer les effets dcals, depondrer les observations, dintgrer les modles rsiduels ARIMA, de regrouper des informations sur diffrentessections et de faire varier les paramtres.Lun des principaux avantages de la construction dun modle de prvi
33、sion conomtrique est quil faut identifiercorrectement la structure ou le processus dont on extrait les donnes et dterminer des liens de causalit appropris. Uneidentification explicite de la structure fait que les modles conomtriques se prteront mieux que dautres modles lidentification des erreurs co
34、mmises dans la prvision.Avec un modle conomtrique, il est facile disoler les modifications structurelles et dliminer les lments nonhomognes dans les donnes historiques ou den pondrer correctement linfluence. Par ailleurs, des modificationsintressant les facteurs qui influent sur les variables consid
35、res peuvent tre facilement intgres dans les prvisionsobtenues partir dun modle conomtrique.On peut souvent laborer un modle conomtrique relativement fiable avec moins dobservations quil nen fautpour un modle sries chronologiques. Pour les modles rgression par groupements, seules quelques observation
36、sintressant plusieurs sections transversales suffisent si lon veut construire un modle applicable aux prvisions.8 Fascicule II.3 - Rec. E.507Cependant, il convient dapporter beaucoup de soins lestimation dun modle afin de satisfaire aux hypothsesfondamentales des techniques dcrites dans un certain n
37、ombre de documents numrs dans la liste de rfrences place la fin de la prsente Recommandation. Par exemple, le nombre de variables indpendantes que lon peut utiliser estlimit par la quantit de donnes disponibles pour lestimation du modle. De mme, il faut viter les variablesindpendantes entre lesquell
38、es existent des corrlations. Il est parfois possible dviter la corrlation entre les variablespar lutilisation de donnes diffrencies ou pour lesquelles il nest pas tenu compte des tendances, ou encore par latransformation des variables. On trouvera des renseignements supplmentaires dans 8, 12, 13, 14
39、 et 21.4 Discontinuits dans laccroissement du trafic4.1 Exemples de discontinuitIl est parfois difficile dvaluer lavance lampleur dune discontinuit. Linfluence des facteurs qui causent desdiscontinuits est souvent tale sur une priode transitoire, et la discontinuit napparat pas de faon vidente. Para
40、illeurs, il est difficile de dceler avec certitude les discontinuits dues lintroduction, par exemple, de lexploitationautomatique dans le service international, toute modification du mode dexploitation saccompagnant en gnral dautreschangements (par exemple, des rductions de tarifs).Le diagramme de l
41、a figure 4/E.507 permet de voir linfluence des discontinuits sur laccroissement du trafic.On connat des cas de discontinuits qui ont doubl ou plus que doubl lintensit du trafic. Il convient de releveraussi que la tendance daccroissement du trafic peut changer aprs une discontinuit.Sagissant de prvis
42、ions court terme, il y aura peut-tre intrt considrer la tendance du trafic entre lesdiscontinuits; en revanche, pour des prvisions long terme, il peut tre prfrable davoir recours une estimation detendance fonde sur des observations long terme, compte tenu des discontinuits prcdentes.A part les fluct
43、uations alatoires dues des pointes imprvisibles de trafic, des drangements, etc., les mesuresde trafic sont sujettes des fluctuations systmatiques dues des cycles journaliers ou hebdomadaires de lintensit dutrafic, linfluence des diffrences dheure, etc.4.2 Introduction de variables explicativesLe pr
44、ocessus qui consiste identifier des variables explicatives pour un modle conomtrique est probablementlaspect le plus pineux de llaboration des modles conomtriques. Les variables explicatives utilises dans un modleconomtrique mettent en vidence les principaux facteurs qui influent sur la variable con
45、sidre. On trouvera une listede variables explicatives dans le 2 de la Recommandation E.506.Nombre de minutes taxes des communications tlphoniquesau dpart de lAustralie vers le Sri LankaFascicule II.3 - Rec. E.507 9La thorie conomique est le point de dpart de la slection des variables et, plus prcism
46、ent, la thorie de lademande fournit le cadre fondamental permettant dlaborer le modle gnral. Toutefois, la description de la structureou du processus dont sont extraites les donnes conditionne souvent le choix des variables appeles tre retenues dansla srie des variables explicatives. Par exemple, on
47、 peut tre amen incorporer des relations technologiques dans lemodle pour dfinir correctement la structure.Le choix des variables explicatives est soumis certains critres (par exemple, le R2, la statistique de Durbin-Watson, lerreur quadratique moyenne, le niveau de prvision “ex-post”; pour obtenir les explications ce sujet, on sereportera la liste de rfrences place
