1、考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1989 年) 微分方程 yye 1 的一个特解应具有形式 (式中 a，b 为常数) 【 】（A）ae b（B） aeb（C） aeb（D）ae b2 (1998 年) 已知函数 yf()在任意点 处的增量y ，其中 是比(0)的高阶无穷小，且 y(0)，则 y(1) 【 】（A）（B） 2（C） （D）3 (2000 年) 具有特解 y1e ，y 22e ，y 33e 的三阶常系数齐次线性微分方程是 【 】（A）yyyy0（B） yyyy0（C） y6y11y6y0（
2、D）y2yy2y04 (2002 年) 设 yy()是二阶常系数微分方程 ypyqye 3满足初始条件 y(0)y(0)0 的特解，则当 0 时，函数 的极限 【 】（A）不存在（B）等于 1（C）等于 2（D）等于 35 (2003 年) 已知 y 是微分方程 y 的解，则 ( )的表达式为 【 】（A）（B）（C）（D）二、填空题6 (1994 年) 微分方程 yd( 24)dy0 的通解为_7 (1995 年) 微分方程 yy2 的通解为_8 (1996 年) 微分方程 y2y5y0 的通解为_9 (1999 年) 微分方程 y4ye 2的通解为_ 10 (2001 年) 过点 ( ，0
3、)且满足关系式 yarcsin 1 的曲线方程为_11 (2002 年) 微分方程 yyy 20 满足初始条件 的特解是_12 (2004 年) 微分方程 (y 3)d2dy0 满足 的特解为_13 (2005 年) 微分方程 y2yln 满足 y(1) 的解为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 (1987 年) 求微分方程 y 满足条件 0 的特解15 (1987 年) 求微分方程 y2yye 的通解16 (1988 年) 求微分方程 的通解17 (1988 年) 设函数 yy()满足微分方程 y3y2y2e ，其图形在点(0，1) 处的切线与曲线 y 2 1 在该点处
4、的切线重合，求函数 y 的解析表达式18 (1989 年) 求微分方程 y(1)ye 2 (0 )满足 y(1)0 的解19 (1989 年分) 设 f()sin 0(t)f(t)dt ，其中 f 为连续函数，求 f()20 (1990 年) 求微分方程 lndy(yln)d0 满足条件 y e 1 的特解21 (1990 年) 求微分方程 y4y4ye a之通解，其中 a 为实数22 (1991 年) 求微分方程 yye 满足 y(1)1 的特解23 (1991 年)求微分方程 yy cos 的通解24 (1992 年) 求微分方程 (y 3)d2dy0 的通解25 (1992 年) 求微分
5、方程 y3y2ye 的通解26 (1993 年) 求微分方程 (21)dy(2ycos)d 0 满足初始条件 y 1 1 的特解27 (1993 年) 设二阶常系数线性微分方程 yyye 的一个特解为ye 2(1)e ，试确定常数 、 、，并求该方程的通解28 (1994 年) 求微分方程 ya 2ysin 的通解，其中常数 a029 (1995 年) 设 ye 是微分方程 yp()y 的一个解，求此微分方程满足条件y ln2 0。的特解30 (1996 年) 求微分方程 yy 2 的通解31 (1996 年) 设 f()为连续函数 (1)求初值问题 的解 y()，其中a 是正常数； (2)若
6、f()k(k 为常数)，证明：当 0 时，有 y() (1e a )32 (1997 年) 求微分方程 (322yy 2)d( 22y)dy0 的通解33 (1997 年) 已知 y1e e 2，y 2e e ，y 3 ee 2e 是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程34 (1997 年) 设曲线 L 的极坐标方程为 rr() ，M(r，)为 L 上任一点，M 0(2，0)为L 上一定点，若极径 OM0、OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形面积值等于 L 上M0、M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的方程35 (1997 年) 设函数 f()在闭区间0，1上连续，在开区间(0，1)内
7、大于零，并满足f()f() 2(a 为常数)，又曲线 yf()与 1，y0 所围的图形 S 的面积值为 2求函数 f()并问 a 为何值时，图形 S 绕 轴旋转一周所得旋转体的体积最小36 (1998 年) 利用代换 y 将方程 ycos 2ysin 3ycose 化简，并求出原方程的通解考研数学二（常微分方程）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 yye 1 的特解应为方程 yye 和 yy1 的特解之和，而特征方程为 r 210，解得 r1 因此 yye 的特解应为 y1*ae ， yy1 的特解应为
8、 y2*b 则原方程特解应具有形式 yae b【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 A【试题解析】 由于y 与 ，其 是比 (0)高阶的无穷小，则解此变量可分离方程得 yCe arctan， 再由 y(0) 得 C 故y兀 earctan，y(1)【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 B【试题解析】 由本题所给三个特解可知，所求方程的特征方程的根为11， 21(二重) ，故特征方程是(1)(1) 20，展开得 3 210 从而，微分方程应为 y yy0，则应选 B【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 C【试题解析】 由于 y()是方程 ypyqye 3 满足初始条件 y(0)y(0
9、)0 的特解，在方程 ypy qye 3 中，令 0 得 y(0)Py(0) qy(0) e 01 即y(0)1 所以应选 C【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 A【试题解析】 将 y 代入方程 y 得故应选 A【知识模块】 常微分方程二、填空题6 【正确答案】 (4)y 4C【试题解析】 该方程是一个变量可分离方程，即(4)y 4C【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 y2 C1cosC 2sin【试题解析】 特征方程为 r210，解得 r1i，r 2I 齐次通解为C 1cosC 2sin 易观察出非齐次一个特解为 y*2 则原方程通解为yC 1cosC 2sin2【知识模块】 常
10、微分方程8 【正确答案】 ye (C1cos2C 2sin2)【试题解析】 特征方程为 r22r 50，r 1，2 12i 故通解为yC 1e cos2C 2e sin2【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 yC 1e2 (C 2 )e2 (C1，C 2 为任意常数 )【试题解析】 特征方程为 r240，r 1，2 2 齐次通解为 1e2 C 2e2 设非齐次方程特解为 y*Ae2 代入原方程得 A ， 故原方程通解为【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 yarcsin 【试题解析】 由 yarcsin 1 知(yarcsin)1 则 yarcsinC 由因此 yarcsin【知识模
11、块】 常微分方程11 【正确答案】 y 2 1 或 y【试题解析】 令 yP，则，y ，代入原方程得则所求的特解为y21【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 【试题解析】 方程(y 3)d2dy0 可改写为 设方程为一阶线性方程，则其通解为 由知 C1，则所求特解为 y【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 【试题解析】 方程 y2yln 是一阶线性方程，方程两端同除以 得：y ln，则通解为由 y(1) 得，C0，则【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 原方程改写为标准形式为 由一阶线性微分方程求解公式知 由初始条件 0 知，
12、C1 故所求特解为 y【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 特征方程为 r22r10，r1 为二重根 则齐次方程通解为(C 1C 2)e 设非齐次方程特解为 y*(A 0A 1)e，代入原方程得故原方程通解为 y(C 1C 2)e (1)e 【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 由一阶线性方程求解公式知【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 特征方程为 r22r20 解得 r11，r 22 则齐次方程通解为C 1eC 2e2 设非齐次方程特解为 y*Ae ，代入原方程得 A2 故原方程通解为 yC 1eC 1e22e (*) 又由题设 yy()的图形在点(0，1)处切线与曲线y
13、 21 在该点的切线重合由此可知 y(0) 1，y(0) (2 1) 0 1 利用此条件由(*)式可得 C11，C 20 因此所求解为 y(12)e 【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 原方程改写为标准形式由一阶线性微分方程通解公式得代入初始条件 y(1)0，得 c e 故所求解为 y【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 原方程可改写为 f()sin 0f(t)dt 0tf(t)dt 上式两端对 求导得 f()cos 0f(t)dtf()(f)cos 0f(t)dt (*) 两端再对 求导得 f()sinf() 即 f()f()sin 这是一个二阶线性非齐次方程，由原方程知f(0
14、)0，由(*) 式知 f(0)1 特征方程为 r10，ri 齐次通解为C 1sinC 2cos 设非齐次方程特解为 y*(asinbcos)，代入 f()f()sin 得 a 0，b 则非齐次方程的通解为 yC 1sinC 2cos cos 由初始条件 y(0) 0 和 y(0) 1 可知 C 1 ，C 20【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 原方程改写为标准形式为 其通解为由 y e 1 知，C 所以满足初始条件 y e 1 的特解为【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 特征方程为 r24r40 则齐次方程通解为 (C 1C 2)e2 当a 2 时，原方程特解可设为 y*Ae
15、a 代入原方程得 A 故特解为 y*当 a2 时，原方程特解可设为 y*A 2ea 代入原方程得 A 故特解为 y* 2e2 综上所述，原方程通解为【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 将原方程化为标准形式 y ye 由一阶线性方程通解公式可知由 y(1)1，得 C1， 故所求特解为 y【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 易求得齐次方程通解为 yC 1cosC 2sin 设非齐次方程 yy 的特解为 y1A B 代入方程得 A1，B0，所以 y 设非齐次方程yycos 的特解为 yCcos Dsin 代入方程解 C0，D ，所以 y sin 故原方程通解为 yC 1cosC 2s
16、in sin【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 将原方程化为标准形式 由一阶线性微分方程通解公式知【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 特征方程为 r23r20 解得 r11，r 22 齐次方程通解为C 1eC 2e2 设非齐次方程特解为 y*(ab)e 代入原方程得a ，b 1 所以 y*( )e 从而所求通解为yC 1eC 2e2( )e 【知识模块】 常微分方程26 【正确答案】 原方程化为标准型【知识模块】 常微分方程27 【正确答案】 将 ye 2(1)e 代入原方程得 (42 )e 2(3 2 )e (1)e e 比较同类项的系数有 解得3 ，2，1 原方程为 y3y
17、2ye 其特征方程为 r23r20 解得 r11，r 22 故齐次通解为 C 1e+C2e2 则原方程通解为yC 1eC 2e2e 2(1 )e【知识模块】 常微分方程28 【正确答案】 特征方程为 r2a 20，r ai 则齐次方程通解为yC 1cosaC 2sina (1)当 a1 时，原方程特解可设为 y *AsinBcos 代入原方程得 A ，B0 所以 y* sin (2)当 a1 时，原方程特解可设为 y*(AsnBcos) 代入原方程得 A0，B 所以 y* cos 综上所述 当 a1 时，通解为 yC 1cosaC 2sina sin 当 a1 时，通解为yC 1cosC 2s
18、ina cos【知识模块】 常微分方程29 【正确答案】 将 ye 代入原方程得 e p()e 得 p()e 代入原方程得 y(e )y 即 y(e 1)y1 解此线性方程得通解 ye 由 y ln2 0 得 C 故所求特解为 ye 【知识模块】 常微分方程30 【正确答案】 特征方程为 r2r0，r 10，r 21 则齐次通解为C 1C 2e 设非齐次方程特解为 y*(a 2bc)，代入原方程得 a ，b 1，c 2 因此，原方程通解为 y 3 22 C 1C 2e【知识模块】 常微分方程31 【正确答案】 (1)原方程通解是 y()e a f()eadC e a F()C 其中F()是 f
19、()ea的任一原函数，由 y(0)0 得 CF(0)故 y()e a F()F(0)e a 0eatf(t)dt (2)y()e a 0f(t)e atdtkea0eatdt ea (ea1) (1e a ) ，0【知识模块】 常微分方程32 【正确答案】 令 yu，则 解之得u2u1C 3 ，即 y2y 2C 1【知识模块】 常微分方程33 【正确答案】 由题设知 e2与 e 是相应齐次方程两个线性无关的解，且 e是非齐次方程一个特解，故此方程是 yy2yf() 将 ye 代入上式得 f()(e )(e )2e e 2e 因此所求方程为 yy2ye 2e 【知识模块】 常微分方程34 【正确答案】 由题设可知由 r(0)2 知，C ，故所求曲线 L 的方程为亦即直线【知识模块】 常微分方程35 【正确答案】 由原题设，当 时， 即 据此并由 f()在点 0 处连续性，得故 a5 时，旋转体体积最小【知识模块】 常微分方程36 【正确答案】 yusec，yusec utansec yuec2utansecusec 3utan 2sec 代入原方程化简得 u4ue 解此线性常系数非齐次方程，得通解为 uC 1cos2C 2sin2 e 还原成 y，得原方程通解 y【知识模块】 常微分方程
