1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 12 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 方程 y2y3ye sin( )的特解的形式为（A）（B）（C） Aesin( )（D）Ae cos( )2 设 y()、y()为二阶变系数齐次线性方程 yp()yq()y0 的两个特解，则C1y1()C 2y2()(C1，C 2 为任意常数 )是该方程通解的充分条件为（A）y 1()y2()y 2()y1()0（B） y1()y2()y 2()y1()0（C） y1()y2()y 2()y1()0（D）y 1()y2()y 2()y1()03 设函数 y1()，y 2()，y
2、 3()线性无关，而且都是非齐次线性方程 yp()yq()yf()的解， C1，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）C 1y1C 2y2y 3（B） C1y1 C2y2(C 1C 2)y3（C） C1y1 C2y2(1C 1C 2)y3（D）C 1y1C 2y2(1 C 1C 2)y3二、填空题4 微分方程 y6y9y0 的通解 y_5 当0 时 是比 较高阶的无穷小量函数 y()在任意点 处的增量 y 且 y(0) ，则 y(1)_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 设 f(t)连续并满足 f(t)cos2t 0tf(s)sinsds， (*) 求 f(t)7
3、设 f()连续，且满足 01f(t)dtf() sin ，求 f()8 求下列方程的通解：()y3y 26； ()yycoscos29 设曲线 L 的极坐标方程为 rr() ，M(r，)为 L 上任一点，M 0(2，0)为 L 上一定点若极径 OM0，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M0，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的极坐标方程10 设曲线 L 位于 Oy 平面的第一象限内，过 L 上任意一点 M 处自切线与 y 轴总相交，把交点记作 A，则总有长度 ，若 L 过点( )，求 L 的方程11 在上半平面求一条凹曲线(图 62)，使其上任一点 P(，Y)处的曲率等
4、于此曲线在该点的法线 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与 轴平行12 设热水瓶内热水温度为 T，室内温度为 T0，t 为时间 (以小时为单位)根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与 TT 0 成正比又设 T020 ，当 t0 时，T100 ，并知 24 小时后水瓶内温度为 50，问几小时后瓶内温度为 9513 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 v 之间的关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 V，海水的比重为 ，仪器所
5、受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系 yy(v)14 要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为 h，上底面直径为 2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数 p设水泥的比重为 ，试求桥墩的形状15 设物体 A 从点(0，1) 出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向运动，物体 B 从点(1 ，0) 与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻 B 点的坐标(，y)，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为 的函数 )所满足的微分方程，并写出初始条件16 求下列方程的通解： ()ysin(ln) cos
6、(ln)ay ； ( )y y17 求下列微分方程的通解：18 求解二阶微分方程的初值问题19 解下列微分方程： ()y7y12y 满足初始条件的特解； ()ya 2y8cosb 的通解，其中a0，b0 为常数； ( )yyyy0 的通解20 求微分方程 yy 2 的通解21 求方程 2yd( 3y 3)dy0 的通解22 利用代换 uycos 将微分方程 ycos 2ysin3ycose 化简，并求出原方程的通解23 设 f()sin 0(t)f(t)dt，其中 f()连续，求 f()24 设有二阶线性微分方程(1 2) y2 求：作自变量替换 sint( )，把方程变换成 y 关于 t 的
7、微分方程25 设 f()是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程 ykyf()考研数学二（常微分方程）模拟试卷 12 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 B【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 D【知识模块】 常微分方程二、填空题4 【正确答案】 y(C 1C 2)e3 ，其中 C1，C 1 为任意常数【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 因 f(t)连续 0tf(s)sinsds 可导 f(
8、t)可导于是这是一阶线性微分方程的初值问题方程两边乘 e cost，得 e costf(t)4sintcoste cost 积分得 ecostf(t)4costd(e cost)4(cost1)e costC 由 f(0)1 得Ce因此，f(t)e 1-cost 4(cost1)【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 令 ts，原方程改写成 f(s)dsf()sin(0)， 即 0f(s)dsf() 2sin 含变限积分方程 f()f()f()( 2sin)， 即 f() 将直接积分得 f()sincosC【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 () 先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程
9、为 23(3)0，所以通解为 再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且 0 是特征方程的单根，所以特解应具形式 y*()(AB)，代入原方程，得 y *()3y *()2A3(2AB)6A2A3B26 比较方程两端的系数，得 解得 A 1，B 0，即特解为 y*() 2从而，原方程的通解为 y() 2C 1C 2e3，其中 C1，C 2 为任意常数 ()由于 coscos2 (coscos3) ，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求yy cos 与 yy cos3 的特解 y*(1)与 y*(2)，相加就是原方程的特解 由于相应齐次方程的特征方程为 210，特征根为i，所以其通解
10、应为C1cosC 2sin；同时 yy cos 的特解应具形式：y 1*()Acos Bsin ，代入原方程，可求得 A0，B 即 y1*() sin 另外，由于 3i 不是特征根，所以另一方程的特解应具形式 y2*()Ccos3Dsin3 ，代入原方程，可得 C，D0这样，即得所解方程的通解为 y() cos3C 1cosC 2sin，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 曲边扇形的面积公式为 S 0r2()d又弧微分 ds，于是由题设有两边对 求导，即得 r2() 所以 r 所满足的微分方程为(它与原方程等价，在(*)式中令 0 等式自然成立，不必另加条件
11、) 注意到 C 为方程的通解，再由条件 r(0)2，可知 C 6，所以曲线 L 的方程为 rsin( )1【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 设 L 的方程为 yy() ，过点 M(，y()的切线与 y 轴的交点为A(0，y() y()，又 2y()(y()y() 2 2 2y2， (y y) 2， 按题意得 2 2y2(yy) 2，即 2yyy 2 2 又初始条件 这是齐次方程 y ，令 u 上，则方程化成分离变量得 积分得 ln(1u 2)lnC 1，1u 2 代入 u 得 y2 2C 由初始条件，得 C3 因此 L 的方程为 y2 23【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】
12、若将此曲线记为 yy()，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求 y0，故曲率 K 又由于过(，f()点的法线方程为 X y()Yy()0，它与 轴交点 Q 的横坐标 X0y()y()，所以，线段 的长度为这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件为 y(1)1，y(1)0 解二阶方程的初值问题 得 y (e1 e 1 )【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 温度变化的速率即 ，牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，写出来它就是温度 T 所满足的微分方程： k(T T 0)，其中 k 为比例常数，且 k0其通解为 TT 0Ce -kt再由题设：T 020，T(0)100，T
13、(24)50，所以 C80，k (ln8ln3) 这样，温度T2080 若 T95，则 t 158，即在158 小时后热水的温度降为 95【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 取沉放点为坐标原点 0，Oy 轴的正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 m mgpVkv 由于 v ，所以，此方程是一个既不显含自变量t，又不显含未知函数 y 的二阶方程，按照常规的办法，可以令 v 为未知函数，得到 v 所满足的一阶线性方程，这样所求得的是 v 与时间 t 的关系然而题目所要求的是 y 与 v 的关系，注意 ，所以应将方程改写为直接求积分，则有 y (Hkv)C 再由题设，其初始条件应为 v y0 0
14、，由此可定出 C lnH，故所求的关系 y【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 建立坐标系如图 63分别过 轴上点 及 作桥墩的水平截面，则 两个截面上的压力差两个截面之间柱体的重量于是 py2()py 2()y 2()， 即当0 ，得 同样有初始条件 y(h)a 解此一阶线性齐次方程的初值问题，同样得 ya 【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 规定 A 出发的时刻 t0 (1)列方程t 时刻 A 位于(0，1vt)t时刻 B 位于点(t)，y(t)，B 点的速度 (，1vt y)同向(见图64) 又 B 点的速度大小为 进一步消去 t，可得 y 作为 的函数满足的微分方程将式两
15、边对 求导得将它代入得 yy()满足的微分方程为 (2)初条件y 1 ，1(1 时 的斜率为 1)【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 () 属变量可分离的方程分离变量改写为 (sinlncoslna)d 两端求积分，由于sin(ln)dsin(ln).cos(ln).dsin(ln)cos(ln)d， 所以通解为 lnysin(ln)aC 1，或yCe sin(ln)a ，其中 C 为任意常数 ( )属齐次方程令 yu，并且当 0 时，原方程可化为 两端求积分，则得 arcsinulnC ，即其通解为 arcsin lnC ，其中 C 为任意常数当 0时，上面的方程变为 ，其通解应为
16、arcsin ln C，其中 C 为任意常数 所得通解公式也可统一为 ysin(lnC)此处还需注意，在上面作除法过程中丢掉了两个特解 u1，即 y【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 () 这是一阶线性非齐次方程，两边同乘，得 积分得， 其中C 为任意常数 ()注意到如果将 看作 y 的函数，则该方程可改写为yy 3，这也是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘， 其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 此方程不显含 ，令 py，并以 y 为自变量，则 y ，并且方程变为 其解为 1p 2Cy 2代入初始条件，可知 C1，即 p2y 2y 21，从而 d 这是一个变量
17、分离的方程，两端求积分(ln(y 1) c)，并代入初始条件， 则无论右端取正号，还是取负号，其结果均为 y【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 () 相应齐次方程的特征方程为 27120，它有两个互异的实根： 13， 24，所以，其通解为 由于 0 不是特征根，所以非齐次方程的特解应具有形式 y*()AB代入方程，可得A ，B ，所以，原方程的通解为 y() 代入初始条件，则得 因此所求的特解为 y() ()由于相应齐次方程的特征根为ai，所以其通解为 ()C 1cosaC 2sina求原非齐次方程的特解，需分两种情况讨论： 当 ab 时，特解的形式应为 AcosbBsinb，将其代入
18、原方程，则得 A ，B0 所以，通解为 y() cosbC 1cosaC 2sina，其中C1，C 2 为任意常数 当 ab 时，特解的形式应为 AcosaBsina，代入原方程，则得 A0B 原方程的通解为 y() sinaC 1cosaC 2sina，其中 C1， C2 为任意常数 ()这是一个三阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为 3 210，分解得 (1)( 21)0，其特征根为 11， 2，3 i，所以方程的通解为 y()C 1e C 2cosC 3sin，其中 C1，C 2，C 3 为任意常数【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 将原方程看作不显含 y 的二阶方程，则属于
19、可降阶的范围令Py，Py，代入原方程，则化为 p 的一阶线性非齐次方程 pp 2，即p p而 ，于是两边同乘 因此 ypC 2 再积分一次，即得原方程的通解为 y 3C 12C 2,其中 C1，C 2为任意常数【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 显然这是一个齐次方程，利用齐次方程的解法町以得到其通解这里若将 看作 y 的函数，原方程可改写为 令 u ，原方程又可改写为 分离变量得 u 2du 积分得 u33ln yC，即3Cy 33y 3lny，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 令 ycosu，则 yusec，从而 yusecusectan yusec 2
20、usectanusectan 2usec 3 代入原方程，则得 u4ue 这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为 u eC 1cos2C 2sin2 代回到原未知函数，则有 y 2C 2sin，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 将原方程改写为 f()sin 0f(t)dt 0tf(t)dt 因为 f()连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数 f()也可微两端对 求导，又原式中令 0，则原方程等价于 f()cossin 0f(t)dt，f(0)0 (67) 同理，方程右端仍可微，所以 f()存在二阶导数，再将(67)中的方程两边求导，并令0，则得
21、(67)等价于 f() sin 2cosf() ，f(0) 0，f(0)0 即yf()满足微分方程的初值问题 yysin2cos，y(0)0，y(0)0 (68) 由于此方程的特征根为i，所以其特解应具形式 y() (AB)cos(CD)sin代入方程，求出系数 A，B，C ，D ，则得其特解 y*()sin，进而方程的通解为 yf() sinC 1cosC 2sin (69) 由 f(0)0 可知 C10，而由 f(0)0 又可推出 C20，所以 f() 【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 再将求导，得将代入将，代入原方程得【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 此线性方程的通解即所有解可表示为 y()e -kC 0f(t)ektdt y()以 为周期，即 y()y()，亦即对应于这个 C 的特解就是以 为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个【知识模块】 常微分方程
