1、考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 方程 ysinx=ylny 满足条件 =e 的特解是2 设 C，C 1， C2，C 3 是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（A）y=C 1x2+C2x+C3（B） x2+y2=C（C） y=ln(C1x)+ln(C1sinx)（D）y=C 1sin2x+C2cos2x3 方程 y-2y+3y=exsin 的特解的形式为4 设 y1(x)、y 2(x)为二阶变系数齐次线性方程 y+P(x)y+q(x)y=0 的两个特解，则C1y1(x
2、)+C2y2(x)(C1，C 2 为任意常数) 是该方程通解的充分条件为（A）y 1(x)y2(x)-y2(x)y1(x)=0（B） y1(x)y2(x)-y2(x)y1(x)0（C） y1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)=0（D）y 1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)0二、填空题5 下列微分方程中(填序号)_是线性微分方程6 已知(x-1)y-xy+y=0 的一个解是 y1=x，又知 =ex-(x2+x+1)，y *=-x2-1 均是(x-1)y-xy+y=(x-1)2 的解，则此方程的通解是 y=_7 已知方程 的两个解 y1=ex，y 2=x，则该方程满足初值y(0)=1，y
3、(0)=2 的解 y=_8 微分方程 y+6y+9y=0 的通解 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设有二阶线性微分方程 ()作自变量替换 ，把方程变换成 y 关于 t 的微分方程( )求原方程的通解10 设 f(x)是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 y+ky=f(x)存在唯一的以 为周期的特解，并求此特解，其中 k0 为常数11 求下列方程的通解：()(x-2)dy=y+2(x-2) 2dx；()y 2dx=(x+y2 )dy；( )(3y-7x)dx+(7y-3x)dy=012 求下列方程的通解或特解：() -4y=4x2，y(0)= ，y(0)=2
4、；()+2y=e-xcosx13 求方程 y+2my+n2y=0 的通解；又设 y=y(x)是满足初始条件 y(0)=a，y(0)=b 的特解，求 0+y(x)dx，其中 mn0，a，b 为常数14 设 y=y(x)在 0，+)内可导，且在 处的增量y=y(x+x)-y(x)满足其中当x0 时 是x 的等价无穷小，又 y(0)=2，求y(x)15 设函数 f(x)连续，且 0xf(t)dt=sin2x+0xtf(x-t)dt求 f(x)16 设有微分方程 y-2y=(x)，其中 (x)= 试求：在(-，+)内的连续函数 y=y(x)，使之在 (-，1) 和(1，+)内都满足所给方程，且满足条件
5、 y(0)=017 设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 f(t)=e4t2+.试求 f(t)18 已知 y1*=xex+e2x，y 2*=xex+e-x，y 3*=xex+e2x-e-x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解，试求其通解及该微分方程19 求解初值问题20 设 p(x)在(a，b) 连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Ce-p(x)dx是方程 y+p(x)y=0 的所有解21 设连接两点 A(0，1) ， B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸孤 AB 上的任意点(图65)已知凸弧与弦 AP 之间的面积为 x3，求此凸弧的方程2
6、2 在0 ，+) 上给定曲线 y=y(x)0，y(0)=2，y(x)有连续导数已知 ，0，x上一段绕 x 轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积求曲线 y=y(x)的方程23 设 f(x)为连续正值函数，x 0，+) ，若平面区域 Rt=(x，y)0xt，0yf(x)(t0)的形心纵坐标等于曲线 y=f(x)在0，t上对应的曲边梯形面积与 之和，求f(x)24 设曲线 y=y(x)上 点(x，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线 y=y(x)的方程25 求证：曲率半径为常数 a 的曲线是圆26 设有一弹性轻绳(即重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3 克的物体，又已知此绳受一克重量
7、的外力作用时伸长 厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?27 5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀的肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1kg 肥皂考研数学二（一元函数的泰勒公式及其应用、常微分方程）模拟试卷3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 这是变量可分离的方程【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 仅有(D) 含有两个独立的任意常数 C1 与 C2，选(D) 【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 B
8、【试题解析】 关键是求特征根：由 2-2+3=0 非齐次项 F(x)=exsinx，i= 是特征根选(B)【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 B【试题解析】 根据题目的要求，y 1(x)与 y2(x)应该线性无关，即 (常数)反之，若这个比值为常数，即 y1(x)=y2(x)，那么 y1(x)=y2(x)，利用线性代数的知识，就有 y1(x)，y 2(x)-y2(x)y1(x)=0所以，(B)成立时，y 1(x)，y 2(x)一定线性无关，应选(B)【知识模块】 常微分方程二、填空题5 【正确答案】 、【试题解析】 这四个方程中只有、 对未知函数 y 及其各阶导数作为总体是一次的，因而是
9、线性的【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 y=C 1x+C2e2-x-1【试题解析】 由非齐次方程(x-1)y-xy+y=(x-1) 2 的两个特解 与 y*可得它的相应齐次方程的另一特解 -y*=ex-x，事实上 y2=(ex-x)+x=ex 也是该齐次方程的解，又 ex 与x 线性无关，因此该非齐次方程的通解是 y=C1x+C2e2-x-1，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 y=e x+x【试题解析】 因 y1，y 2 线性无关，该方程的通解 y=C1ex+C2x由初始条件得 C1=1， C1+C2=2 C1=1， C2=1 y=ex+x【知识模
10、块】 常微分方程8 【正确答案】 y=(C 1+C2x)e-3x【试题解析】 特征方程 2+6+9=0，即(+3) 2=0通解为 y=(C1+C2x)e-3x，其中C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 () 先求再将求导，得将代入将，代入原方程得()题() 已把原方程转化为 ，故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程，它的相应特征方程 2+2+1=0，有重根 =-1非齐次方程可设特解 y*=Asint+Boost，代入得-(Asint+Boost)+2(Acost-Bsint)+(Asint+Bcost)=2sint
11、即 Acost-Bsint=sint 比较系数得 A=0，B=-1 ，即 y*(t)=-cost因此的通解为 y=(c 1+c2t)e-t-cost 原方程的通解为 y=(c1+c2arcsinx)e-arcsinx- ，c 1，c 2 为 常数其中 t=arcsinx，cost=【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 此线性方程的通解即所有解可表示为 y(x)=e-kxC+0xf(t)ektdty(x)以 为周期，即 y(x)=y(x+)，亦即 e -kxC+0xf(t)ektdt=e-kx-kC+0xf(t)ektdt C+0xf(t)ektdt=e-kC+0x+f(t)ektdt e
12、-kC+-xf(s+)eks+kds=Ce-k+-0f(s)eksds+0xf(s)eksds -0f(s)eksds 0f(t)ektdt= 0f(t)ektdt对应于这个 C 的特解就是以 为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 () 原方程改写成 =2(x-2)2(一阶线性方程)积分得 =(x-2)2+C通解 y=(x-2)3+C(x-2)，其中 C 为任意常数 ()原方程改写成(以 y 为自变量，是一阶线性的)两边同乘=ey积分得 =ey+C通解 ，其中 C为任意常数() 原方程改写成 (齐次方程)，即 令分离变量得积分得通
13、解为(x-y) 2(x+y)5=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 () 相应齐次方程的特征方程 2-4=0，特征根 =2零不是特征根，方程有特解 y*=ax2+bx+c，代入方程得 2a-4(ax2+bx+c)=4x2 -4a=4，b=0，2a-4c=0 a=-1，c= . y*=-x2- . 通解为 y=C1e2x+C2e-2x-x2- .由初值 y(0)=C 1+C2- ，y(0)=2C 1-2C2=2， 因此得特解 y= e2x- e-2x-x2- ()相应齐次方程的特征方程 2+3+2=0，特征根 1=-1， 2=-2由于非齐次项是 e-xcosx，-
14、1i 不是特征根，所以设非齐次方程有特解y*=e-x(acosx+bsinx)代入原方程比较等式两端 e-xcosx 与 e-xsinx 的系数，可确定出a= ，所以非齐次方程的通解为 y=C1e-x+C2e-2x+ e-x(sinx-cosx)，其中C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 特征方程 2+2m+n2=0，特征根 ，通解为注意：指数均为负的将方程两边积分 y 0+2my 0+n20+y(x)dx=0，即 -b-2ma+n20+y(x)dx=0 0+y(x)dx=【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 由题设等式可得从而 y=y(x)是如下一阶线性微
15、分方程初值问题的特解： 方程两边乘，两边积分得y=C(4+x)+(4+x)ln(4+x)令 x=0，y=2 可确定常数 C= -2ln2，故 y=( -2ln2)(4+x)+(4+x)ln(4+x)=(4+x) -2ln2+ln(4+x)【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 将 0xtf(x-t)dt 0x(x-u)f(u)(-du)=0x(x-u)f(u)du=x0xf(u)du-0xuf(u)du 代入原方程即得 0xf(t)dt=sin2x+x0xf(u)du-0xuf(u)du. 由 f(x)连续可见以上方程中各项均可导将方程两端对 x 求导即得 f(x)=2sinxcosx+0
16、xf(u)du=sin2x+0xf(u)du (在中令 x=0，得 0=0，不必另加条件 与同解)在式中令 x=0 可得 f(0)=0，由 式还可知 f(x)可导，于是将它两端对 x 求导，又得 f(x)=2cos2x+f(x)故求 y=f(x)等价于求解初值问题 的特解解之可得 y=f(x)= (ex+2sin2x-cos2x)【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起当 x1 时，方程y-2y=2 的两边同乘 e-2x 得(ye -2x)=2e-2x，积分得通解 y=C1e2x-
17、1；而当 x1 时，方程y-2y=0 的通解为 y=C2e2x为保持其在 x=1 处的连续性，应使 C1e2-1=C2e2，即C2=C1-e-2，这说明方程的通解为 再根据初始条件，即得 C1=1，即所求特解为【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 先用极坐标变换将二重积分转化为定积分代入原方程得 f(t)=e4t2+202t rdr(t0)两边对 t 求导得 f(t)=8te4t2+2.f(t).2t.2，即f(t)-8tf(t)=8te4t2 在前一个方程中令 t=0 得 f(0)=1 求 f(t)转化为求解初值问题+ 这是一阶线性方程，两边同乘 e-8tdt=e-4t2得e -4t2
18、f(t)=8t积分得 e-4t2f(t)=4t2+C由 f(0)=1 得 C=1因此 f(t)=(4t2+1)e4t2【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y 1*-y3*=e-x，y 2*-y3*=2e-x-e2x 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y1=e-x，y 2=2(y1*-y3*)-(y2*-y3*)=e2x， 它们是线性无关的为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y4*=y1*-y2=xex 因此该非齐次方程的通解是 y=C1e-x+C2e2x+xex，其中 C1，C 2 为任意常数 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶
19、线性常系数方程 y+py+qy=f(x) 它的相应特征根是 1=-1， 2=2，于是特征方程是 (+1)(-2)=0 ，即 2-2=0 因此方程为 y-y-2y=f(x) 再将特解 y4*=xex 代入得 (x+2)e x-(x+1)ex-2xex=f(x)，即 f(x)=(1-2x)ex 因此方程为 y-y-2y=(1-2x)ex【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 这是可降阶类型的(方程不显含 x)令 p= ，并以 y 为自变量变换原方程 代入原方程得 y 3pp2=y-2+C1由初值得 C1=dx积分得最后得【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 易直接验证对任意常数 C，y=
20、Ce -p(x)dx是原方程的解只需再证：若 y 是原方程的解，则存在某常数 C，使得 y=Ce-p(x)dx，即证：ye p(x)dx为常数 因为对任意常数 C，y=Ce -p(x)dx是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则 yep(x)dx=ep(x)dxy+p(x)y=0， 即存在常数 C，使得 yep(x)dx=C，即 y=Ce-p(x)dx【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 设凸弧的方程为 y=f(x)，因梯形 OAPC 的面积为 1+f(x)故 x3=0xf(t)dt- 1+f(x)两边对 x 求导，则得 y=f(x)所满足的微分方程为 xy-y=-6x 2-1
21、(原方程中令 x=0 得 0=0，不必另加条件，它与原方程等价 )其通解为=Cx-6x2+1对任意常数 C，总有 y(0)=1，即此曲线族均通过点 A(0，1) 又根据题设，此曲线过点(1，0)，即 y(1)=0，由此即得C=5，即所求曲线为 y=5x-6x2+1【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 () 列方程，定初值在0，x 上侧面积与体积分别为 20x0xy2dt按题意 20xy(t) =0xy2(t)dt， y(0)=2 () 转化将式两边求导得 2y(x) =y2(x)(在中令 x=0，得0=0，不必另附加条件)化简得 ()解初值问题式分离变量得 积分得为解出 y，两边乘将，相
22、加得【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 () 列方程按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为0tf2(x)dx 0tf(x)dx，而相应的曲边梯形的面积为 0tf(x)dx见图 62按题意 即 0tf2(x)dx=20tf(x)dx2+0tf(x)dx(x0) () 转化将方程两边求导，则方程 f2(t)=4f(t)0tf(x)dx+f(t) f(t)=40tf(x)dx+1 (中令 x=0，等式自然成立，不必另加条件) f(x)实质上是可导的，再将方程两边求导，并在 中令 t=0 得()求解等价的微分方程的初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘 (t)=e-4dt e-4t 得
23、f(x)e -4t=0，并由初始条件得 f(t)=e 乱，即 f(x)=e4x【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 () 列方程曲线 y=y(x)在 点(x，y)处的切线斜率为 ，与原点连线的斜率为 ，按题意 ()解方程将方程改写为 ydy+xdx=0，即d(x2+y2)=0于是通解为 x2+y2=C(C0 为 常数)【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 由曲率半径公式知，曲线 y=y(x)满足 解方程：，则积分得 又由由和式得(x+C 1)2+(y+C2)2=a2，即曲线是圆周若 y= ，则同样可证【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立
24、坐标系，位移 s，向下为正s=?时，v(速度)=0()受力分析弹性恢复力 f=ks，由条件知 g=k.f=24gs，g 为重力加速度重力 mg=3g()加速度表示由题目的需要，加速度 ()列方程与初始条件由牛顿第二定律得 初始条件：t=0 时 s(0)=0， v(s) s=0=0()求解初值问题 分离变量得 vdv=(g-8gs)ds v2=gs-4gs2+c由 v(0)=0v2=gs-4gs2() 当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时 v=0解 gs-4gs2=0 得 s=0，s= 为所求【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 设 t 时刻水中含的肥皂量为 Q(t)kg任取t ，t+dt，这段时间内肥皂含量的减少量=抽出水的肥皂含量，即解此初值问题得因此，当 t=T=30ln5 时肥皂水中只有 1kg 肥皂【知识模块】 常微分方程
