1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设函数 y1(x)，y 2(x)，y 3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程(6 2)的解，C1，C 2 为任意常数，则该非齐次方程的通解是（A）C 1y1+C2y2+y3（B） C1y1+C2y2(C 1+C2)y3（C） C1y1+C2y2(1C 1C 2)y3（D）C1 1y1+C2y2+(1C 1C 2)y32 方程 ysinx=ylny 满足条件 =e 的特解是3 方程 y“2y+3y=exsin 的特解的形式为二、填空题4 下列微分方程中(填序号)_是线性微分方程
2、5 已知方程 y“+ =0 的两个解 y1=ex，y 2=x，则该方程满足初值 y(0)=1，y(0)=2 的解 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 求微分方程 x(y21)dx+y(x 21)dy=0 的通解7 设 f(t)连续并满足 f(t)=cos2t+ 0tf(s)sinds， (*) 求 f(t)8 设曲线 L 的极坐标万程为 r=r()，M(r，) 为 L 上任一点， M0(2，0)为 L 上一定点看极径 OM0，OM 与曲线 L 所围成的曲边扇形的面积值等于 L 上 M0，M 两点间弧长值的一半，求曲线 L 的极坐标方程9 在上半平面求一条凹曲线(图 62
3、)，使其上任一点 P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线 PQ 长度的倒数(Q 是法线与 x 轴的交点) ，且曲线在点(1，1)处的切线与 x 轴平行10 从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的 F 沉深度 y(从海平面算起)与下沉速度 v 之间的关系设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还要受到阻力和浮力的作用设仪器的质量为 m，体积为 V，海水的比重为 ，仪器所受阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k0)试建立 y 与 v 所满足的微分方程，并求出函数关系 y=y(v)11 设物体 A 从点(0，1) 出发，以速度大小为常数 v 沿 y 轴正方向运
4、动，物体 B 从点(1 ，0) 与 A 同时出发，其速度大小为 2v，方向始终指向 A，任意时刻日点的坐标(x ，y) ，试建立物体 B 的运动轨迹(y 作为 x 的函数)所满足的微分方程，并写出初始条件12 求下列微分方程的通解：13 解下列微分方程：()y“7y+12y=x 满足初始条件 的特解；( )y“+a2y=8cosbx 的通解，其中 a0，b0 为常数；()y“+y“+y+y=0 的通解14 求方程 x2ydx(x 3+y3)dy=0 的通解15 设 f(x)=xsinx 0x(xt)f(t)dt ，其中 f(x)连续，求 f(x)16 设有二阶线性微分方程 ()作自变量替换 x
5、= ，把方程变换成 y 关于 t 的微分方程()求原方程的通解17 求下列方程的通解： ()(x2)dy=y+2(x2) 3dx； ()y 2dx=(x+y2 )dy； ()(3y7x)dx+(7y3x)dy=018 求方程 y“+2my+n2y=0 的通解；又设 y=y(x)是满足初始条件 y(0)=a，y(0)=b 的特解，求 0+y(x)dx，其中 mn0，a，b 为常数19 设函数 f(x)连续，且 0xf(t)dt=sin2x+0xtf(xt)dt求 f(x)20 设函数 f(t)在0，+)上连续，且满足方程 f(t)= 试求 f(t)21 求解初值问题22 设连接两点 A(0，1)
6、 ， B(1，0)的一条凸弧，P(x，y)为凸弧 AB 上的任意点(图65)已知凸弧与弦 AP 之间的面积为 x3，求此凸弧的方程23 设 f(x)为连续正值函数，x 0，+) ，若平面区域 Rt=(x，y)0xt，0yf(x)(t0) 的形心纵坐标等于曲线 y=f(x)在0，t上对应的曲边梯形面积与 之和，求f(x)24 求证：曲率半径为常数 a 的曲线是圆25 5kg 肥皂溶于 300L 水中后，以每分钟 10L 的速度向内注入清水，同时向外抽出混合均匀的肥皂水，问何时余下的肥皂水中只有 1kg 肥皂考研数学二（常微分方程）模拟试卷 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有
7、一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 对于选项(D)来说，其表达式可改写为 y3+C1(y1y 3)+C2(y2y 3)， 而且 y3 是非齐次方程(62)的一个特解，y 1y 3 与 y2y 3 是(64)的两个线性无关的解，由通解的结构可知它就是(62)的通解故应选 D【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 D【试题解析】 这是变量可分离的方程【知识模块】 常微分方程3 【正确答案】 B【试题解析】 关键是求特征根：由 22+3=0 = 非齐次项 f(x)=eaxsinx，i=1 是特征根选 B【知识模块】 常微分方程二、填空题4 【正确答案】 、【试题解析】 这四个方
8、程中只有、 对未知函数 y 及其各阶导数作为总体是一次的，因而是线性的【知识模块】 常微分方程5 【正确答案】 e x+x【试题解析】 因 y1，y 2 线性无关，该方程的通解 y=C1ex+C2x由初始条件得 C1=1， C1+C2=2 = C1=1，C 2=1 = y=ex+x【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。6 【正确答案】 这是一个变量可分离的方程，分离变量后原方程化为两边同时积分，可求得其通解为lny 21=lnx 21+C ，即(x 21)(y 21)=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 因 f(t)连续 =0t
9、f(s)sinsds 可导 = f(t) 可导于是这是一阶线性微分方程的初值问题方程两边乘 =esintdt =ecost，得 e costf(t)=4sintcoste cost积分得 e costf(t)=4costd(ecost)=4(cost1)e cost+C由 f(0)=1 得C=e因此，f(t)=e 1cost +4(cost1)【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 曲边扇形的面积公式为 S= 又弧微分 ds= ，于是由题设有 (*)两边对 求导，即得 r2()=所以 r 所满足的微分方程为 (它与原方程等价，在(*)式中令 =0等式自然成立，不必另加条件) 注意到=+C 为
10、方程的通解，再由条件 r(0)=2，可知 C=6，所以曲线 L 的方程为 rsin( )=1【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 若将此曲线记为 y=y(x)，则依曲率计算公式，并注意曲线凹凸性的假设，即要求 y“0，故曲率 又由于过(x，f(x) 点的法线方程为 Xx+y(x)Yy(x)=0，它与 x 轴交点 0 的横坐标 X0=x+y(x)y(x)，所以，线段 的长度为 这样，由题设该曲线所满足的微分方程及初始条件为【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 取沉放点为坐标原点 O，Oy 轴的正向铅直向下，则由牛顿第二定律得 =mgVkv 由于 v= ，所以，此方程是一个既不显含自变量
11、 t，又不显含未知函数 y 的二阶方程，按照常规的办法，可以令 v 为未知函数，得到 v所满足的一阶线性方程，这样所求得的是 v 与时间 t 的关系然而题目所要求的是y 与 v 的关系，注意 ，所以应将方程改写为直接求积分，则有再由题设，其初始条件应为 v y=0，由此可定出 C=，故所求的关系【知识模块】 常微分方程11 【正确答案】 规定 A 出发的时刻 t=01。列方程t 时刻 A 位于(0，1+vt)t时刻 B 位于点(x(t)，y(t)，B 点的速度 =(x，1+vt y)同向(见图64)= 又 B 点的速度大小为进一步消去 t，可得 y 作为 x 的函数满足的微分方程将式两边对 x
12、 求导得 将它代入得 y=y(x)满足的微分方程为【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 () 这是一阶线性非齐次方程，两边同乘，得 积分得 y=，其中 C 为任意常数()注意到如果将 x 看作 y 的函数，则该方程可改写为 yx=y 3，这也是一个一阶线性非齐次方程，两边同乘 积分得，其中 c 为任意常数【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 () 相应齐次方程的特征方程为 27+12=0，它有两个互异的实根： 1=3， 2=4，所以，其通解为 =C1e3x+C2e4x 由于 0 不是特征根，所以非齐次方程的特解应具有形式 y*(x)=Ax+B代入方程，可得 ，所以，原方程的通解为
13、y(x)= +C1e3x+C2e4x代入初始条件，则得因此所求的特解为 y(x)=()由于相应齐次方程的特征根为ai，所以其通解为=C1cosax+C2sinax求原非齐次方程的特解，需分两种情况讨论： 当 ab 时，特解的形式应为 Acosbx+Bsinbx，将其代入原方程，则得 所以，通解为 y(x)= cosbx+C1cosax+C2sinax,其中 C1，C 2 为任意常数 当 a=b 时，特解的形式应为 Axcosax+Bxsinax，代入原方程，则得 A=0 B= 原方程的通解为 y(x)= xsinax+C1cosax+C2sinax，其中 C1，C 2 为任意常数()这是一个三
14、阶常系数线性齐次方程，其相应的特征方程为 3+2+1=0，分解得(+1)( 2+1)=0，其特征根为 1=1， 2，3 =i，所以方程的通解为 y(x)=C 1ex +C2cosx+C3sinx，其中C1，C 2，C 3 为任意常数【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 显然这是一个齐次方程，利用齐次方程的解法可以得到其通解这里若将 x 看作 y 的函数，原方程可改写为 ，原方程又可改写为 ，分离变量得 u 2du= 积分得 u 3=3lny+C， 即 x3=Cy3+3y3lny，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 将原方程改写为 f(x)=xsinxx 0xf
15、(t)dt+0xtf(t)dt 因为 f(x)连续，所以方程的右端是可微的，因而左端的函数 f(x)也可微两端对 x 求导，又原式中令 x=0，则原方程等价于 f(x)=xcosx+sinx 0xf(t)dt，f(0)=0 (6 7)同理，方程右端仍可微，所以 f(x)存在二阶导数，再将(6 7)中的方程两边求导，并令 x=0，则得(6 7)等价于 f“(x)=xsinx+2cosxf(x) ，f(0)=0，f(0)=0 即 y=f(x)满足微分方程的初值问题 y“+y=xsinx+2cosx，y(0)=0 ，y(0)=0 (68)由于此方程的特征根为i，所以其特解应具形式 y*(x)=x(A
16、x+B)cosx+x(Cx+D)sinx代入方程，求出系数A，B，C ，D，则得其特解为 y*(x)= ，进而方程的通解为 y=f(x)=+C1cosx+C2sinx (69)由 f(0)=0 可知 C1=0，而由 f(0)=0 又可推出 C2=0，所以 f(x)=【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 () 先求 再将求导，得 将 ，代入原方程得 ()题()已把原方程转化为，故只需求解这个二阶线性常系数非齐次方程，它的相应特征方程2+2+1=0，有重根 =1非齐次方程可设特解 y*=Asint+Bcost，代入得 (Asint+Bcost)+2(AcostBsint)+(Asint+Bc
17、ost)=2sint 即 AcostBsint=sint 比较系数得 A=0，B= 1，即 y*(t)=cost因此的通解为 y=(c 1+c2t)et cost 原方程的通解为 y=(c 1+c2arcsinx)earcsinx ，c 1，c 2 为 常数其中 t=arcsinx，cost=【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 () 原方程改写成 =2(x2) 2( 一阶线性方程)，两边同乘 = =2(x2)积分得 =(x2)2+C通解 y=(x2) 3+C(x2)，其中 C 为任意常数() 原方程改写成(以 y 为自变量，是一阶线性的)两边同乘通解 x= ，其中 C 为任意常数()
18、原方程改写成通解为(xy) 2(x+y)5=C，其中 C 为任意常数【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 特征方程 2+2m+n2=0，特征根 =m ，通解为注意：指数均为负的 = 将方程两边积分 =y 0+2my 0+n20+y(x)dx=0，即b2ma+n 20+y(x)dx=0 = 0+y(x)dx=【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 将 0xtf(xt) x0(xu)f(u)(du)= 0x(xu)f(u)du =x 0xf(u)du 0xuf(u)du 代入原方程即得 0xf(t)dt=sin2x+x0xf(u)du 0xuf(u)du 由 f(x)连续可见以上方程中各
19、项均可导将方程两端对 x 求导即得 f(x)=2sinxcosx+0xf(u)du=sin2x+0xf(u)du (在中令 x=0，得 0=0，不必另加条件 与同解)在式中令 x=0 可得 f(0)=0，由 式还可知 f(x)可导，于是将它两端对 x 求导，又得 f(x)=2cos2x+f(x)故求 y=f(x)等价于求解初值问题 的特解解之可得 y=f(x)= (ex+2sinxcos2x)【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 先用极坐标变换将二重积分转化为定积分代入原方程得 f(t)= (t0)两边对 t 求导得 f(t)= ，即 f(t)8tf(t)=8t 在前一个方程中令 t=0
20、 得 f(0)=1 求 f(t)转化为求解初值问题+ 这是一阶线性方程，两边同乘 得=8t积分得 =4t2+C由 f(0)=1 得 C=1因此 f(t)=(4t2+1) 【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 这是可降阶类型的(方程不显含 x)令 p= ，并以 y 为自变量变换原方程【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 设凸弧的方程为 y=f(x)，因梯形 OAPC 的面积为 1+f(x)，故 x3=0xf(t)dt 1+f(x)两边对 x 求导，则得 y=f(x)所满足的微分方程为 xy y=6x 21 (原方程中令 x=0 得 0=0，不必另加条件，它与原方程等价)其通解为 对任
21、意常数 C，总有 y(0)=1，即此曲线族均通过点 A(0，1) 又根据题设，此曲线过点(1，0)，即 y(1)=0，由此即得 C=5，即所求曲线为 y=5x6x 2+1【知识模块】 常微分方程23 【正确答案】 () 列方程按平面图形的形心公式，形心的纵坐标为而相应的曲边梯形的面积为 0tf(x)dx见图 62按题意 即 0tf2(x)dx=20tf(x)dx2+0tf(x)dx (x0) ( )转化将方程两边求导，则 方程 f2(t)=4f(t)0tf(x)dx+f(t) f(t)=40tf(x)dx+1 (中令 x=0，等式自然成立，不必另加条件) f(x)实质上是可导的，再将方程两边求
22、导，并在 中令 t=0 得方程方程 () 求解等价的微分方程的初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，两边同乘 (t)=e4dt e4t 得f(t)ee 4t =0，并由初始条件得 f(t)=e4t，即 f(x)=e4x【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 由曲率半径公式知，曲线 y=y(x)满足 解方程：，令 p=y，则由和式得(x+C 1)2+(y+C2)2=a2，即曲线是圆周若 y“= ，则同样可证【知识模块】 常微分方程25 【正确答案】 设 t 时刻水中含的肥皂量为 Q(t)kg任取t ，t+dt，这段时间内肥皂含量的减少量=抽出水的肥皂含量，即解此初值问题得因此，当 t=T=30ln5 时肥皂水中只有1kg 肥皂【知识模块】 常微分方程
