1、考研数学二（常微分方程）模拟试卷 16 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 C，C 1， C2，C 3 是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是（A）y=C 1x2+C2x+C3（B） x2+y2=C（C） y=ln(C1x)+ln(C1sinx)（D）y=C 1sin2x+C2cos2x2 设 y1(x)、y 2(x)为二阶变系数齐次线性方程 y“+p(x)y+q(x)y=0 的两个特解，则C1y1(x)+C2y2(x)(C1，C 2 为任意常数) 是该方程通解的充分条件为（A）y 1(x)y2(x)y 2(x)y1(x)=0（B
2、） y1(x)y2(x)y 2(x)y1(x)0（C） y1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)=0（D）y 1(x)y2(x)+y2(x)y1(x)0二、填空题3 已知(x 1)y“xy+y=0 的一个解是 y1=x，又知 y=ex(x 2+x+1)，y *=x 21 均是(x1)y“xy+y=(x1) 2 的解，则此方程的通解是 y=_4 微分方程 y“+6y+9y=0 的通解 y=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 求解下列方程： () 求方程 xy“=ylny的通解； ( )求 yy“=2(y2y) 满足初始条件 y(0)=1，y(0)=2 的特解6 设 f(x)
3、连续，且满足 01f(tx)dt=f(x)+xsinx， 求 f(x)7 求下列方程的通解：() y“3y=26x； ( )y“+y=cosxcos2x8 设曲线 L 位于 Oxy 平面的第一象限内，过 L 上任意一点 M 处的切线与 y 轴总相交，把交点记作 A，则总有长度 ，若 L 过点 ，求 L 的方程9 设热水瓶内热水温度为 T，室内温度为 T0，t 为时间 (以小时为单位)根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与 TT 0 成正比又设 T0=20，当 t=0 时，T=100，并知 24 小时后水瓶内温度为 50，问几小时后瓶内温度为 95?10 要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为
4、 h，上底面直径为 2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数 p设水泥的比重为 ，试求桥墩的形状11 求下列方程的通解：() y=sin(lnx)+cos(lnx)+ay； () xy= +y12 求解二阶微分方程的初值问题13 求微分方程 xy“y=x 2 的通解。14 利用代换 u=ycosx 将微分方程 y“cosx2ysinx+3ycosx=e x 化简，并求出原方程的通解15 当x0 时 是比x 较高阶的无穷小量，函数 y(x)在任意点 x 处的增量y=+，且 y(0)=，求 y(1)的值16 设 f(x)是以 为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y+ky=f(
5、x)存在唯一的以 为周期的特解，并求此特解，其中 k0 为常数17 求下列方程的通解或特解：18 设 y=y(x)在 0，+)内可导，且在 x0 处的增量y=y(x+x)y(x)满足 y(1+y)= +， 其中当x0 时 是 x 的等价无穷小，又 y(0)=2，求 y(x)19 设有微分方程 y2y=(x)，其中 (x)= ，试求：在(，+) 内的连续函数 y=y(x)，使之在 (，1)和(1 ，+)内都满足所给方程，且满足条件 y(0)=020 已知 y1*=xex+e2x，y 2*=xex+ex )，y 3*=xex+e2xe x 是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解试求其通解及该微分方
6、程21 设 p(x)在(a，b) 连续，p(x)dx 表示 p(x)的某个原函数，C 为任意常数，证明：y=Cep(x)dx 是方程 y+p(x)y=0 的所有解22 在0 ，+) 上给定曲线 y=y(x)0，y(0)=2，y(x)有连续导数已知x0，0 ，x 上一段绕 x 轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积求曲线y=y(x)的方程23 设曲线 y=y(x)上 点(x，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线 y=y(x)的方程24 设有一弹性轻绳(即重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为 3 克的物体，又已知此绳受一克重量的外力作用时伸长 厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问
7、此物体向下运动到什么地方又开始上升?考研数学二（常微分方程）模拟试卷 16 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 仅有 D 含有两个独立的任意常数 C1 与 C2，选 D【知识模块】 常微分方程2 【正确答案】 B【试题解析】 根据题目的要求，y 1(x)与 y2(x)应该线性无关，即 (常数)反之，若这个比值为常数，即 y1(x)=y2(x)，那么 y1(x)=y2(x)，利用线性代数的知识，就有 y1(x)y2(x)y 2(x)y1(x)=0所以，B 成立时，y 1(x)，y 2(x)一定线性无关，应选 B【知识模块】 常
8、微分方程二、填空题3 【正确答案】 C 1x+C2exx 21【试题解析】 由非齐次方程(x1)y“xy+y=(x1) 2 的两个特解 与 y*可得它的相应齐次方程的另一特解 y *=exx，事实上 y 2=(exx)+x=e x 也是该齐次方程的解，又 ex 与 x 线性无关，因此该非齐次方程的通解是 y=C1x+C2exx 21，其中C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程4 【正确答案】 (C 1+C2)e3x【试题解析】 特征方程 2+6+9=0，即(+3) 2=0通解为 y=(C1+C2)e3x ，其中C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程三、解答题解答应写出文字说
9、明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 () 此方程不显含 y令 p=y，则原方程化为 xp=plnp 当 p1 时，可改写为 ，其通解为 lnlnp=lnx+C，即 lnp=C1x，即 y= 这样，原方程的通解即为 y= +C2，其中 C10，C 2 为任意常数 当 p=1 时，也可以得到一族解 y=x+C3()此方程不显含 x令 p=y，且以 y 为自变量，原方程可化为 =2(p2p) 当 p0 时，可改写为 =2(p1) 或，解为 p1=C 1y2 再利用 p=y，以及初始条件，可推出常数C1=1从而上述方程为变量可分离的方程 y=1+y 2 = 其通解为 y=tan(x+C2) 再一
10、次利用初始条件 y(0)=1，即得 C2= 所以满足初始条件的特解为 y=tan(x+ )【知识模块】 常微分方程6 【正确答案】 令 tx=s，原方程改写成 0xf(s)ds=f(x)+xsinx(x0)，即 0xf(s)ds=xf(x)+x2sinx (x=0时两端自然成立，不必另加条件) 将直接积分得 f(x)= =xsinx+cosx+C 【知识模块】 常微分方程7 【正确答案】 () 先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为 23=(3)=0，所以通解为 =C1+C2e3x 再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且 0 是特征方程的单根，所以特解应具有形式 y*(x)=x
11、(Ax+B)，代入原方程，得 y *(x)“3y *(x)=2A3(2Ax+B)=6Ax+2A3B=26x比较方程两端的系数，得 解得 A=1，B=0，即特解为 y*(x)=x2从而，原方程的通解为 y(x)=x 2+C1+C2e3x，其中 C1，C 2 为任意常数 ()由于cosxcos2x= (cosx+cos3x)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出 y“+y=的特解 y1*(x)与 y2*(x)，相加就是原方程的特解 由于相应齐次方程的特征方程为 2+1=0，特征根为i，所以其通解应为 C1cosx+C2sinx；同时 y“+y= cosx 的特解应具形式：y 1*(x)=Axc
12、osx+Bxsinx，代入原方程，可求得A=0，B= 即 y1*(x)= 另外，由于 3i 不是特征根，所以另一方程的特解应具形式 y2*(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得 C= ，D=0 这样，即得所解方程的通解为 y(x)= +C1cosx+C2sinx，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程8 【正确答案】 设 L 的方程为 y=y(x)，过点 M(x， y(x)的切线与 y 轴的交点为A(0，y(x)xy(x)，又 =x2+y(x)(y(x) xy(x) 2=x2+x2y2， =(yxy)2，按题意得 x 2+x2y2=(yxy) 2，即 2xyyy
13、2=x 2积分得 ln(1+u 2)=lnx+C 1，1+u 2= 代入 u= 得 y2+x2=Cx由初始条件 ，得 C=3因此 L 的方程为 y 2+x2=3x【知识模块】 常微分方程9 【正确答案】 温度变化的速率即 ，牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，写出来它就是温度 T 所满足的微分方程： =k(T T 0)，其中 k 为比例常数，且 k0其通解为 T=T0+Cekt 再由题设：T 0=20，T(0)=100 ，T(24)=50，所以这样，温度T=20+80 若 T=95,则 t= =158,即在 158 小时后热水的温度降为 95【知识模块】 常微分方程10 【正确答案】 首先
14、建立坐标系，如图 63 所示，x 轴为桥墩中心轴，y 轴为水平轴设桥墩侧面的曲线方程为 y=y(x) 其次列出 y(x)满足的方程由于顶面的压强也为 p，则顶面承受的压力为 F=pa2 考察中心轴上点x 处的水平截面上所受总压力，它应等于压强截面积=py 2(x)，另一方面又等于 顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pa 2+xhy2(s)ds于是得 py2(x)=pa2+xhy2(s)ds 再将积分方程转化为微分方程的初值问题将上述方程两边对x 求导得 2pyy=y 2又在(*) 式中令 x=h 得 y(h)=a，于是得到 最后求解初值问题这是一阶线性齐次方程的初值问题，易求得 y=【知识模块
15、】 常微分方程11 【正确答案】 () 属于变量可分离的方程分离变量改写为 =(sinlnx+coslnx+a)dx两端求积分，由于sin(lnx)dx=xsin(lnx)=xsin(lnx)cos(lnx)dx，所以通解为 lny=xsin(lnx)+ax+C 1，或 y=cexsin(lnx)+ax，其中 C 为任意常数 ()属齐次方程令 y=xu，并且当 x0 时，原方程可化为 两端求积分，则得arcsinu=lnx+C，即其通解为 =lnx+C，其中 C 为任意常数当 x0 时，上面的方程变为 ，其通解应为 =lnx+C，其中 C 为任意常数 所得通解公式也可统一为 y=xsin(ln
16、x+C)此处还需注意，在上面作除法过程中丢掉了两个特解 a=1，即 y=x【知识模块】 常微分方程12 【正确答案】 此方程不显含 x，令 p=y，并以 y 为自变量，则 y“= ，并且方程变为 其解为 1+p2=Cy2代入初始条件，可知C=1，即 p2=y2=y21，从而 dx这是一个变量可分离的方程，两端求积分(ln(y+ )=x+c)，并代入初始条件，则无论右端取正号，还是取负号，其结果均为【知识模块】 常微分方程13 【正确答案】 将原方程看作不显含 y 的二阶方程，则属于可降阶的范围令p=y，p=y“，代入原方程，则化为 p 的一阶线性非齐次方程 xpp=x 2， 即 p=x 而 ，
17、于是两边同乘 =1因此 y=p=Cx+x 2再积分一次，即得原方程的通解为 y= x3+C1x2+C2，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程14 【正确答案】 令 ycosx=u，则 y=usecx，从而 y=usecx+usecxtanx y“=u“secx+2usecxtanx+usecxtan2x+usec2x代入原方程，则得 u“+4u=ex这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为 u= +C1cos2x+C2sin2x代回到原未知函数，则有 y= +2C2sinx，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程15 【正确答案】 首先尝试从y 的表达式直接
18、求 y(1)为此，设 x0=0，x=1，于是y=y(x 0+x)y(x 0)=y(1)y(0)=y(1)，代入y 的表达式即得 y(1)=+ y(1)=2+由于仅仅知道当x0 时 是比x 较高阶的无穷小，而不知道 的具体表达式，因而从上式无法求出 y(1) 由此可见，为了求出 y(1)必须去掉y 的表达式中包含的 利用函数的增量 y 与其微分 dy 的关系可知，函数 y(x)在任意点x 处的微分 这是一个可分离变量方程，它满足初始条件 y x=0= 的特解正是本题中的函数 y(x)，解出 y(x)即可得到 y(1)将方程dy= 分离变量，得 求积分可得由初始条件 y(0)= 可确定，从而 y(
19、1)=【知识模块】 常微分方程16 【正确答案】 此线性方程的通解即所有解可表示为 y(x)=ekx C+0xf(t)ektdt.y(x)以 为周期，即 y(x)=y(x+)，亦即对应于这个 C 的特解就是以 为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个【知识模块】 常微分方程17 【正确答案】 () 相应齐次方程的特征方程 24=0，特征根 =2零不是特征根，方程有特解 y*=ax2+bx+c，代入方程得 2a4(ax 2+bx+c)=4x2= 4a=4，b=0，2a4c=0 = a=1，c= = y*=x 2 = 通解为 y=C1e2x+C2e2x x 2()相应齐次方程的特
20、征方程 2+3+2=0，特征根 1=1， 2=2由于非齐次项是 ex cosx，1i不是特征根，所以设非齐次方程有特解 y*=ex (acosx+bsinx)代入原方程比较等式两端 ex cosx 与 ex sinx 的系数，可确定出 ，所以非齐次方程的通解为 y=C 1ex +C2e2x + ex (sinxcosx)，其中 C1，C 2 为任意常数【知识模块】 常微分方程18 【正确答案】 由题设等式可得从而 y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解： 方程两边乘，两边积分得 =C+ln(4+x) y=C(4+x)+(4+x)ln(4+x)令 x=0，y=2 可确定常数 C= 2l
21、n2，故【知识模块】 常微分方程19 【正确答案】 这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起 当 x1 时，方程y 2y=2 的两边同乘 e2x 得(ye 2x )=2e2x ，积分得通解 y=C1e2x1； 而当 x1 时，方程 y2y=0 的通解为 y=C2e2x 为保持其在 x=1 处的连续性，应使C1e21=C 2e2，即 C2=C1e 2 ，这说明方程的通解为再根据初始条件，即得 C1=1，即所求特解为 y=【知识模块】 常微分方程20 【正确答案】 易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解 y1*y 3*=ex
22、，y 2*y 3*=2ex e 2x 进一步又可得该齐次方程的两个特解是 y 1=ex ， y 2=2( y1*y 3*)(y 2*y 3*)=e2x， 它们是线性无关的为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解 y 4*=y1*y 2=xex 因此该非齐次方程的通解是y=C1ex +C2e2x+xex，其中 C1，C 2 为任意常数 由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程 y“+py+qy=f(x) 它的相应特征根是 1=1， 2=2，于是特征方程是 (+1)( 2)=0，即 22=0 因此方程为 y“y2y=f(x) 再将特解y4*=xex 代入得 (x+2)e x(x+1
23、)e x2xe x=f(x)，即 f(x)=(12x)e x 因此方程为y“ y 2y=(12x)e x【知识模块】 常微分方程21 【正确答案】 因为对任意常数 C，y=Ce p(x)dx 是原方程的解，又设 y 是原方程的任意一个解，则 ye p(x)dx=ep(x)dx(x)dxy+p(x)y=0， 即存在常数 C，使得 yep(x)dx=C，即 y=Cep(x)dx 【知识模块】 常微分方程22 【正确答案】 () 列方程，定初值在0，x 上侧面积与体积分别为按题意 y(0)=2 () 转化将式两边求导得 2y(x) =y2(x)(在中令 x=0，得 0=0，不必另附加条件)化简得【知
24、识模块】 常微分方程23 【正确答案】 () 列方程曲线 y=y(x)在 点(x，y)处的切线斜率为 ，与原点连线的斜率为 ()解方程将方程改写为 ydy+xdx=0，即d(x2+y2)=0于是通解为 x2+y2=C(C0 为 常数)【知识模块】 常微分方程24 【正确答案】 取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移 s，向下为正s=?时，v(速度)=0()受力分析弹性恢复力 f=ks，由条件知 g= = k=24g = f=24gs，g 为重力加速度重力 mg=3g()加速度表示由题目的需要，加速度 a= ()列方程与初始条件由牛顿第二定律得=3g24gs初始条件：t=0 时 s(0)=0， =0 = v(s) s=0=0()求解初值问题 分离变量得 vdv=(g8gs)ds =gs4gs 2+c由 v(0)=0 = c=0 = =gs4gs 2()当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时v=0解 gs4gs 2=0 得 s=0，s= 因此，s= 为所求【知识模块】 常微分方程
